高三文科三角函数复习

高三文科三角函数复习

贵州省册亨县民族中数学组梅瑰

考纲要求：

基本初等函数II（三角函数）

（1）任意角的概念、弧度制

①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.

（2）三角函数

①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

7t

-±a.7r±a

②能利用单位圆中的三角函数线推导出a的正弦、余弦、余弦、正切的诱导

公式.能画出y=sinx.y=cosx.y=tanx的图像了解三角函数的周期性。

③理解正弦函数、余弦函数在区间［0.27n］上的性质（如单调性、最大值和最小值以及

（K）

与X轴的交点等）.理解正切函数在区间22内的单调性。

sin夕

22

④理解同角三角函数的基本关系式：sin6>+cos^=lttan，=cos，.的图像，

⑤了解函数y二Asin（cox+W）的物理愈义：能画出了"）=小加（3+。）的图像，了解参数A、

3、。对函数图象变化的影响。

⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际

问题。

课时建议:5-8课

复习建议：

考试要求重难点击命题展望

本章重点：1.

1.了解任意角的概念和弧度制的概竞的推广，三

三角函

念，能进行弧度与南度的互化.修函数的定

数是基本初

2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）义，诱导公式

等函数，是指

的定义.的运用；2.三

述周期现象

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出修函数的图象

的重要数学

与性质，y=

—±a模型.三角函

2,ri±a的正弦、余弦、正切的诱导Asin（ojx+）

数的^念、图

公式，能画出y=sinx,y=cosx,y（3>0）的性

象和性质是

=tanx的图象，了解三角函数的周期性.质、图象及变

高考数学必

4.理解正弦函数、余弦函数在［0,2n］上的换；3.用三角

考的基础知

性质（如单调性、最大值和最小值、图象与函数模型解决

识之一.在高

x轴的交点等），理解正切函数在（一实际问题；4.

考中主要考

兀兀以和、差、倍

查对三角函

2,5）上的单调性.免公式为依

数概念的理

5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x据，提高推理、

解；运用函数

sinx运算能力;5.

公式进行恒

+cos2x=1,co&r=tanx.正、余弦定理

等变形、化

6.了解函数y=Asin（3x+Q）的物理意及应用.

简、求值、运

本章难点：1.

义，能画出函数y=Asin（3x+。）的图明三角函数

象，了解参数A,co,。对函数图象变化任意角的三角

的图象和性

的影响.函数的几何表

质以及图象

7.会用三角函数解决一些简单实际问题，示，图象变换

变换、作图、

体会三角函数是描述周期变化现象的重要与函数解析式

识图等.解三

函数模型.变换的内在联

角形的问题

系；2.灵活运

8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦往往与其他

公式，会用两角差的余弦公式推导出两角用三角公式化

知识（如立体

和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正管、求值、证

几何、解析几

弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联明；3.三角函

何、向量等）

系，能运用上述公式进行简单的恒等变换数的奇偶性、

相联系，考查

（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，单调性的判

考生的数学

但不要求记忆）.断，最值的求

应用意识，体

9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一法；4.探索两

现以能力立

些简单的三角形度量问题，能够运用正弦优差的余弦公

意的高考命

定理、余弦定理等知识和方法解决一些与式；5.把实际

题原则.

测量和几何计算有关的实际问题.问题转化为三

凭函数问题.

知识网络

一、任意角的三角函数的概念

题型一象限角与终边相同的角

a

【例1】若Q是第二象限南，试分别确定2a、彳的终边所在的象限.

【解析】因为a是第二象限角，

所以k・360°4-90°<a<k*3600+180°(kGZ).

因为2k•360°+180°<2a<2k*360°+360°(kEZ),故2a是第三或第四象限角，或角

的终边在y轴的负半轴上.

a

因为k・1800+45°<y<k*180°+90°(kGZ),

a

当k=2n(n£Z)时，n・360°+45°<y<n*360°+90°,

当k=2n+1(n£Z)时，n・360°+225°<y<n*3600+270°.

所以最■■是第一或第三象限角..

余略），熟记右图，解有关问题就方便多了.

【变式训练1】若角2a的终边在x轴上方，那么角&是（）

A.第一象限角B.第一或第二象限角

C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角

【解析】由题意2knV2aV2kn+n,kez,

得knVaVkn+/,k£乙

当k是奇数时，a是第三象限角.

