第6章参数估计（课件）-《统计学（微课版）》同步教学（人民邮电版）

统计学

Statistics

第6章参数估计

u6.1参数估计的基本原理

u6.2一个总体参数的区间估计

u6.3两个总体参数的区间估计

u6.4样本量的确定

u6.5小结

第6章参数估计

•6.1参数估计的基本原理

参数估计的基本原理

•参数估计（parameterestimation）是用样本统计量估计未知的总体

参数。

•参数估计中把用于估计总体参数的样本统计量就称为估计量

（estimator）。

•由于估计量是样本的函数（不包含未知的总体参数），如果重复多次

抽样，根据每个样本数据计算出来的估计量取值都可能不一样，所以

估计量本身也是一个随机变量，有自己的抽样分布。

参数估计的基本原理

•实践中往往只能抽取一次样本，根据一个具体样本计算得到的估计量

的取值就称为估计值（estimate）。

•一般地，通常用表示总体参数，用ˆ表示估计量。为便于区分，各

类常见的总体参数和相x应的估计量符号如表6-1所示。

表6-1常见的总体参数和相应的估计量符号

总体参数估计量

均值µx

方差σ2s2

标准差σs

比例πp

参数估计的基本原理

•直接将基于某个特定样本计算出来的估计量的取值作为总体参数的估

计值的方法就称为点估计（pointestimation）。

•理论上而言，根据一个特定样本计算出来的估计值恰好等于总体参数

真实取值的概率是很小的，并且如果能够重复多次抽样，每次抽样计

算出来的点估计值也都可能不一样，这是由抽样的随机性所决定的。

•因此，讨论一个具体的点估计值的可靠性是没有意义的，我们应该根

据一些标准来选择合适的点估计量，也就是确定合适的计算点估计值

的方法。

参数估计的基本原理

•统计学中常用的评价估计量好坏的标准主要包括无偏性、有效性和一

致性。

•一般地，无偏性（unbiasedness）是指估计量抽样分布的期望值等于

被估计的总体参数。

•在同一个总体参数的多个无偏估计量中，人们更倾向于选择方差更小

的估计量。有效性（efficiency）指的就是估计量的方差大小。

•一致性（consistency）是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越

接近被估计的总体参数。

参数估计的基本原理

•为了提供比点估计更多的信息，并且能够给出估计的可靠性，人们更

多地会选择区间估计的方法。

•区间估计（intervalestimation）是在点估计的基础上给出总体参数的

一个估计区间，该区间通常是由样本统计量加减边际误差（marginof

error）构造得到。

•与此同时，通常用置信水平（confidencelevel，也称置信度）来度量

区间估计的可靠性，记作1-α。

参数估计的基本原理

•基于样本统计量构造出的一定置信水平下的总体参数的估计区间也称

为置信区间（confidenceinterval）。

•区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限，置信区间的宽度

即为置信上限和置信下限的差值。

参数估计的基本原理

•虽然人们习惯将置信水平通俗地理解为所构造的置信区间包含总体参

数真值的概率，但严格来说，总体参数的真值是固定的（虽然未知），

根据一个特定样本最终计算出来的置信区间也是固定的，因此该区间

要么包含总体参数的真值，要么不包含，并无概率可言。

•实际上，置信水平也是一个针对大量重复抽样的渐近概念。如果重复

多次抽样，根据每次抽样结果计算出来的具体的置信区间不尽相同，

置信水平表示的是在重复抽样情况下按特定方法构造的大量置信区间

中包含总体参数真值的区间个数所占的比例。

第6章参数估计

•6.2一个总体参数的区间估

计

总体均值的区间估计

•在对总体均值进行区间估计时，需要考虑总体是否服从正态分布、总

体方差是否已知、用于估计的样本是大样本（n≥30）还是小样本

（n<30）等几种不同情况。

•但无论是哪种情况，通常选择的点估计量都是样本均值x，在此基础

上，根据x的抽样分布计算指定置信水平下的边际误差，再由样本均

值加减边际误差得到相应的置信区间。

•由于在上述任一种情况下，x的抽样分布都是左右对称的，因此总体

均值µ的1-α置信水平下的置信区间一般表达式为

x±（α/2上侧分位数×x的标准误差）

总体均值的区间估计

•在大样本（n≥30）情况下，无论总体是否服从正态分布，由中心极限

定理可知，样本均值x都近似服从正态分布，且均值为µ，标准误差

x

为/n。那么，x经过标准化后得到的z就近似服从标准正态

/n

分布N(0,1)。

•当总体方差σ2已知时，总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为

