1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(讲义)(原卷版)

第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课标要点1.掌握空间直线、平面的向量表达式，能利用向量判断点在直线、平面内。2.理解平面法向量定义，熟练掌握直接寻找、待定系数两种求法向量的方法。3.熟记线线、线面、面面平行的向量判定条件，规范书写证明补充条件。4.掌握三类空间垂直的向量判定，能结合基底法、坐标法完成几何证明。学习重难点重点：1.直线与平面的向量参数式，平面内点的充要向量关系式，公式熟练运用。2.平面法向量的求解方法，利用法向量判定空间平行、垂直位置关系。3.线线、线面、面面平行与垂直的向量等价条件，证明规范书写要求。难点：1.区分直线、平面向量表达式的适用场景，灵活选用参数形式表示动点。2.待定系数法求平面法向量，联立方程组计算易出错，步骤逻辑难梳理。3.证明平行、垂直时容易遗漏直线不在平面、平面不重合等关键限制条件。知识点一空间中点、直线和平面的向量表示1.空间直线的向量表示设点A为直线l上定点，a→为直线l的方向向量，AB→=a→，P（1）点P在直线l上的充要条件：存在实数t，满足OP（2）点P在直线l上的充要条件（两点式）：存在实数t，满足OP2.空间平面的向量表示（1）共起点双基底形式设平面内交于一点A的两条直线方向向量为a→,b→，P为平面α（2）平面ABC通用向量表达式取空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件：存在实数x、y，满足OP→=即学即练1．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（

）A． B． C． D．知识点二平面的法向量1.平面法向量定义直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a→，则称a→为平面给定平面内一点A与法向量a→，可唯一确定一个平面，平面可表示为集合：2.平面法向量两种求法（1）直接寻找法几何图形中存在垂直平面的线段，只需证明该线段对应向量垂直平面内两条相交直线，即可直接作为法向量。（2）待定系数法若无现成垂线，建立空间直角坐标系，求出平面内两条相交直线的方向向量，设平面法向量n→=(x,y,z)，联立数量积为即学即练3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（

）A． B． C． D．知识点三空间平行关系的向量表示设u1→,u2→分别为直线1.线线平行判定条件：存在实数λ，使得u补充说明：仅向量共线不足以证明直线平行，必须额外说明两条直线无重合部分。证明思路：①基底法：用基底表示两条直线方向向量，利用向量共线充要条件证明；②坐标法：建系写出向量坐标，通过分量成比例判定平行。2.线面平行判定条件：u1→补充说明：必须明确直线在平面外，否则直线在平面内，不属于线面平行。核心逻辑：直线方向向量与平面法向量垂直，则直线与平面无交点。3.面面平行判定条件：存在实数λ，使得n补充说明：需说明两平面不重合，避免两平面完全重合的特殊情况。证明思路：①法向量法：证明两个平面的法向量互相平行；②转化法：将面面平行转化为两组相交直线分别平行，再用向量共线证明。即学即练4．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（

）A． B． C． D．5．已知平面的法向量分别为，，若，则（

）A． B． C． D．知识点四空间垂直关系的向量表示设u1→,u2→分别为直线1.线线垂直判定条件：u补充说明：相交垂直、异面垂直均可统一用该条件判定；证明思路：基底法或坐标法，只需证明两直线方向向量数量积等于0。2.线面垂直判定条件：存在实数λ，使得u证明思路：①基底法：证明直线方向向量与平面内两条不共线向量数量积均为0；②坐标法：建系计算向量坐标，验证直线向量与平面内两相交向量点积均为0；③法向量法：证明直线方向向量与平面法向量共线。3.面面垂直判定条件：n证明思路：①转化法：依据面面垂直判定定理，转化为线面垂直、线线垂直证明；②法向量法：直接证明两个平面的法向量互相垂直，数量积为0即可。即学即练6．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.(1)证明：；(2)证明：平面.题型01平面的法向量及其求法典｜例｜精｜析【例1】已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（

）A． B． C． D．【例2】在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固【变式1-1】已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________.【变式1-2】已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（

）A． B．C． D．【变式1-3】（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（）A． B．C． D．题型02利用向量方法证明线线平行、垂直典｜例｜精｜析【例3】已知，且，则的值分别为（

）A．3，1 B．4， C．3， D．1，1【例4】（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式2-1】若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：；【变式2-3】如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（

）A． B． C． D．题型03利用向量方法证明线面平行典｜例｜精｜析【例5】已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【例6】如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式3-1】已知正方体的棱长为2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．(1)写出点，，的坐标；(2)求平面的一个法向量；(3)证明：直线平面．【变式3-2】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点．(1)求直三棱柱的体积；(2)若是的中点，证明：平面；【变式3-3】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.题型04利用向量方法证明面面平行典｜例｜精｜析【例7】已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（

）A． B． C． D．【例8】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；(2)平面平面．变｜式｜巩｜固【变式4-1】在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为__________.【变式4-2】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．【变式4-3】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB．题型05利用向量方法证明线面垂直典｜例｜精｜析【例9】如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.

(1)求点的坐标.(2)证明：四点共面.(3)证明：平面.【例10】如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面；变｜式｜巩｜固【变式5-1】直三棱柱中，，，，分别是的中点．

(1)求的值；(2)求证：⊥平面．【变式5-2】如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．

【变式5-3】如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.(1)证明：，，，四点共面；(2)若点在棱，且平面，求的长度.题型06利用向量方法证明面面垂直典｜例｜精｜析【例11】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面【例12】如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面.变｜式｜巩｜固【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE；【变式6-2】在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【变式6-3】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证：(1)；(2)平面平面.题型07利用向量方法探索平行、垂直问题解题贴士解题贴士写出直线方向向量、平面相交向量或法向量；把平行、垂直转化为向量等式验证。典｜例｜精｜析【例13】如图，在长方体中，.

(1)求证：平面平面.（使用向量方法）(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【例14】如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．

变｜式｜巩｜固【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点，(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由.【变式7-2】在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求平面的一个法向量；(2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式7-3】平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

(1)求证：；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．基础通关一、单选题1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A．或 B．C． D．与斜交2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（

）A． B． C． D．3．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（

）A． B． C． D．二、多选题4．直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（

）A． B． C． D．5．如图，正方体中，点分别为的中点，则（

）A． B．平面C． D．平面三、填空题6．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且，则_____________.7．平面的法向量分别为，请在①，②中选择一个填在横线上，并写出答案，若选___________，则___________．8．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______.四、解答题9．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且．(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；(2)求证：．10．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点，.求证：平面；11．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．12．已知正方体的棱长为a，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．求证：平面平面BDEF．13．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？

素养提升1．（多选）如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（

）A． B．平面C． D．2．在正方体中，分别为中点，则在正方体的八个顶点中任取两个顶点确定的直线中，与平面平行的条数有（

）A．3 B．4 C．6 D．83．已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，，则球的表面积为______．4．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________

5．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面；6．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求．7．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