第7章时间数列（课件）-《统计学基础（第4版）》同步教学（电子工业版）

第7章

时间数列

LOGO

第7章时间数列

时间数列概念作用和种类

时间数列的水平指标

时间数列的速度指标

时间数列趋势分析预测

2026-9-182

7.1时间数列概念作用和种类

7.1.1

时间数列的概念和作用

1.时间数列的概念(time-series)

将某一统计指标的数值按时间的先后顺序

排列起来所形成的数列，又称为动态数列

在时间数列中，指标数

值也称发展水平

2026-9-183

2．时间数列的作用

描述事物在过去时间的状态

分析事物发展变化的方向、速度

和趋势，研究其变化的规律性

可以为某些社会经济现象进行未来预测

可以将不同地区或国家进行对比分析

2026-9-184

可加性

7.1.2时间数列的种类

数数值列与时指间标长短是有关反映

最基本

时期数列现象连在续累一计段时期

总量指标

时发展过程的总量

时间数列不可加

间时点数列数数值列与时指点标间隔是无关反映

数现象在某一时点

间断登记

列状况上的水平

相对指标

时间数列

由相对指标数值和平均指标数值按时间

平均指标先后顺序排列的数列

时间数列

2026-9-185

年份GDP（亿元）年末人口（万人）第三产业比重（%）

200934090313347442.6

201040151313410043.0

201147310413473543.1

201251947013540444.6

201356884513607246.1

201463646313678248.2

相对数列

时期数列时点数列

2026-9-186

7.1.3时间数列的编制原则

计经

总时

体算济

间口内

范上

围径容

可可可

可比

比比比

2026-9-187

7.2

时间数列的水平指标

7.2.1发展水平与平均发展水平

1．发展水平(Time-

series

data)

时间数列中具体时间条件下的指标数值

也叫时间数列水平一般用ai表示

可以是总量指标，相对指标或平均指标

2026-9-188

根据其所处位置不同有

最初水平，最末水平，中间水平

a0an

…

a1a2an1

根据其作用不同

有报告期水平，基期水平

a1a0

常用文字（发展、增长、降低…）

“为”“到”表示

2026-9-189

2．平均发展水平（序时平均数或动态平均数）

将动态数列不同时间上的发展水平加以

平均而得到的平均数

可以反映社会经济现象在一段时间内发展

变化的一般水平，并对其做出概括的说明

可以消除社会经济现象在短期内波动的影

响，观察现象的发展趋势

可以对某一段时间内某一事物发展达到的

一般水平进行不同单位、不同地区之间的

比较

2026-9-1810

序时平均数与一般平均数的区别与联系

从动态上说明某一从静态上说明同一事

事物在不同时间上物总体不同单位在同

发展的一般水平一时间上的一般水平

平序一平

均时平均的是事物在平均的是总体各单般均

数不同时间上的数位某一数量标志在数

量差异同一时间上的数量

差异

根据时间数列计算根据变量数列计算

都是将各个变量值差异抽象化

2026-9-1811

简

算术平均数单

计算平均数调和平均数和

加

几何平均数权

静态平均数

平

均位置平均数

数

动态平均数（序时平均数）

2026-9-1812

平均发展水平的计算方法

时间数列的种类不同，计算其序时平均

数的方法也不同。

序时平均数可以根据总量指标时间数

列来计算，也可以根据相对指标时间

数列或平均指标时间数列来计算。

根据总量指标时间数列来计算是最

基本的方法

2026-9-1813

⑴根据总量指标时间数列计算平均发展水平

①由时期数列计算平均发展水平

aaaa

a12n

nn

【实例7．1】某公司2004年四个季度销售额资料如下，计算该公司各季度

的平均销售额。

时期第一季度第二季度第三季度第四季度

销售额450400480500

a1a2ana450400480500

a457.5(万元）

nn4

2026-9-1814

②由时点数列计算平均发展水平

ⅰ.根据连续时点数列计算

a

a

间隔相等n

间隔不等af

a

f

2026-9-1815

【实例7．2】某公司业务一科9月上旬每日出勤人

数分别为：14，15，14，13，15，14，14，13，15，

13。计算9月上旬平均每日出勤人数。

a14151413151414131513

a14（人）

n10

【实例7．3】某企业2015年6月成品库存资料如下

时间1日10日15日25日

26日28日

库存量100240400300

200200

af1009240540010300120022004

a245.1（6台）

f31

2026-9-1816

ⅱ.根据间断时点数列计算

资料通过间隔一

定时期登记取得

a1an

a2a3an1

间隔相等a22

n1

a1a2a2a3an1an

f1f2fn1

间隔不等a222

f1f2fn1

2026-9-1817

【实例7．4】某制造企业2006年第一季度职工人数资料如下

时间1月1日2月1日3月1日4月1日

职工人数150160156162

一季度平均职工(150160)(160156)(156162)