xz/2

n

•其中，z/2为标准正态分布的α/2上侧分位数，xz/2和xz/2分别

nn

为置信上限和置信下限。

总体均值的区间估计

•当总体方差σ2未知时，用样本方差s2代替σ2，x的抽样分布不变，这

时，总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为

s

xz/2

n

ss

•其中，xz/2和xz/2分别为置信上限和置信下限。

nn

总体均值的区间估计

【例6.1】某款饮料的生产商在超市随机抽取了100位购买该饮料的消费者，记录

下其年龄数据如表6-2所示。试构造该款饮料所有消费者平均年龄的95%置信区

间。

表6-2某款饮料的100位消费者年龄数据单位：岁

20241917261820211622

22261828222425192820

20201923232218262522

18162224262226192023

20252517162323242618

27262319182022221724

16162025242619182322

20222517182326202019

24192022212118242326

17212523181620222021

总体均值的区间估计

解：根据题意，需要构造该款饮料所有消费者平均年龄即总体均值µ的95%置信

区间。样本量n=100，α=0.05，总体方差未知，因此用样本均值x作为估计量，

用样本标准差s代替σ。根据表6-2中的样本数据计算得到：x=21.44，s=3.13，

使用Excel中的【NORM.S.INV】函数计算得到z0.025=1.96，代入公式得到

3.13

21.441.9621.440.61

100

即该款饮料所有消费者平均年龄的95%置信区间为20.83~22.05岁。

总体均值的区间估计

•在小样本（n<30）情况下，需要假设总体服从正态分布。当总体方差

σ2已知时，样本均值x同样服从均值为µ，标准误差为/n的正态

分布，此时总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间仍然为

xz/2

n

•但当总体方差σ2未知时，用样本方差s2代替σ2，x经过标准化后得到

x

的t则服从自由度为n-1的t分布。这时，总体均值µ在1-α置信

s/n

水平下的置信区间为

s

xt

/2n

s

ts

•其中，/2为t（n-1）分布的α/2上侧分位数，xt/2和xt/2分别

nn

为置信上限和置信下限。

总体均值的区间估计

【例6.2】某食品生产企业生产的薯片标注每袋重量为150克，质检机构从其生产

的一批产品中随机抽取了25袋，并测量每袋薯片的重量数据如表6-3所示。假定

该批薯片的重量服从正态分布，试构造该批薯片平均重量的90%置信区间。

表6-3随机抽取的25袋薯片重量数据单位：克

150.5151.0149.8150.2150.0

148.5151.2153.0147.0150.9

147.6152.3150.0148.0149.7

153.4151.0146.9152.0151.6

150.7149.0148.8152.1153.2

总体均值的区间估计

解：根据题意，需要构造该批薯片平均重量即总体均值µ的90%置信区间。样本

量n=25，α=0.1，总体服从正态分布但方差未知，因此用样本均值x作为估计量，

用样本标准差s代替σ。根据表6-3中的样本数据计算得到：x=150.34，s=1.85，

使用Excel中的【T.INV】函数计算得到t0.05(24)=1.71，代入公式得到

1.85

150.341.71150.340.63

25

即该批薯片平均重量的90%置信区间为149.71~150.97克。

总体比例的区间估计

•从一般性来看，通过样本数据的调查（样本量为n）来估计总体中具有某一类

特征的个体所占的比例π，相当于做了n次伯努利试验，每次试验的结果只有

两种可能，要么具有该类特征（记为“成功”），要么不具有该类特征（记

为“失败”）。

•因此，在大样本情况下，抽取的样本数据中具有指定特征的个体所占的比例p

也近似服从正态分布，且均值等于总体比例π（即每次试验成功的概率），标

p

准误差等于(1)/n。那么，样本比例p经过标准化后得到的z

(1)/n

就近似服从标准正态分布N(0,1)。

•总体比例π的1-α置信水平下的置信区间一般表达式为

p±（α/2上侧分位数×p的标准误差）

总体比例的区间估计

•与大样本情况下总体均值的区间估计类似，由于总体比例π未知，用

样本比例p代替标准误差中的π，最后得到总体比例π在1-α置信水平

下的置信区间为

p(1p)

pz

/2n

p(1p)p(1p)

