高考数学第一轮复习(新教材新高考)第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题

（高阶拓展）（核心考点精讲精练）

考情探究

平面向量问题是高中数学中的•个热点，在高考中考查比重不会很大，•般以选择填空形式出现，难

度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、

极化恒等式、本节我们维续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起,

高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。

奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo和似

而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

考点梳理

知识讲解

1.奔驰定理

如图，已知尸为AABC内一点，则有s△喇

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标忐很相似，我们把它称为“奔驰定理

2.奔驰定理的证明

如图：延长。4与6c边相文于点。

则丝=£1处Q、BOD_乙A。/)QJJg»&AOB

DCACDS^CODACD~SROD

S&S°t.AOC

__DC―-BD__

OD=­OB+—OC

BCBC

S二A"|SJOB

S&AOC+S4AosSjoe+SJOB

..°D_sBOD_SgD_SROD+SgD_2.80c

•

°AS^OA^COASf/OA+^COAq+q

____S“一

...OD=-----------—0A

S6Aoe+SJAOB

：.-、S"-oA=,S"—op+—黑磔—QQ

+

S,A0C+SjOBS^AQC+S&AOB&AOC&AOR

,',S.BOC,°A+SAAOCOB+SAOROC=^

^AUn

3.奔驰定理的推论及四心问题

推论。是△ABC内的一点，且x-OA+y-Oli+zOC=0,则S=80c:S&COA:S&AOB=x:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距

离之比为2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.

(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心,也就是内切圆的圆心，三角形的内

心到三边的距离相等，都等于内切圆半径匚

(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，

它到三角形三个顶点的距离相等.

奔驰定现对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着

决定性的基石作用.

已知点。在内部，有以下四个推论：

①若。为“6C的重心，则方+丽+a=6：

②若。为AABC的外心，则sin2A屈+sin28•丽+sin2。方=6：或网=|丽=|/

③若。为“8。的内心，则〃.况+从。月+c•加=0;备注：若。为AABC的内心，则

sinAOZ+sinBO®+sinC反=。也付.

④若。为AABC的垂心，则tanA•画+tanB•丽+tanC•元=0，或画•痂=而灰=加•两

研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向

量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合

的数学思想.

考点一、奔驰定理与四心问题综合

典例引领

1.（宁夏•高考真题）已知0,N,P在AABC所在平面内，且|阿=|西=|西，而+丽+祝=0,且

西・丽=丽•定=1•两，则点0,N,P依次是AABC的

（注：三角形的三条高线交于•点，比点为三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.外心重心内心

2.（江苏•高考真题）0是平面上一定点，A、B、。是平面上不共线的三个点，动点P满足

———（ABAC

OP=OA+A-=-4-^-,2el0,+x）,则P的轨迹一定通过“ABC口勺（）

1|A8|\ACIJ

A.外心B.内心C.重心D.垂心

☆即时检测

1.（2023春・上海长宁•高三上海市延安中学校考期末）若。是内一点，用+而+元=。，则。是“BC

的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

2.（2023•江苏•高三专题练习）在4\5。中，若前.丽=丽麻=麻丽,则点”是的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

3.（2023春・山东泰安•高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知点。是平面上一定点，AB,C是平面上不

共线的三个点，动点?满足。户=o4+z篇+南J,%«0,+8）,则点〃的轨迹一定通过“改?的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

4.（2023春•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知。是所在平面内一点，且点。满

足如•（苦［_昌］=丽［段［一段^二左.［昌—昌］=o则点O一定的（）

［M时〔网HJ〔同同

A.外心B.重心C.内心D.垂心

考点二、奔驰定理与其他问题综合

典例引领

1.（2023♦全国•高三专题练习）已知0是内的一点，若△8OC/OC"O8的面积分别记为*$2，1，

则S,OA+S2OB+S.•云=。.这个定理对应的图形与"奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理

如图，已知。是&4BC的垂心，且3+20月+3双=6，则tanN84C:tanNABC:tanNACB=（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