150/2160156162/2

人数a222157.（3人）

413

【实例7．5】某公司2005年度职工人数资料如下

时间1月1日5月1日8月1日11月31日12月31日

职工人数400420426432440

400420420426426432432440

2005年度该公司年平43415061

a2222421.75(人）

均职工人数434112

2026-9-1818

总量指标时间数列计算公式小结

a

时期数列a

n

a

间隔相等a

n

连续时点数列

af

间隔不等a

f

11

时点数列aaa

2122n

间隔相等a

n1

间断时点数列

1

(aiai1)fi

间隔不等a2

f

2026-9-1819

（2）根据相对指标或平均指标时间数列

计算平均发展水平

计算相对数或平均数的序时平均数c,

首先分别计算分子a和分母b两个总量指

标时间数列的序时平均数（a和b），

然后加以对比而成。

a

基本计算公式为c

b

a数列和b数列既可以是时期数列也可以是时点数列,

不同的情况使用的具体方法也有所不同。

2026-9-1820

第一种情况

a数列和b数列都是时期数列

a

aa

cn

bbb

n

2026-9-1821

某商业企业第一季度销售额计划完成情况如下

时间1月份2月份3月份

实际完成销售额a125.6136.7197.8

计划完成销售额b115.0128.0176.0

销售额计划完成程度（%）c109.2106.8112.4

第一季度销售额计划完成程度

a

aa125.6136.7197.8460.1

cn109.8%

bbb115.0128.0176.0419.0

n

第二种情况

a数列和b数列都是时点数列

例如间隔相等的间断时点数列

aa

1aaan

a23n1

c22

bbbn

1bbb

223n12

某投资咨询公司的职工人数资料如下

月份6月末7月末8月末9月末

投资咨询业务人数645670695710

全部职工人数805826830854

投资咨询业务人员占全部职工人

数（%）80.183.783.783.1

第三季度投资咨询业务人员占全部职工人数的比重

aa645710

1aaan670695

23n12042.5

c222282.18%

b1bn8058542485.5

bbb826830

223n1222

第三种情况

a数列和b数列一个是时

期数列一个是时点数列

a(aaaaa)/n

c123n1n

bb0bn

(bbbb)/n

2123n12

某超市第四季度商品销售额与月末库存额资料如下

月份9月10月11月12月

商品销售额a7580150240

月末库存额b35455565

商品流转次数（次）c—234

第四季度平均每月商品流转次数

80150240

a(aaaaa)/n156.7

c123n1n33.1（3次）

bb0bn356550

(bbbb)/n4555

2123n1222

3

7.2.2增长量与平均增长量

1．增长量

又称增减量，说明现象在观察期内增减的绝对数量

增长量＝报告期水平－基期水平

逐期增长量aa,aa,aa,,aa

基期不同，有102132nn1

累计增长量a1a0,a2a0,a3a0,,ana0

二者关系累计增长量等于相应各个逐期增长量之和

ana0(a1a0)(a2a1)(a3a2)(anan1)

2026-9-1827

年距增长量

在实际工作中，为消除季节变动的影响，还经常计算

年距增长量指标，它是本期水平与上年同期水平之差

年距增长量＝本期水平－去年同期水平

【例】某地2016年第一季度对外贸易进出口总额为

360亿美元，2015年第一季度为300亿美元

年距增长量＝360－300＝60亿美元

2026-9-1828

2．平均增长量

指逐期增长量的简单算术平均数

说明现象在一段时期内平均每期增长的量

逐期增长量）

平均增减量(

逐期增长量的个数

累计增长量

发展水平项数1

2026-9-1829

7.3时间数列的速度指标

7.3.1发展速度与增长速度

1.发展速度(rateofexpansion)

发展速度＝报告期水平／基期水平

定期发展速度a1,a2,...,an1,an

基期不同，有a0a0a0a0

aaaa

环比发展速度1,2,...,n1,n

a0a1an2an1

二者关系：定基发展速度等于环比发展速度连乘积

ana1a2a3an1an

aaaa...aa

2026-9-180012n2n130

2．增长速度(rate

of

growth)

又称增减速度，说明现象增长变化的相对程度

�长量

�长速度发展速度1(100%)