•其中，pz/2和pz/2分别为置信上限和置信下限。

nn

总体比例的区间估计

【例6.3】某电视频道想要估计旗下一档王牌节目的观众中女性所占的比例，为

此随机调查了100名观众，其中72人为女性。试构造该档节目所有观众中女性比

例的99%置信区间。

解：根据题意，需要构造该档节目所有观众中女性比例即总体比例π的99%置信

区间。样本量n=100，α=0.01，样本比例p=0.72，使用Excel中的【NORM.S.INV】

函数计算得到z0.005=2.58，代入公式得到

0.72(10.72)

0.722.580.720.1158

100

即该档节目所有观众中女性比例的99%置信区间为60.42%~83.58%。

总体方差的区间估计

•要构造总体方差σ2的置信区间，自然想到选择样本方差s2作为估计量。

2

(n1)s2

在总体服从正态分布的假定下，可以证明服从自由度为n-1的

2

分布。

2

•依据分布的概率密度曲线可得

(n1)s2(n1)s2

2

P221

/21/2

222

•其中，1/2和/2分别为（n-1）分布的1-α/2上侧分位数和α/2上侧分

(n1)s2(n1)s2

2

位数。2和2即为总体方差σ在1-α置信水平下的置信区间

1/2/2

上下限。

总体方差的区间估计

【例6.4】沿用例6.2，试构造该批薯片重量方差的90%置信区间。

解：根据题意，需要构造该批薯片重量方差即总体方差σ2的90%置信区间。样本

量n=25，α=0.1，总体服从正态分布，基于表6-3中的样本数据已经计算得到

2

s=1.85，使用Excel中的【CHISQ.INV.RT】函数可以计算得到0.05(24)=36.42，

2

2

0.95(24)=13.85，代入公式得到总体方差σ在90%置信水平下的置信区间为

241.852241.852

(,)

36.4213.85

即该批薯片重量方差的90%置信区间为2.26~5.93。

第6章参数估计

•6.3两个总体参数的区间估

计

两个总体均值之差的区间估计

•设两个总体的均值分别为µ1和µ2，从两个总体中分别抽取样本量为n1

和n2的两个随机样本，其样本均值分别为x1和x2。

•与一个总体均值的区间估计类似，通常选择两个样本均值之差(x1x2)

作为两个总体均值之差（µ1-µ2）的估计量，并在此基础上构建两个总

体均值之差（µ1-µ2）的1-α置信水平下的置信区间一般表达式为

(x1x2)±（α/2上侧分位数×x(1x2)的标准误差）

•具体地，需要考虑独立大样本、独立小样本以及配对样本三种不同情

况。

两个总体均值之差的区间估计

•如果两个样本是从两个总体中独立随机抽取的，即一个样本中的元素与另一

个样本中的元素相互独立，且均为大样本（n1≥30，n2≥30），可以证明，两

个样本均值之差(x1x2)近似服从正态分布，且均值为（µ1-µ2），标准误差

为22。那么，经过标准化后得到的就近似服从标准正态分

1/n12/n2(x1x2)