2.（2023•全国•高三专题练习）奔驰定理：已知点。是“BC内的一点，若/OCAAOCAAOA的面积分别

记为‘,$2，邑，则5•丽+S?•砺+S,•觉=0."奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定

理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为"奔驰定理如图，已知。是小武?的垂心，且

如2而+3玄=。，则cosC=（）

A

O

BC

3M厢r2V5n5

A.-------D.------V.U,

101055

3.（2023春•湖南株洲•高三炎陵县第一中学校联考期末）（多选）如图.。为AABC内任意一点，角A8,C的

对边分别为。，仇。，总有优美等式.丽+S*.方+S.无=。成立,因该图形酯似奔驰汽车车标，故又

称为奔驰定理.则以下命题是真命题的行（）

A.若。是的重心，则有9+而+定=0

B.若〃丽+万而+c尼=0成立，则〃是的内心

C.若则%加1状=2:5

D.若尸是n48C的外心，A=:,PA=mPB+nPCfWOw+ne[->/2J）

☆即时检测

1.（2023•全国•高三专题练习）"奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔

驰”轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称其为"奔驰定理〃.奔驰定理：已知。是“8C内的一

点，的面积分别为SA，SH，S「则有S/Oi+S晨区+SLOC=6.设O是锐角”13。内

的一点，分别是“18。的三个内角，以下命题不正诵的有（）

A.若次+而+玩=0,则。为AABC的重心

B.若况+2而+3交=0,则加58鸟=1：2:3

C.若|明=|同=2,/4。8=等，204+30/U40c=。，则，诋号

D.若0为“3C的垂心，则lanZBAC•方+tanZA8C•而+tanZAC3•3=0

2.（2023•全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是“3C内的一点，若VOC、“0C、”08的面积分

别记为£、邑、S一则$•a+S?•丽+S3・云=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个

定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为"奔驰定理”.如图，己知。是的垂心，且

CM-b2O^+4OC=0>贝ijcos4=()

3.（2023・全国•高三专题练习）（多选）"奔驰定理"是平面向量中•个非常优美的结论，因为这个定理对应的

图形与"奔驰"轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理〃.奔驰定理：已知。是内

一点，ABOC、AAOC、d08的面积分别为S,、SB、S「则邑・砺+S；・砺+S0・元=。.设。是锐角AABC

内的一点，N8AC、NABC、NAC8分别是“8C的三个内角，以下命题正确的有（）

A.若3+2万+3说=0,则5;段£=1:2:3

B.网=|函=2,ZAOB=^,2O/+3O月+406=6，则

C.若O为“ABC的内心，3a+4丽+5反=6,则NC=]

D.若O为的重心，则OA^OB+OC=6

好题冲关

【能力提升】

一、单选题

1.（2022・贵州安顺•统考模拟预测）已知。是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P

满足而访*犒阎

peR）,则点P的轨迹一定经过448。的（)

A.重心B.外心C.内心D.垂心

2.（2022・高三课时练习）已知点。是所在平面上的一点，△人BC的三边为a,hc,若

aOA+bOB+cOC=Of则点。是dBC的(

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.（2023春•河南濮阳•高三统考期末）点。,GP为“所在平面内的点，且有

网HBc\=\OB\+|CA|'=I明-+网GA+GB+GC=0^

（PA^-PB）AB=（PB+PC）BC=（PC+PA）CA=O,则点O.G,尸分别为小BC的（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

4.（2023春•四川成都・高三树德中学校考期末）已知点N,O,P在“所在平面内，且⑸+而+用=3丽,

OA2=OB2=OC2^TATB=PBPC=PCPA则点N,O,P依次是的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

5.（2023春•天津•高三天津市第四十七中学校联考期末）已知三个不共线的向量次。反能满足

刀，而CA-BA而、—C4BC

“.祠.同X=°2Hz网+厨="桐Z+鬲肛Xn则。为“跋的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

