2025-2026年陕西省人教版高一数学第六章复数练习题

2025-2026年陕西省人教版高一数学第六章复数练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复数集合C中，下列运算正确的是（）A.(2+3i)•(1-i)=5-5iB.(1+i)²=2iC.|2i|=2iD.√(i²)=1解析：选项A正确，(2+3i)•(1-i)=2-2i+3i-3i²=5+i；选项B错误，(1+i)²=1+2i+i²=2i；选项C错误，|2i|=√(2²+0²)=2；选项D错误，√(i²)=√(-1)=i。故选A。2.若复数z满足z+2i和z-2i都是实数，则z等于（）A.2iB.-2iC.2D.-2解析：设z=a+bi，则z+2i=a+(b+2)i，z-2i=a+(b-2)i。由题意知b+2=0且b-2=0，解得b=-2，a为任意实数。但题目要求z为具体值，故需重新审题。正确理解应为z=a+bi，z+2i=a+(b+2)i为实数，则b+2=0，同理z-2i=a+(b-2)i为实数，则b-2=0，矛盾。正确解法：若z+2i=a为实数，则z=a-2i；若z-2i=b为实数，则z=b+2i，矛盾。故z为纯虚数且虚部为-2，即z=-2i。3.复数z=(1+i)÷i的模长等于（）A.1B.√2C.2D.√5解析：z=(1+i)÷i=(1+i)i⁻¹=(1+i)(-i)=-i-1i²=-i+1=1-i，|z|=√(1²+(-1)²)=√2。故选B。4.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的虚部是（）A.-10B.10C.-14D.14解析：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3-2i+8=11-2i，虚部为-2。选项有误，正确虚部为-2。5.在复平面内，复数z=-3+2i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z=-3+2i的实部为-3，虚部为2，位于第二象限。故选B。6.若复数z满足|z|=5且argz=π/3，则z等于（）A.5cos(π/3)+5isin(π/3)B.5(cos(π/3)+isin(π/3))C.-5cos(π/3)+5isin(π/3)D.5(cos(π/3)-isin(π/3))解析：由模长公式|z|=5，辐角公式argz=π/3，得z=5(cos(π/3)+isin(π/3))。故选B。7.下列命题正确的是（）A.若z₁²=z₂²，则z₁=z₂B.若z₁•z₂=0，则z₁=0或z₂=0C.若|z₁|=|z₂|，则z₁=±z₂D.若z₁/z₂为实数，则z₁和z₂都是实数解析：选项A错误，如z₁=1+i，z₂=-1-i，则z₁²=z₂²=0；选项B正确，若z₁•z₂=0，则z₁=0或z₂=0；选项C错误，如z₁=1，z₂=i，则|z₁|=|z₂|=1，但z₁≠±z₂；选项D错误，如z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁/z₂=1，为实数，但z₁和z₂不是实数。故选B。8.已知复数z₁=2-i，z₂=1+3i，则z₁/z₂的实部是（）A.-5/10B.5/10C.1/10D.-1/10解析：z₁/z₂=(2-i)/(1+3i)=(2-i)(1-3i)/(1+3i)(1-3i)=(2-6i-i+3i²)/(1-9i²)=(2-7i-3)/(1+9)=-1/10-7/10i，实部为-1/10。故选D。9.若复数z满足|z-1|=1且argz=π/4，则z等于（）A.√2/2+√2/2iB.√2/2-√2/2iC.1+√2/2iD.1-√2/2i解析：由|z-1|=1，得z=1+ei；由argz=π/4，得e^(iπ/4)=√2/2+√2/2i，故z=1+√2/2i。故选C。10.下列复数中，是纯虚数的是（）A.(1+i)²B.(1-i)²C.i²D.2i²解析：选项A：(1+i)²=1+2i+i²=2i；选项B：(1-i)²=1-2i+i²=-2i；选项C：i²=-1；选项D：2i²=-2。纯虚数为2i和-2i，但题目要求具体值，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=3+4i，则|z|=______。解：|z|=√(3²+4²)=5。2.若复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则z₁+z₂=______。解：z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i。3.若复数z满足|z|=2且argz=π/2，则z=______。解：z=2(cos(π/2)+isin(π/2))=2i。4.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂=______。解：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=2。5.若复数z=1+i，则z²=______。解：z²=(1+i)²=1+2i+i²=2i。6.若复数z满足|z|=1且z≠-1，则z的辐角主值范围是______。解：z=cosθ+isinθ，θ≠π，0≤θ<2π。7.若复数z₁=3+4i，z₂=2-i，则z₁-z₂=______。解：z₁-z₂=(3+4i)-(2-i)=1+5i。8.若复数z=1+i，则|z|²=______。解：|z|²=(√(1²+1²))²=2。9.若复数z满足z²=4i，则z=______。解：设z=a+bi，则(a+bi)²=4i，a²-b²+2abi=4i，得a²-b²=0且2ab=4，解得a=±2，b=±1，z=2i或-2i。