基期水平

累计增长量

定基增长速度＝定基发展速度－1

基期固定基期水平

不同

逐期增长量

环比增长速度＝环比发展速度－1

上一期水平

二者关系：总增减速度不等于相应环比增速之和（积）

2026-9-1831

同比增长速度

同期（年距）增长量与去年同期发展水平

相对比的相对数

年距增长量

同比增长速度＝＝同比发展速度－1

上年同期发展水平

【例】某地2016年第一季度对外贸易进出口总额为

360亿美元，2015年第一季度为300亿美元

同比（年距）增长速度＝60/300＝120％－1＝20％

2026-9-1832

增长1%的绝对值

反映增长速度的实际效果，表明速度每增长1％，

发展水平指标在绝对数上增长了多少

逐期增减量

增减1％的绝对值＝

环比增减速度100

逐期增减量1

逐期增减量前一期水平100

前一期水平

＝

100

计算该指标可解决水平指标和速度指标在分析

现象发展中可能会出现的矛盾和不全面的问题

2026-9-1833

7.3.2平均发展速度与平均增长速度

1．平均速度指标的概念和作用

平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度指标

平均速度是各个时期环比速度的平均数，说明社会

经济现象在较长时期内速度变化的平均程度

平均增长速度＝平均发展速度－1

概括说明现

象发展变化

进行经济预编制计

测的方法划依据

2026-9-18便于对比34

2．平均发展速度的计算方法

（1）水平法（几何平均法）

以xi表示环比发展速度，根据环比发展速度

与总速度的关系，计算平均发展速度应该采

用几何平均法：

n

xx1x2xn

ｎ＝环比发展速

度的个数n发展总速度同种方法

＝数列发展水平资料不同

项数－１最末水平

n则有三种

最初水平计算形式

2026-9-1835

水平法计算平均发展速度具有两个特点

这种方法侧重于考察最末一期的发展水平

这种方法不能准确反映中间水平的起伏状况

如果关心现象在最后一期应达到的水平时，

采用水平法计算平均发展速度比较合适。

如产量、工资等

2026-9-1836

（2）累积法（方程法）

基本思想

n

各期实际水平的总和为a1a2anai

i1

用各期的环比发展速度xi去推算各期水平

n

a0x1a0x1x2a0x1x2xnai

i1

再用平均发展速度去代表各期环比发展速度，应满足

n

ai

xx2xni1

a0

方程的正根=平均发展速度

2026-9-1837

累积法计算平均发展速度的特点

侧重于考察全期总水平，计算结果取

决于整个计算期各期水平的累计总和，

故称为“累积法”

如果关心整个考察期内的总量时，采

用累积法计算平均发展速度比较合适。

如基建投资、占用土地等

2026-9-1838

3．平均增长速度的计算方法

平均增长速度等于平均发展速度减去100%

在实际工作中，平均增长速度不能根据各期的增

长速度或总增长速度来计算，而是通过先计算平

均发展速度，再依据两者之间关系进行换算。

【例】某公司产品单位成本在前五年环比增减速度资料如下

年份200020012002200320042005

环比增长速度%—-1.0-1.5-2.0-1.8-0.5

x5(1.0%1)(1.5%1)(2.0%1)(1.8%1)(0.5%1)98.64%

平均增长速度=98.64%-1=-1.36%

2026-9-1839

应用平均速度应注意的问题

总平均速度与各环比速度、分段平均速度结合

当时间序列中的观察值出现0或负数时，

不宜计算速度，而适宜直接用绝对数进

行分析

将速度与水平二者结合——

常常用到增长1%的绝对值来

补充说明增长速度

2026-9-1840

7.4时间数列趋势分析预测

时间数列的构成要素

长期趋势(Secular

Trend

)

季节变动(Seasonal

Fluctuation

)

循环变动(Cyclical

Variation)

不规则变动(Irregular

Variations

)

2026-9-1841

长期趋势(Secular

Trend

)

现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态

由影响时间数列的基本因素作用形成

是时间数列中最基本的构成要素

可分为上升趋势、下降趋势、水平趋势

或分为：线性趋势和非线性趋势

2026-9-1842

季节变动(Seasonal

Fluctuation

)

现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一

周期呈现较有规律的上升、下降交替运动

通常表现为现象在一年内随着自然季节的更替而

发生的较有规律的增减变化，有旺季和淡季之分

是一种周期性的变化

周期长度小于一年

形成原因——有自然因素，也有人为因素

2026-9-1843

循环变动(Cyclical

Variation)

现象呈现出以若干年为一周期、涨落相间、

扩张与紧缩、波峰与波谷相交替的波动

不同于长期趋势T表现为单一方向的持续变动，

C表现为波浪式的涨落交替的变动

不同于季节周期周期长度不同

模型识别的难易程度不同

形成原因不同

2026-9-1844

不规则变动(Irregular

Variations

)