6.（2023全国・高三专题练习）己知。，/,?在所在“8。的平面内，且|丽|=|丽|=|元|,而+而+近=0,

且可•丽=丽・定=雨•前，则。，N,。分别是“8。的（）

A..重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.外心重心内心

二、多选题

7.（2023春•湖北武汉•高三校联考阶段练习）已知M,N在AABC所在的平而内，且满足

AMBM=m-CM=CM-AM'>CA=NB+2NAt则下列结论正确的是（〉

A.M为"8。的外心

B.M为“止。的垂心

C.N为AA8c的内心

D.N为“IBC的重心

8.（2023春•河北石家庄•高三校考阶段练习）设。为所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别

是“，b,c,则正确的是（）

A.。为AASC的外心=（34+丽）•病=0

B.。为“3。的重心=34+砺+前=0

C.。为AABC的垂心。0402=0反反=00

D.。为“8C的内心oaE+）赤+（疣=0

9.（2U23春•四川成都•高三成都七中校考阶段练习）"奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平而

向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的

具体内容是：已知M是&48c内一点，△BMC,AAMC,的面积分别为S.,,S。，且

SA际+SR丽+S0•就=G.以下命题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,则”为“WC的重心

B.若"为AABC的内心，则4c=O

C.若NB4C=45。，ZABC=60°,M为95。的外心，则S,:邑：St.=6：2:1

D.若M为AA8C的垂心，3加+力而+5雨=0，则cos/4M/?=-逅

6

10.（2023春•江苏盐城•高三江苏省射阳中学校考阶段练习）"奔驰定理”是平面向量中•个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与"奔驰"轿左（M，Edes戾旧的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理”.奔驰定理:

己知。是“BC内一点，aOC,»0C,“OB的面积分别为5八岳£,则5.・。4+又•（汨+SCO3=。，

。是448C内的一点，0BAC,0/ABC,团”火分别是“43（7的三个内角，以下命题或砸的有（）

A.若砺+3砺+4交=0，则5358£=4:3:2

B.若西=|丽|=2,ZAOB=y,且苏+3砺+4反=0,则心…竽

C.若。鼠o*=O*灰=灰oA，则。为的垂心

D.若。为AABC的内心，且504+120月+13祝=0，则N4C4=]

11.（2023春•安徽•高三安徽行宿松中学校联考期中）如图，。为AABC内任意一点，角A仇。的对边分别

为ahc,则总有优美等式S.“,苏+S△咏・方+邑„・k=6成立，此结论称为三角形中的奔驰定理.由

此判断以下命题中正确的有（）

A.若是等边三角形，P为dBC内任意一点，且点P到三边8CCA44的距离分别是丸Jj%，则

布%•可+%•而+4.定=6

B.若尸为AABC内一点，且丽+方+玄=6，则尸是AABC的内心

।一2一

C.若P为“SC内一点,^.AP=-AB+-AC,则%8C：S"AC：S收=2:1:2

PD—PE—PF--

D.若》8C'的垂心P在413c内，AR8旦。厂是AA8C的三条高，则F++==0

ADBECb

12.（2023春•四川成都・高三成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平

面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它

的具体内容是：己知〃是AAAC内一点，AEMC,"MC,△八MB的面积分别为S八，SR,Sc,且

Si•贬+5%・痴+S,,雨=0.以下命题正确的有（）

A.若S.A：S〃：Sc=l:l:l,则M为“SC的重心

B.若M为AABC的内心，则4CM+AC•砺+A4•祝=0

C.若N84C=45。，zS4BC=60°,M为AABC的外心，则名：:G：2:1

D.若M为AABC的垂心，3讨+4砺+5碇=0，则cos/4MB=-如

6

13.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结诒对

应的图形与“奔驰〃轿车的log。非常相似，该结论如下：如图，已知O是AABC'内部一点，将voc,“OC,

的面积分别记为及，SB，S「则S/OA+S/QQ+SIOCM。.根据上述结论，下列命题中正确的有

()

A

___I_7___

B.^AO=-AB+^AC,则SA：SM：SC=2:1:2

C.若。为“灰?的内心，且504+120^+130。="则乙轨方=、

D.若。为aABC的垂心，则tan/R4co印+g1143。0月+12114。403=6

14.12023•全国•高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

“奔驰”(Mercedesbenz)的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：己知。是A/IBC内的一点,