当k是偶数时，a是第一象限角.故选C.

题型二弧长公式，面积公式的应用

【例2】已知一扇形的中心角是a,所在圆的半径是R.

⑴若a=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

⑵若扇形的周长是一定值C：C>0）,当a为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这

个最大值.

【解析】（1）设弧长为I,弓形面积为S弓，

r,0n“10n

因为a=60,R=10cm,所以I=、cm,

-110n1on

S弓=5扇-SA=5X10X——TjXIOZXsin60°=50(—cm2.

ZJZJ挈

⑵因为C=2R+I=2R+aR,所以R=T；—,

2十a

、11,C、C2aC21/2

S^=-aR2=-a(^)2=ya2+4a+4=y

a+—+4

4C2

当且仅当a=一时，即a=2（a=—2舍去）时，扇形的面积有最大值为五.

【点拨】用弧长公式l=|a|R与扇形面积公式5=夕1<=*2|a|时，a的单位必须是弧度.

【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S,当圆心角a为多少弧度时，该扇形的周长C有最

小值？并求出最小值.

1

【解析】因为S=]RI,所以RI=2S,

所以周长C=l+2RN2，^=2y*=44，

当且仅当l=2R时，C=4小，

所以当a=（=2时，周长C有最小值44.

题型三三角函数的定义，三角函数线的应用

【例3]⑴已知角a的终边与函数y=2x的图象重合，求sina；⑵求满足sinx

角x的集合.

【解析】⑴由[厂+厂印=交点为（一坐，一耳5）或（李，耳自，

⑵①找终边：在y轴正半轴上找出点（0,方）,过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别

交于P1、P2两点，连接0P1、0P2,则为角x的终边，并写出对应的角.

②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.

③写集合：所求角x的集合是{x|2kn--；WxW2kn+9，kGZ}.

JJ

【点拨】三角函数是用角a的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化

为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.

【变式训练3】函数y=lgsinX+A/cosx—；的定义域为.

【解析】

sin.£>0,2x<Z2kixI7T,

2kn—J"Sr+告

n

=2knVxW2kn+可，kEZ.

J

所以函数的定义域为{x|2knVxW2kn+弓，k£Z}.

总结提高

1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.

2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k-3600+5的错误书写.

3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.

二、同南三角函数的关系、诱导公式

题型一三角函数式的化简问题

37r

tan(兀a),COS(2JTa),sin(

2

【例1】化简

cos(—a—K),sin(—7T—a)

—tana,cos(-a)•sin(7t+-ya)

【解析】原式=36+。)・一.如6+》

-tana,cosa•[—sin(--a)]

乙

—cosa,sina

tana•cosa•(—cosa)

cosa•sina

COSa.[

=­tana-=—1.

sina

【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将a视为锐角后，再判断所求角的莫限.

*------3n

【变式训练1】已知f(x)=^/l—x,6£,n),则千(sin28)+f(—sin28)=.

【解析】f(sin28)+f(-sin28)=y/l—sin28+yjl+sin26=y](sin_9—cos_0)2+

y/(sin_8+cos~6)2=|sin6-cos0|4-1sin6+cos6|.

3n

因为9£,n),所以sin9—cos9>0,sin9+cos9Vo.

所以|sin0—cos0|+|sin64-cos6|=sin6—cos0—sin6—cos0=_2cos

e.

题型二三角函数式的求值问题

【例2】已知向量a=(sin9,cos0—2sin6),b=(1,2).

(1)若2〃1),求tan8的值；

⑵若|a|=|b|,OVeVn,求6的值.

【解析】(1)因为a〃b,所以2sin6=cos0—2sin0,

1

可是4sin6-cos0,占攵tan6=~

(2)由|a|=|b|知,sin20+(cos9—2sin9)2=5,

所以1-2sin20+4sin26=5.

从而一2sin26+2(1—cos26)=4,即sin204-cos28=-1,

于是sin(204-^-)=—-

,,n,n9n

又由ov8VTI知，—<26-F-r<—r

444f

n5nn7n

所以29+丁=7或2e+—=—

4444

因此e=/或e=等.

1

【变式训练2】已知tana=-,则2sinacosa+cos2a等于（）

486

A5B5C5D.2

2sinacosa+cos2a2tana+1g

【解析】原式「—7.故选B.

sin2a+cos2a1+tan2a

题型三三角函数式的简单应用问题

II1

【例3】已知一fVxVO且sinx+cosX=T,求:

Lb

(1)sinx—cosx的值；

⑵sin3(-y—x)+cos3(,+x)的值.