布N(0,1)。

22

•当两个总体方差σ1和σ2已知时，两个总体均值之差（µ1-µ2）在1-α置信水平

下的置信区间为

22

12

(x1x2)z/2

n1n2

2222

•当两个总体方差σ1和σ2未知时，分别用两个样本方差s1和s2代替，两个总

体均值之差（µ1-µ2）在1-α置信水平下的置信区间为

22

s1s2

(x1x2)z/2

n1n2

两个总体均值之差的区间估计

【例6.5】某连锁快餐店分别在一个高校集中区域和一个商务写字楼区域开设了

两家分店，为了估计两家店日平均营业额的差值，试营业期间随机抽取了两家店

60天的营业额数据（单位：万元），计算得到相关样本信息如表6-4所示。假设

两家店的营业互不影响，试构造其日平均营业额之差的95%置信区间。

表6-4两家分店日营业额样本数据信息

分店1分店2

n1=60n2=60

x1=1.24x2=0.98

s1=0.16s2=0.10

两个总体均值之差的区间估计

解：根据题意，需要构造两家分店日平均营业额之差即总体均值之差（µ1-µ2）

的95%置信区间。随机抽取了两个独立大样本，样本量n1=n2=60，α=0.05，两

个总体方差未知，因此用两个样本均值之差（）作为估计量，用两个样本

x1x2

2222

方差s1和s2分别代替总体方差σ1和σ2。使用Excel中的【NORM.S.INV】函数

计算得到z0.025=1.96，与表6-4中的已知信息一并代入公式得到

0.1620.12

(1.240.98)1.960.260.05

60

即这两家分店日平均营业额之差的95%置信区间为0.21~0.31万元。

两个总体均值之差的区间估计

•假定两个总体都服从正态分布，分别从两个总体中独立随机抽取两个小样本

22

（n1<30，n2<30），当两个总体方差σ1和σ2已知时，两个样本均值之差

近似服从均值为（），标准误差为22的正态分布。

(x1x2)µ1-µ21/n12/n2

因此，两个总体均值之差（µ1-µ2）的1-α置信水平下的置信区间仍然为

22

12

(x1x2)z/2

n1n2

22

•当两个总体方差σ1和σ2未知时，则需要进一步区分以下两种情形。

两个总体均值之差的区间估计

22222

•当两个总体方差σ1和σ2未知但相等时，即σ1=σ2=σ，需要利用两个样本方

2

差来合并估计总体方差，记为sp，具体公式为

22

2(n11)s1(n21)s2

sp

n1n22

(xx)()

用2代替2和2，两个样本均值之差经过标准化后得到的t12服12

•spσ1σ2(x1x2)

sp1/n11/n2

从自由度为（n1+n2-2）的t分布。

•这时，两个总体均值之差（µ1-µ2）在1-α置信水平下的置信区间为

211

(x1x2)t/2(n1n22)sp()

n1n2

两个总体均值之差的区间估计

2222

•当两个总体方差σ1和σ2未知且不相等时，分别用两个样本方差s1和s2代替

(xx)()

22t1212

总体方差σ1和σ2，两个样本均值之差(x1x2)经过标准化后得到的22

s1/n1s2/n2

服从自由度为v的t分布，自由度v的计算公式为

(s2/ns2/n)2

v1122

(s2/n)2(s2/n)2

1122

n11n21

•这时，两个总体均值之差（µ1-µ2）在1-α置信水平下的置信区间为

22

s1s2

(x1x2)t/2(v)