①OC,"OC,”03的面积分别为3，SR,SC,则臬.赤+S小丽+Sc抚=6.若0是锐角△A3。内

的一点，A,B,C是小3C的三个内角，且点O满足汉.丽=砺.灰==0晨诙.则()

C.|(774|:|ofi|:|oc|=cosA:cos:cosCD.:SB:Sc=tan<4:tarB:tanC

15.(2023春•黑龙江哈尔滨•高三哈九中校考期末)“奔驰定理〃是平面向量中一个非常优美的结论，因为这

个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为"奔驰定理奔驰定理：已知。是“由。

内的一点，&BOC,“0C,”08的面积分别为5人、SB、S「则有S八况+5夕诙+5。弧="设。是锐

角”8。内的一点，ZBAC,NABC,N4CB分别是AABC的三个内角，以下命题正确的是().

A.若赤+9+祝=0，则。为AABC的重心

B.若?14+2赤+3玄=0，则S4：SS：SC=1:2:3

C.若。为AA4c（不为直角二角形）的垂心，贝han/8AC•诙+lan/A8C•丽+tan/AC8•能=0

D.若|明=|词=2,NAO8=g,2况+3万+4元="则2板《

16.12023•全国•高三专题练习）“奔驰定理”是平而向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

“奔驰"轿车（Mercedes庆〃z）的logo很相似，故形象地称其为"奔驰定理奔驰定理.：已知。是“WC内的

一点，"。。，"。。，”。力的面积分别为治昌,Sc，则有邑•西+S晨丽+S。•芯=0.设0是锐角△A3C内

的一点，©C48C/4C5分别是“8C的三个内角，以下命题正确的有（）

A

K«11"UIArtCCC，—C

B.若。4+2O8+3OC=0，则丛：及：S。=1：2:3

__5冗o

c.^\OA\=\OB\=ZZAOB=—20(+30启+4Od=0，则S、.叱=7

t62

D.若。为AABC的垂心，则tanNBACQUtanZA8coQ+tanZAC8OG=0

三、填空题

17.：2023•全国•高三专题练习）已知点A,B,C,/）在同一平面内，P0=gpA,QR=^QB,RP=^RC,

C.24215D.2906

18.（2021・全国•高三专题练习）已知0,MP在所在平面内，且网=画=|/，而+丽+配=6,

UL41UL4UaAMKMK*1

FLPAPB=PB-PC=PC-PAf则点。，MP依次是AABC的（填三角形的四心）

19.（2023•全国•高三专题练习）已知。是平面上一定点，A、仄C•是平面上不共线的三个点，动点尸满足

\

0户=4+,2eR,则尸的轨迹一定经过A/WC的.（从"重心"，"外

心"，"内心"，"垂心"中选择一个填写）

2U.UU23•全国•高三专题练习）1909年，戴姆勒公司中请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆

上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的

商标之一（图一）.已知。为“8c内一点，△OBC,AOAC,屋加内的面积分别为s“SB，S「则有

S/XOA+SllOB+ScOC=0,我们称之为"奔驰定理"（图二）.已知AABC的内角Aa。的对边分别为。也。，

7________

且8sA=三，。为AABC内的一点且为内心.若血=»布+），；记，则X+N的最大值为_________.

8

图一图二

第07讲平面向量奔驰定理与三角形四心问题

（高阶拓展）（核心考点精讲精练）

考情探究

平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难

度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很％重:要的应用，比如系数和（等和线）、

极化恒等式、本节我们维续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起,

高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。

奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo行似

而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。

考点梳理

知识讲解

4.奔驰定理

如图，己知。为“Be内一点，则有s△唳。4+5旷北方

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理

5.奔驰定理的证明

如图：延长。4与4c边相交于点。

则BD_S"BD_S,\8所_S«ABDS,“)_S3AOB

OCS/ccSac。。SACD-S4CQ口^oc

__DC—BD__

OD=—OB+—OC

BCBC

q

——OB+-°“AOBOC

+q

SJOB

S’AOC+Sc^AOC丁0AAOB

OD_SBODSgD_SfiOD+SCOD_SABOC

°AS+

BOA^COASB°A+SCOASjoc^&AOB

.而二——源_OA

，八0C+SJOB

—_oX=_%磔_而+_L^OB_反

SjOC+SRAOBS6Aoe+SWBSj0c+S^AOB

・qM)C*)R

-Q^BOC•Q4+S*OB+S/LMlxU,OC—0

6.奔驰定理的推论及四心问题

:S：S

推论。是△A8C内的一点，且x・3+y•砺+z•沅=0,则SBOC&COAAOB=^:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距

离之比为2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.