24

【解析】(1)由已知得2sineXcosx=——,且sinx<0<cosx,

所以sinx—cosx=­[(sinx-cosx)2=—A/1—2sinxcosx=[+而=~5'

(2)sin3(——x)+cos3(_+x)=cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(cos2x+cosxsinx+

sin2x)

7,12、91

=?(1-玄=莅,

【点拨】求形如sinx±cosx的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sinx±cosx取

值符号.

1-cos4Q—sin4a

[变式训练3]化简^-----T-—

1-cos6a-s।noa

_________1-[(cos2a+sin2a)2—2sin2acos2a]________

祈’、’1—[(cos2a+sin2a)(cos4a+sin4a—sin2acos2a)]

2sin2acos2a2

1—[(cos2a+sin2a)2-3sin2acos2a]3'

总结提高

1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就

成立，如：sin2(―2a)+cos2(―2a)=1是恒成立的.

2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数

间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.

三、两角和与差、二倍角的三角函数

题型一三角函数式的化简

nn

(1+sin^+cos^)(sin-cos)

_________?2

【例1】化简j2+2cos<9(0<6<n).

【解析】因为OVBVn,所以ov/v/,

所以原式=

2sin—(sin——cos—)

222

re

2COS—

2e.

0gg

【点拨】先从角度统一入手，将8化成了，然后再观察结构特征，如此题中sin23■一cos2—

=­cos6.

2cos4x-2cos2x+]

【变式训练1]化简-------------------——

2tan令-x)sin2(―+x)

-(2cos2x—1)2

cos22x1

[解析]原式=-------------------——=2COS

2tan(—―x)cos2(~~—x)4cos(―■-x)sin(1—x)2sin(——2x)

2x.

题型二三角函数式的求值

【例2】已知sin2cos^=0.

(1)求tanx的值；

cos2x

⑵求-------------------的，直.

隹cos(―+x)sinx

2tan—

2

x

xxx1~tan"-2X24

【解析】(1)由sin2cos2=0=tan-=2,所以tanx=2：=------=——

1-223,

⑵原式=

(cosx-sinx)(cosx+sinx)cosx+sinx1

(cosx—sinx)sinxsinxtanx

2cos50—sin25°

【变式训练2】

sin65°—

・区工*2cos(30°-25°)-sin25°45cos25。(-

【解析】原式=--------------而-----------="----二一=J3.

cos25coszov

题型三已知三角函数值求解

11

【例3】已知tan(a—B)=/,tan3且a,B£(0,n),求2a—B的值.

■,、2tan(a—(3)4

【解析】因为tan2(a-p)=1_tan2(a_3)=-

所以tan(2a—B)=tan[2(a—B)+B]=

^1—陪tan2评(a—抖p)tanJp

tan(a—B)+tan3_1

又tana=tan[(a-B)+B]==

1—tan(a—3)tanB一手

因为a£(0,n),所以0Vavg~,

又三vBVn,所以一nV2a—B<0,所以2a—B=一手.

【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角

的范围适当缩小.

【变式训练3】若a与。是两锐角，且sin(a+B)=2sina,则a与B的大小关系是()

A.a=pB.a<P

C.a>0D.以上都有可能

1

【解析】方法一：因为2sina=sin(a+3)^1,所以sinaW],又a是锐角，所以

30°.

又当a=30°,B=60°时符合题意，故选B.

方法二：因为2sina=sin(a+P)=sinacosP-FeosasinP<sina+sinB,

所以sina<sin3"

又因为a、B是锐角，所以aV(3,故选B.

总结提高

1.两角和与差的三角函教公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.

⑴它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；

⑵对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；

⑶掌握角的演变规律，如"2a=(a+B)+(Q—B)”等.

2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升森、降森、和与差、函数名称的转化，以达

到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.

四、三角恒等变换

典例精析

题型一三角函数的求值

【例1]已知0VaV§,0<B3sinB=sin(2a+B),4tan-y-=1—tan2-1~,求a

+B的值.