n1n2

两个总体均值之差的区间估计

【例6.6】某超市购进了一台自助结账机，为估计人工结账和自助结账完成每笔

交易平均所需时间的差值，该超市随机调查了20笔人工结账和20笔自助结账交

易所花时间，样本数据如表6-5所示。假设人工结账和自助结账互不影响，两种

2222

方式下每笔交易所需时间的方差σ1和σ2未知，试分别构造（1）σ1=σ2；（2）

22

σ1≠σ2情形下人工结账和自助结账完成每笔交易平均所需时间之差的95%置信

区间。

表6-5某超市20笔人工结账和自助结账交易所花时间单位：秒

人工

40557063587435466880

结账

60525768457655496167

自助

35463251495430444858

结账

37284255604952333945

两个总体均值之差的区间估计

解：根据题意，需要构造人工结账和自助结账完成每笔交易平均所需时间之差即

总体均值之差（µ1-µ2）的95%置信区间。随机抽取了两个独立小样本，样本量

n1=n2=20，α=0.05。根据表6-5中的样本数据计算得到：x1=58.95，x2=44.35，

22

s1=147.94，s2=91.08。

（）假定两个总体方差未知但相等，因此用两个样本均值之差（）作为

1x1x2

22

估计量，将两个样本方差s1和s2代入公式得到

(201)147.94(201)91.08

s2119.51

p20202

使用Excel中的【T.INV】函数计算得到t0.025(38)=2.02，一并代入公式得到

11

(58.9544.35)2.02119.51()14.66.98

2020

即人工结账和自助结账完成每笔交易平均所需时间之差的95%置信区间为

7.62~21.58秒。

两个总体均值之差的区间估计

（2）假定两个总体方差未知且不相等，因此用两个样本均值之差（x1x2）作

2222

为估计量，将两个样本方差s1和s2分别代替总体方差σ1和σ2，根据公式计算得

到抽样分布的自由度

(147.94/2091.08/20)2

v35.96

(147.94/20)2(91.08/20)2

201201

使用Excel中的【T.INV】函数计算得到t0.025(35.96)=2.03，一并代入公式得到

147.9491.08

(58.9544.35)2.03)14.67.02

2020

即人工结账和自助结账完成每笔交易平均所需时间之差的95%置信区间为

7.58~21.62秒。

两个总体均值之差的区间估计

•为了排除其他因素对所观察的变量可能产生的干扰，提高两个总体均值的可

比性，有时候会将试验对象按照某些重要特征相近的原则进行配对设计（或

者直接对同一组试验对象先后进行两次不同的试验），再获取相应的样本数

据，这就是配对样本。

•在配对样本中，两个样本的数据是一一对应的，两个样本的样本量n1=n2=n，

因此用d表示两两配对数据的差值（即x1-x2），d表示各差值的均值，两个总

22

体配对差值的方差记为d，两个样本配对差值的方差记为sd。

两个总体均值之差的区间估计

•在大样本条件下，d近似服从正态分布，且均值为（µ1-µ2），标准误差

为d/n，两个总体均值之差（µ1-µ2）在1-α置信水平下的置信区间为

d

dz/2

n

当2未知时，可用2代替。

•dsd

2

•在小样本条件下，假定两个总体的配对差值服从正态分布，当d已知时，构

22

造的置信区间与上式一致；当d未知时，用sd代替，此时，d经过标准化后

d()

得到的t12服从自由度为（n-1）的t分布。因此，两个总体均值之差

sd/n

（µ1-µ2）在1-α置信水平下的置信区间为

sd

dt/2(n1)

n

两个总体均值之差的区间估计

【例6.7】从某高校随机抽取10名学生，先后采用A、B两套试卷对其进行测试，

每名学生的两次测试成绩如表6-6所示。假定总体上两套试卷的测试成绩之差服

从正态分布，试构造两套试卷平均测试成绩之差的95%置信区间。

表6-6某高校10名学生两套试卷测试成绩单位：分

学生编号试卷A试卷B差值d

178717

2634419

3726111

489845

5917417

64951-2

7685513

8766016

985778

10553916

两个总体均值之差的区间估计

解：根据题意，需要构造两套试卷平均测试成绩之差即总体均值之差（µ1-µ2）

的95%置信区间，由于是对同一组同学先后采用两套试卷进行测试，因此，这是

典型的配对样本。样本量n1=n2=n=10，α=0.05。根据表6-6中的样本数据计算得

到：

nn

(dd)2

di110i

di111si16.53

n10dn1

使用Excel中的【T.INV】函数计算得到t0.025(9)=2.26，一并代入公式得到

6.53

112.26114.67

10

即两套试卷平均测试成绩之差的95%置信区间为6.33~15.67分。

两个总体比例之差的区间估计

•与一个总体比例的区间估计类似，要构造两个总体比例之差（π1-π2）的置信

区间，通常选择两个样本比例之差（p1-p2）作为其估计量，在独立大样本

（n1≥30，n2≥30）条件下，（p1-p2）近似服从正态分布，且均值等于总体比

例之差（），标准误差等于，两个样本比例

π1-π21(11)/n12(12)/n2

之差经过标准化后就近似服从标准正态分布。

•由于两个总体比例π1和π2是未知的，分别用样本比例p1和p2代替，得到两个

总体比例之差（π1-π2）在1-α置信水平下的置信区间为

p1(1p1)p2(1p2)