(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内

心到三边的距离相等，都等于内切圆半径匚

(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，

它到三角形三个顶点的距离相等.

奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着

决定性的基石作用.

已知点O在内部，有以下四个推论：

①若。为AABC的重心，则次+加+无=6;

②若。为AA3C的外心，则sin24•3+sin28•。月+sin2c•4=6；或|函卜|而|=|回

③若。为dBC的内心，则”.方+力.砺+c・祝=6：备注：若。为AABC的内心，则

sinA•（）A+sinB-OB+sinC-OC=0也对.

④若。为△ABC的垂心，则lan/VO4+lanBOg+ianCOC^。，^.OAOB=08OC=OCOA

研究三角形“四心〃的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问即转化为向量问题，充分利用平面向

量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合

的数学思想.

考点一、奔驰定理与四心问题综合

典例引领

L（宁夏•高考真题）已知0,N,P在AA3C所在平面内，且网卜砰=|西，丽+丽+丽=0,且

西•丽=而•定=正•西，则点0，N,P依次是AABC的

（注：三角形的三条高线交于一点，比点为三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.外心重心内心

【答案】C

【详解】试题分析：因为|。4卜|丽卜|冈，所以。到定点A8,c的距离相等，所以0为AA3C的外心，由

+柘+Nd=0，则NA+NB=-NC，取AB的中点E,则NA+NB=-2NE=CN,所以斗隅=，所以

N是A43c的重心：由可•而=丽•玄=定•雨，得（"-必）,尸月=0,即恁.丽=0，所以ACJ.P8,

同理人8_LPC,所以点尸为A45C的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用.

2.（江苏•高考真题）。是平面上一定点，A、8、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

2e[0,+x））,则2的轨迹一定通过“BCn勺（)

A.外心B.内心C.重心D.乖心

【答案】B

ADACADAC

【分析】根据空+生是以A为始点，向量聋;与与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知产点

\AB\\AC\\AB\\AC\

轨迹，据此可求解.

__ABAC

【详解】•加-砺次，小小鬲+鬲）

,ABAC-j-f

令__+___=AM，

\AB\\AC\

向瑞与落

则AM.是以A为始点,为邻边的菱形的对角线对应的向量,

即心在48AC的平分线上，

•：AP=AAM^而不共线，

故点P的轨迹一定通过M8c的内心,

故选：B

☆即时检测

1.（2023春・上海长宁•高三上海市延安中学校考期末）若。是内一点，K+而+交=0,则。是“BC

的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

【答案】D

【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.

【详解】取线段A8的中点O,连接OD,则K+丽=2而，而/+丽+05=0，

因此初=2而，即.•点共线，线段CO是dBC的中线，且。是靠近中点。的三等分点,

所以。是448C的重心.

故选：D

2.（2023•江苏•高二专题练;J）在AA8（_'中，^~HAHB=HBHC=HCHA>则点〃是AA4c的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

【答案】A

【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.

mu.iiivuu（i\mmuir

【详解】因为丽.朋=〃瓦被，则H6（/M-/7Cj=〃8.C4=。,

所以崩J.冷，即点”在边C4的高线所在直线上，

UUUUUI11UI1UUU

同理可得：HALCB.HCLAB^

所以点〃为AABC的三条高线的交点，即点，是AABC的垂心.

故选：A.

3.（2023春・山东泰安•高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知点。是平面上一定点，AB,。是平面上不

APAC

共线的三个点，动点P满足而=以+%L2«o,+e）,则点p的轨迹一定通过）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】由题设条件得到衣=2（冢+可，从而判断出点〃在4Aa的平分线上，由此得到点尸的轨迹

定通过的内心.