.a

aa]-tan—1

【解析】由4tan-=1—tan2—,得tana=2="

由3sin0=sin(2a+B)得3sin[(a+B)—a]=sin[(a+B)+a],

所以3sin(a+P)cosa—3cos(a+3)sina=sin(a+C)cosa+cos(a+(3)sin

a,

即2sin(Q+0)cosa=4cos(a+|3)sina,所以tan(a+B)=2-tana=1.

又因为a、e(0,，所以a+B=?.

【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间

的结构联系，找到解题的突破口与方向.

【变式训练1】如果tan(a+B)=\,tan((3—y-)=7,那么tan(a+—)等于()

□444

131373

A—D—p-n—

18222318

【解析】因为a+十=(a+B)—(B—；),

tan(a+B)-tan(B一弓)_

nn47

所以tan(a4--)=tan[(a+0)—(B——)]=------------------------------=—

44n23

1+tan(a+B)tan(B-T")v

故选C.

题型二等式的证明

sinBsin：2a+6)

【例2】求证：---=~\P-2co.s(a+P).

sinasina

【证明】证法一：

,..sin[(Q+B)+a]-2cos(a+B)sina

右i力=------------------------------------------=

sin(c+B)cosa-cos(a+。)sina

sina

[(Q+B)—a]sin2=左边.

sinasin

,sin(2a+/3)sinBin(2a+3)—sin32cos(a+B)sina

证法二：----:------------:~~-=2cos(a+

sinasinaasina

B),

“、,sin(2a+B)/,八、sin3

所以:---------2ocos(a4-0)=-.

sinasina

【点拨】证法一将2Q+B写成(a+B)+a,使右端的角形式上一致，易于共同运算：证

法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.

【变式训练2】已知5sina=3sin(a—2P),求证：tan(a—3)+4tan0=0.

【证明】因为5sina=3sin(a—2P),所以5sin[(a—B)+B]=3sin[(a—0)—B],

所以5sin(a—3)cosB+5cos(a—B)sin3=3sin(a—3)cos3—3cos(a—3)sin

B,

所以2sin(a—B)cosP+8cos(a—(3)sinB=0.

即tan(a—0)+4tan3=0.

题型三三角恒等变换的应用

【例3】已知4ABC是非直角三角形.

⑴求证：tanA+tanB+tanC=tanAtariBtanC;

in2B

⑵若A>B且tanA=-2tanB,求证：tanC=~-------

3—cos2B

⑶在⑵的条件下,求tanC的最大值.

【解析】(1)因为C=n—(A+B),

“，।—(tanA+tanB)

所以tanC=—tan(A+B)——~~7T0~,

1—tanAtariB

所以tanC—tanAtariBtanC=_tanA—tanB,

即tanA+tanB+tanC=tanAtariBtanC.

sin2B

一(tanA+tanB)tanB_sinBcosB2.(2-cos2Z?)

(2)由(1)决口tanC=

1—tanAtariB1+2tan2Bcos2B+2sin2B

sin2Bsin2B

.1+cos2B3-cos2B-

2(2-——-——)

2

⑶由⑵知tanC=i；?a；2B='

2tanB4----丫

tanB

当且仅当2tanB=——r,即tanB=小时，等号成立.

tanDz

所以tanC的最大值为半.

【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目

标意识.

【变式训练3】在aABC中，tanB+tanC+{5tanBtanC=45,，5tanA+，5tanB+1=

tanAtanB,试判断△ABC的形状.

【解析】由已知得tanB+tanC=/(1—tanBtanC),

木(tanA+tanB)=—(1—tanAtanB),

tanB+tanC「tanA+tanB^3

1—tanBtanC7配1—tanAtanB3

所以tan(B+C)=福，tan(A+B)=一算.

因为OVB+CVn,OVA+BVn,所以B+C==,A+B=

oo

2nn

又A+B+C=n,故A=^~,B=C=—

oo

所以△ABC是顶角为粤的等腰三角形.

总结提高

三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统

一名称，即化为同一种三南函数：③统一结构形式.

五、三角函数的图象和性质

典例精析

题型一三角函数的周期性与奇偶性

【例1】已知函数f(x)=2sin:cos：+/cos

⑴求函数f(x)的最小正周期；

⑵令g(x)=f(x+-y),判断g(x)的奇偶性.

xxr~xxr~xxn

【解析】(1)f(x)=2sin-cos-+*\/3cos-=sin彳+^3cos-=2sin(-+—),

所以千(x)的最小正周期T=^=4n.