(p1p2)z/2

n1n2

两个总体比例之差的区间估计

【例6.8】某保险公司拟开发一款新型寿险产品，为了解两个不同城市潜在消费

者的购买意愿，在第一个城市随机调查了200人，其中40%的人明确表示有购买

意愿；在第二个城市随机调查了300人，其中25%的人明确表示有购买意愿。试

构造两个城市中有意愿购买该款寿险产品的消费者所占比例之差的99%置信区间。

解：根据题意，需要构造两个城市中有意愿购买该款寿险产品的消费者所占比例

之差即总体比例之差（π1-π2）的99%置信区间。样本量n1=200，n2=300，样本

比例p1=0.4，p2=0.25，α=0.01，使用Excel中的【NORM.S.INV】函数计算得到

z0.005=2.58，代入公式得到

0.4(10.4)0.25(10.25)

(0.40.25)2.580.150.1102

200300

即两个城市中有意愿购买该款寿险产品的消费者所占比例之差的99%置信区间为

3.98%~26.02%。

两个总体方差之比的区间估计

22

•如果要构造两个总体方差之比（σ1/σ2）的置信区间，通常会选择样

22

本方差之比（s1/s2）作为估计量。可以证明，当两个总体均服从正

s22

12

态分布时，22服从自由度为n1-1和n2-1的F分布。依据F分布的概率

s21

密度曲线可得

s2/s22s2/s2

12112

P21

F/22F1/2

•其中，F1/2和F/2分别为F(n1-1,n2-1)分布的1-α/2上侧分位数和α/2上侧分位

s2/s222

12s1/s222

数，和即为两个总体方差之比（σ1/σ2）在1-α置信水平下的置信

F1/2F/2

区间上下限。

两个总体方差之比的区间估计

【例6.9】沿用例6.5，假定两家分店日营业额均服从正态分布，试构造其总体方

差之比的95%置信区间。

22

解：根据题意，需要构造两家分店日营业额总体方差之比（σ1/σ2）的95%置信

区间。样本量n1=n2=60，s1=0.16，s2=0.10，α=0.05，两个总体均服从正态分布，

使用Excel中的【F.INV.RT】函数可以计算得到F0.025(59,59)=1.674，F0.975

22

(59,59)=0.597，代入公式得到两个总体方差之比（σ1/σ2）在95%置信水平下

的置信区间为

0.162/0.120.162/0.12

(,)

1.6740.597

即两家分店日营业额总体方差之比的95%置信区间为1.53~4.29。

第6章参数估计

6.4样本量的确定

样本量的确定

•理想情况下我们总是希望构造一个置信水平较高而宽度又较窄的置信

区间。

•但从上述构造置信区间的过程中不难发现，当样本量固定的时候，设

定一个较高的置信水平计算得到的置信区间也较宽，想要得到一个较

窄的置信区间，相应的置信水平又会偏低。

•只有增加样本量，才能在固定的置信水平下缩小置信区间的宽度，或

在固定的置信区间宽度下提高置信水平。

•因此，人们可以根据可接受的区间宽度和置信水平来计算所需的样本

量，或者在最大样本量的允许条件下，寻求置信水平和置信区间宽度

之间的平衡。

估计总体均值时样本量的确定

1.一个总体均值的估计

•一个总体均值的置信区间通常表示为样本均值加减边际误差，因此边际误差

的大小决定了置信区间的宽度，而置信水平1-α和样本量n共同决定了边际误

差的大小。

•令E代表实践中可接受的边际误差，在大样本情况下Ez/2，变化得到

n

2

z

n/2

E

•这样，对于给定的置信水平和允许的边际误差，就可以确定所需的样本量。

如果总体方差σ2未知，可以用以往类似的样本或预调查的样本方差s2代替。

估计总体均值时样本量的确定

【例6.10】假定某城市的上班族每天乘坐地铁到达工作单位所花时间的标准差为

20分钟，要构造其平均时间的95%置信区间，允许的边际误差为5分钟，试计算

所需的样本量。

解：根据题意，已知σ=20，E=5，使用Excel中的【NORM.S.INV】函数计算得

到z0.025=1.96，代入公式得到

2

1.9620

n61.4762

5

即调查的样本量应为62。

估计总体均值时样本量的确定

2.两个总体均值之差的估计

•两个总体均值之差的置信区间通常表示为两个样本均值之差加减边际误差，

22

12

在独立大样本情况下Ez/2，假定抽取两个样本量相同的样本，变

n1n2

化得到

(z)2(22)

nn/212

12E2

22

•同样地，当两个总体方差σ1和σ2未知时，可以分别用以往类似的样本或预调

2