ABAC

【详解】商'同分别衣示由A。方向的单位向量，

八»-A。一1一］IT

令阿=卬同fJ+同"

贝1）丽=西+/（冢+1）,即肝=/（凿4■项,

又同=同，以藐T为一组邻边作一个菱形A4CQ,则点尸在该菱形内对角线AA上,

所以点P在/GA用，即NC4B的平分线上，故动点，的轨迹•定通过的内心.

故选：B.

4.（2023春•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知。是“U?C所在平面内一点，且点。满

足可儡畸M篇胃引胃部。则点。一定会的，)

A.外心B.重心C.内心D.垂心

【答案】C

ABACABAC

【分析】同一同表示与NBAC的用平分线垂直的向量，因为函与阿一同垂直，所以次平行于

/B4C的角平分线，即点。位于/%C的角平分线上，同理可得，点。位于N48C的角平分线上以及

/AC8的角平分线上，即点。是“5。的角平分线的交点，因此点。是“BC的内心.

［详解］因为次［情［_谷］=0,所以》.图i=o4备I，

羽

即|丽"cosQr-NO八8)=|明・

——■cos(7c-Z.OAC］,

AC\

即可得ZOAB=ZOAC,即OA是ZBAC的角平分线：

同理可得0B是/ABC的角平分线，0C是ZACB的角平分线，

所以点0为AABC三条角平分线的交点，即点O是^\BC的内心.

故选:C

考点二、奔驰定理与其他问题综合

典例引领

1.(2023・全国•高三专题练习)已知。是内的一点，若/OCHOC,3的面积分别记为，,邑区，

则5•。4+52。6+53。。=(5.这个定理对应的图形与"奔驰"轿车的唳。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.

如图，己知。是的垂心，fi04+2<9Z?+30C=6»则tanN8AC:tanZA8C:lanZAC8=()

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【答案】A

【分析】延长CO,BO,人。分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,利用同底的两个三角形面积比推得

tanZfiAC:tanZABC:tanZACB=可：另：鼻即nJ求解作答.

【详解】。是dBC的垂心，延长CO,BO,AO分别交边A8,AC,8c于点P,M,N,如图,

则CP_LAB,BM±AC,AN【BC,/BOP=NBAC,ZAOP=/ABC,

-8tan/ytaSC同理今=tanZ.BAC

…S,APOPtanZAOPtanLABC**tanZACH

于是得〔anZ.BAC:tanZ.ABC:tanZ.ACB=S(:S,:S3,

i__2—.

又。3+20豆+3加=。，即衣=-QO<4-月，由"奔驰定理"有S1O/US2OQ+S3OCS。，

JJ

则祝=-9■•丽-含•丽，而百与而不共线，有M；，U，如’:8:$=1：2:3,

O-iO-iJaDOnD

所以tanZfiAC:tanZABC:tailZACfi=l:2:3.

故选：A

2.(2023・全国•高三专题练习)奔驰定理：己知点。是内的一点，若"OCAAOCW勿的面积分别

记为S'Sz.S,,则£•丽+S?•丽+S,•觉=0."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定

理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很用似，故形象地称其为“奔驰定理。如图，已知。是。的垂心，且

OA^2OB+3OC=0^则cosC=()

［分析］延长8交AB于点P,则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得5,:S2:53=tanA:tanB:tanC,

;;

再利用工。4+52。分+5/06=。和。(4+208+3元=0可得如］4:(&11氏121］。=1:2:3,不妨设

tanA=A,lan8=22,tanC=3A,利用tanA=-tan(B+C)=-“""⑶底可求出k的值，从而可求出8SC的

1-tanBtanC

值.

【详解】延长CO交于点六

•.•O是AABC的垂心，..OP1AB,

:$2=(g•0C•呵：(g•0C.AP)

=BP:AP=(OPtan/FOB):(()/>tanZPOA)=tan/COB:tanZCOA=tan(乃-A):tan(乃-8)=tanA:tanB.