2

(2)g(x)=f(x+9)=2sin[；(x+3)+?]=2sin(；+9)=2cos

所以g(x)为偶函数.

【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.

【变式训练1】函数y=sin2x+sinxcosx的最小正周期T等于()

nn

A.2nB.nCT

■“，.1-cos2x,1.啦

【解析】y=-----------------+/sin2x=in9zx-)coszx)-t--

=-^sin(2x—^-)+；,所以T=§~=n.故选B.

题型二求函数的值域

［例2］求下列函数的值域：

Sin2XSinX

(1)f(x)=i;

1—cosX

(2)f(x)=2cos(-^~+x)+2cosx.

2sinxcosxsinx2cosx(1—cos2x)

【解析】⑴f(x)==2cos2x4-2cosx

1-cosx1-cosx

=2(cosx+-)2-

当cosx=1时，f(x)max=4,但cosx=#1,所以f(x)V4,

111

当cosx=-］时，f(x)min=-所以函数的值域为［—/,4).

(2)f(x)=2(cos-cosx-sin-sinx)+2cosx

=3cosx-\^3sinx=2-\/3cos»

所以函数的值域为［-2小，2回

【点拨】求函数的值域是一人难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难

点的关键.

【变式训练2】4iy=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

t2—1

【解析】令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=—~—

t2—11

所以y=f(t)=t+---=-；t+1)2—1.

5lt=sinx+cosx=/sin(x+?,所以一筐WtW班.

故y=f(t)=；(t+1)2—1(一/WtW/),

从而f(—1)WyWf(/)，即一

所以函数的值域为［—1,q^+习.

题型三三角函数的单调性

【例3】已知函数f(x)=sin(cox+。)(Q>0,|Q|Vn)的部分图象如图所示.

⑴求3,0的值;

⑵设g(x)=f(x)f(x-y),求函数g(x)的单调递增区间.

【解析】(1)由图可知，T=4(y—^-)=n,3=竿=2.

又由f(三)=1知，sin(n+0)=1,又f(0)=-1,所以sin4)=—1.

因为|0|Vn,所以中=—y.

(2)f(x)=sin(2x—~=­cos2x.

所以g(x)=(-cos2x)[—cos(2x--]=cos2xsin2x=gsin4x.

所以当2kn—Jw4xW2kn+2，即等一等+《(k£Z)时gQ)单调递增.

ZZzozo

故函数g(X)的单调增区间为[等-9,野+?](keZ).

ZoZo

【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定4)的值，体现了数形结合的思想与方法.

【变式训练3]使函数y=sin£—2x)(x£[0,n])为增函数的区间是()

O

n_n7n_

A.r[0,—]B.[r—,—]

OIZIz

【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.

总结提高

1.求三角函数的定义域和值战应注意利用三角函数图象.

2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.

3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义

域对周期的影响.

4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.

六、函数y=Asin(cox+。)的图象和性质

典例精析

题型一“五点法”作函数图象

【例1】设函数f(x)=sinu)x+q5coscox(3>0)的周期为n.

⑴求它的振幅、初相；

⑵用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图求；

⑶说明函数f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到.

【解析】(1)f(x)=sincox+娘coscox=2(^sincox+坐coscox)=2sin(cox

又因为T=n,所以红-=n即3=2,所以千(x)=2sin(2x+g~),

3

所以函数f(x)=sin3x+d5cosu)x(3>0)的振幅为2,初相为

⑵列出下表，并描点画出图象如图所示.

2a•十春37r

0T7TT27r

7tK77r57r

X12TT2T

v=2sin(2.r+-7)02020

27几

12

一匹0

6-2-

(33CLy=sinx图象上的所有点向左平移弓•个单位，得到y=sin(x+?)的图象，再把

0O

y=sin(x+左)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的;(纵坐标不变)，得到y=sin(2x4—

的图象，然后把丫=5汨缶++的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，

即可得到y=2sin(2x+T")的图象.

【点拨】用“五点法”作图，先招原函数化为y=Asin(cox-|-(|))(A>0,3>0)脑式，再令

cox+0=0,，，n,写~,2n求出相应的X值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个

周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的

图象.

人4+1,—2<,

【变式训练1】函数

y

的图象如图所示，则(

11n

A.k=~,u)=-,0=—

11n

Bk=?3,

1n

Ck=-,co=2,0=—

zo

1n

D.k=-2,3=],4)=—

ZJ

【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可