10.若复数z=1+i，则z的共轭复数是______。解：z的共轭复数是1-i。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若z₁+z₂=0，则z₁和z₂互为相反数。（√）解：由z₁+z₂=0，得z₁=-z₂，故互为相反数。2.若z₁•z₂=0，则z₁和z₂中至少有一个为0。（√）解：复数乘法中，若z₁•z₂=0，则z₁=0或z₂=0。3.若|z₁|=|z₂|，则z₁和z₂的模长相等。（√）解：由定义知|z₁|=|z₂|，即模长相等。4.若z₁/z₂为实数，则z₁和z₂都是实数。（×）解：如z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁/z₂=1，为实数，但z₁和z₂不是实数。5.若z₁²=z₂²，则z₁和z₂相等或互为相反数。（×）解：如z₁=1+i，z₂=-1-i，则z₁²=z₂²=0，但z₁≠z₂且不互为相反数。6.若z₁+z₂=0，则z₁和z₂都是纯虚数。（×）解：如z₁=2，z₂=-2，则z₁+z₂=0，但z₁和z₂不是纯虚数。7.若z₁•z₂=1，则z₁和z₂互为倒数。（√）解：由z₁•z₂=1，得z₁=1/z₂，故互为倒数。8.若z₁/z₂为纯虚数，则z₁和z₂都是纯虚数。（×）解：如z₁=2i，z₂=1，则z₁/z₂=2i，为纯虚数，但z₂不是纯虚数。9.若z₁²>z₂²，则z₁>z₂。（×）解：复数不能比较大小，如z₁=2i，z₂=1，则z₁²=-4，z₂²=1，但z₁²<z₂²。10.若z₁+z₂=0，则z₁和z₂的模长相等。（√）解：由z₁+z₂=0，得z₁=-z₂，故|z₁|=|z₂|。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知复数z₁=3+2i，z₂=1-4i，求z₁•z₂的模长和辐角主值。解：z₁•z₂=(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i²=11-10i，|z₁•z₂|=√(11²+(-10)²)=√211，辐角主值θ=arctan(-10/11)，由于实部为正、虚部为负，θ在第四象限，θ=2π+arctan(-10/11)。2.已知复数z=1+i，求z³的实部和虚部。解：z³=(1+i)³=(1+i)(1+i)(1+i)=(1+i)•2i=2i+2i²=-2+2i，实部为-2，虚部为2。3.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，求z₁/z₂的模长和辐角主值。解：z₁/z₂=(2+i)/(3-2i)=(2+i)(3+2i)/(3-2i)(3+2i)=(4+7i-2)/(9+4)=2/13+7/13i，|z₁/z₂|=√((2/13)²+(7/13)²)=√(4/169+49/169)=√53/13，辐角主值θ=arctan(7/2)，由于实部为正、虚部为正，θ在第一象限。4.已知复数z满足|z|=5且argz=π/3，求z²的模长和辐角主值。解：z=5(cos(π/3)+isin(π/3))=5(1/2+√3/2i)=5/2+5√3/2i，z²=(5/2+5√3/2i)²=(25/4+25√3i+75/4i²)=-25/4+25√3/2i，|z²|=√((-25/4)²+(25√3/2)²)=√(625/16+3750/4)=√(625/16+1500/16)=√2125/4=25√85/4，辐角主值θ=arctan(-25√3/25)=arctan(-√3)，由于实部为负、虚部为正，θ在第二象限，θ=π-arctan(√3)=5π/6。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的模长，并判断z₁•z₂是否为纯虚数。解：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=11-2i，|z₁•z₂|=√(11²+(-2)²)=√125=5√5，由于z₁•z₂的虚部为-2≠0，故z₁•z₂不是纯虚数。2.已知复数z=1+i，求z²+z的模长，并判断z²+z是否为实数。解：z²+z=(1+i)²+(1+i)=2i+1+i=1+3i，|z²+z|=√(1²+3²)=√10，由于z²+z的虚部为3≠0，故z²+z不是实数。3.已知复数z₁=2+i，z₂=1-3i，求z₁/z₂的模长，并判断z₁/z₂是否为纯虚数。解：z₁/z₂=(2+i)/(1-3i)=(2+i)(1+3i)/(1-3i)(1+3i)=(2+6i+i-3)/(1+9)=-1/10+7/10i，|z₁/z₂|=√((-1/10)²+(7/10)²)=√(1/100+49/100)=√50/10=√5/5，由于z₁/z₂的虚部为7/10≠0，故z₁/z₂不是纯虚数。4.已知复数z满足|z|=3且argz=π/4，求z²的模长，并判断z²是否为实数。解：z=3(cos(π/4)+isin(π/4))=3(√2/2+√2/2i)=3√2/2+3√2/2i，z²=(3√2/2+3√2/2i)²=(9/2+9√3i+27/4i²)=-27/4+9√3/2i，|z²|=√((-27/4)²+(9√3/2)²)=√(729/16+243/4)=√(729/16+972/16)=√1701/4=9√19/4，由于z²的虚部为9√3/2≠0，故z²不是实数。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.D3.B4.（选项有误，正确虚部为-2）5.B6.B7.B8.D9.C10.B二、填空题1.52.3-2i3.2i4.25.2i6.(π,2π)7.1+5i8.29.2i或-2i10.1-i三、判断