同理可得$:S3=tanA:tanC,:5,:S3=tanA:tanB:tanC.

又S•丽+S?•丽+S?抚=6,

/.tanA-OA+tanBOB+tanC-OC=0

乂方+2丽+3南=0，

tan4:tan3:tanC=1:2:3.

不妨设tanA=%,tan3=2k,tanC=3k,其中k丰0.

tanB+ianC

,：tanA=-tan(5+C)=-

1-tanBlanC

2k+3k

解得51.

1-2公3A

当％=-1时，此时tanA<0,tan8<0,tanC<0,则A,B,。都是钝角，不合题意，舍掉.

故A=l,则ianC=3>0,故C为锐隹,

sinC厂

田cosC,解得cosC=—

sin2C+cos2C=l10

故选：B.

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用

垂心的性质得S\：S»:S\=tanA:tan3:tanC,再结合已知条件得tanA:tanB:tanC=l:2:3,设

tanA=Auan8=2匕tanC=3Z,再利用两角和的止切公式可得A,从而可求得结果，考查计算能力和转亿思

想，属于较难题.

3.（2023春•湖南株洲•高三炎陵县第一中学校联考期末）（多选）如图.P为AABC内任意一点，角A8,C的

对边分别为〃，），%总有优美等式S-耽・丽+Sj,〃.丽+5/^^=。成立.因该图形酯似奔驰汽车车标，故又

称为奔驰定理.则以卜.命题是真命题的有（）

A.若P是△A/C的重心，贝弗须+方+无=0

B.若a再+〃方+c4=0成立，则?是AABC的内心

__2__1__

若AP=例+,AC,则S△杵:S△皿=2:5

D.若。是“A8C的外心，A=：,PA=mPB+nPC^则+

【答案】AB

【分析】对于A：利用重心的性质S△咏=S,C=SA.,代入^•苏+Sd«.丽+5.1=0即可:

对于B：利用三角形的面积公式结合L，父西+Sj“c而+S.近=0与a丽+A而+c同=0可知点。到

48、BC、C4的距离相等.

对于C：利用很近将尸4、P反PC表示出来，代入g咏苏+SJ，AC而+S/W前=0，化简即可表示出

S△咏、S△PAC、$△ZM8的关系式，用SVABX2ABP、ABC表小出来即可得处其比值•

对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将可=，〃丽+〃斤两边平方，化简可得〃产+/=1,结合

m、〃的取值范围可得出答案.

【详解】对于A：如图所示：因为/XE、产分别为C4、AB.BC的中点,

121

所以CP=2PE,SJEC=mSdABC,S&RPC=§S’*=—S]8C,

同理可得SAPB=!SARC、S1tpe=—SKlfC,

卜h以S/iPEC-SAPAC—S^PAB'

又因为Slllu.PA+SPACPB+SPC=6r

uiinuturnr..

所以幺十八8+2。=0.正确：

对于B：记点/＞到A8、BC、C4的距离分别为3%、%,S△咏.kS.m=；c•九，

乙乙乙

因为SPBCPA+SPACPB+SPABPC=O,

则;a4•放+.而+.冠=。,

即a丸区+/?•4万+c力定=。，

又因为“西+。方+c•定="所以4叫=勾，所以点尸是“8C的内心，正确:

对于c：因为入户=|A8+1AC,

2i_____3_i

所以户耳=一,八与一1人仁，所以用片=0+八£=］八月一5/13,

所以PG=R4+XC=-|AG+]AC：,

|历一2+5/_|南+次)=0,

(232AB1AB+|—!-s--SPAC+-S_AC=

化简得：\J-5S^5^C~5S^noJ(5A*5Ar.n<.5WAH

又因为丽、/不共线，

232

一4S"sc+三S.PAC_7S,8=°

HI、[何咏=25%

所以4,所以,9V,

'S—±S+二S=(]

560PBe5APAC5『入B

g、lS^ARP-______S,PAR_______g，错误；

s+s+s

"ABC4PRC十0LPAC十0

对于D：因为尸是“1BC的外心，A=,所