现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向

不定、时起时伏、时大时小的随机变动

战争、自然灾害或其它社会因素等意外

事件引起的突然变动。影响作用无法相

互抵消，影响幅度很大。

我们研究随机波动而不含突然异常变动的情况

2026-9-1845

7.4.1长期趋势分析预测

1．长期趋势测定与预测的意义

把握现象的趋势变化

为进行统计预测提供必要条件

消除原有动态数列中长期趋

势的影响，更好地显示和测

定季节变动

2026-9-1846

2.间隔扩大法（时距扩大法）

测定直线趋势的一种简单的方法

当原始时间数列中各指标数值上下波动，

使现象变化规律表现不明显时，可通过扩

大数列的时间间隔，对原资料加以整理，

以反映现象发展的趋势

遵循原则

同一数列前后时间间隔应当一致，以便于比较

时间间隔的长短，应根据具体现象的性质和特点而定

2026-9-1847

3．移动平均法(moving

average

Method)

选择一定的平均项数（常用N表示），采用逐项

递移的方法对原时间数列计算一系列序时平均值

这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则

变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基

本发展趋势

2026-9-1848

应用移动平均法分析长期趋势时，应注意的问题

移动平均对数列具有平滑修匀作用，平均项数

（N）越大，对数列的平滑修匀作用越强

移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置；

当N为奇数，只需一次移动平均；

当N为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均

（或中心化）

若数列包含周期性变动，为了消除周期变动而

只反映T，应以周期长度作为移动间隔的长度。

若是季度资料，应采用4项移动平均

若为月份资料，应采用12项移动平均

2026-9-1849

新数列较原数列项数少,造成部分信息

缺损。N越大，缺项越多

移动平均法可以呈现出现象的长期趋势，但本

身不能进行外推预测。只有当T为水平趋势时，

才可用移动平均值作为最近一期的预测值

股票证券技术分析中的各种均线（即移动平均

曲线）为了预测方便，将移动平均值放在所平

均时间的最末一期。

2026-9-1850

4．最小平方法(Least

square

method)

长期趋势的类型很多，有直线型，

也有曲线型

最小平方法既可用于配合直线，

也可用于配合曲线，它是分析长

期趋势的十分普遍和理想的方法。

2026-9-1851

(1)直线方程

如果现象的发展，其逐期增长量大体上相等，

则可考虑配合直线趋势。

ycabt

yc代表时间序列的趋势值；

t代表时间标号，常常取1、2、3、…n；

a为趋势线在Y轴上的截距；

b是趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位

时观察值的平均变动数量；

其中,a、b为待估计的直线趋势方程的参数

2026-9-1852

a和b一旦确定，直线就被唯一确定

究竟用那条直线来代表两个变量之间的关系?

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

200420052006200720082009201020112012201320142015

希望这条直线离各离散点最近

对于时间t，它对应的实际数值y同这条直线上的理

论值yc的离差平方和为最小值。

2026-9-1853

求极值偏导

为0

22最小值

yycyabx

ntyty

b

nt2(t)2

ybt

aybt

n

2026-9-1854

某地区2009—2014年家用洗衣机产量资料如下所示。

求出直线趋势方程，并预测2015年家用洗衣机产量。

年份产量逐期增长量年份序号t2

yttyyc

200968000063.7

2010713117171.38

20117542415075.46

20127943923779.54

201384541633683.62

201488452544087.7

合计465—1555465

1234

解：在资料中=6t15y456t255ty1234

将这些数据资料代入方程，得：a＝67.3b＝4.08

67.3+4.08X6=91.78

yc67.34.08t

为了计算方便,取时间数列的中间时期为原点则t=0，公式可化简为

y

a

ynan

2ty

tybtb

t2

这种计算称为简捷法运算

当时间项数为奇数时，可假设t的中间项为0，这时时间项

依次排列为：…，一3，一2，一1，0，l，2，3，…；

当时间项数为偶数时，时间项依次排列为：…，一5，

一3，一1，1，3，5，…，这样，原点o实际上是在数列

正中相邻两个时间的中点，保证了时间项间隔相等。

2026-9-1856

(2)抛物线方程

如果现象的发展，其逐期增长量的增长量(即

各期的二级增长量)大体相同，则可考虑曲线

趋势——配合抛物线方程。2

ycabtct

根据最小平方法的要求,同样用求偏导数的方法，

32

通过假设t，使∑t=0，∑t=0，ynact

tybt2

224

tyatct

将上述标准联立方程组求解，就可得到a,b,c

之值，再将这三个参数代入抛物线方程，即为

所求的抛物线方程模型。

2026-9-1857

(三)指数曲线方程

如果现象的发展，其环比发展速度或环比增长

速度大体相同，则可考虑曲线趋势——配合指

数曲线方程。t

ycab

先对方程式两边各取对数lgyclgatlgb

YlgycAlgABlgbYABt

同样设法使∑t＝0YnA

2

tYBt

将方程组求解，即可求出A，B之值。由于A，B

为对数值，需要查反对数表求得a，b值。

2026-9-1858

7.4.2季节变动分析预测

影响现象发展水平的四因素

•长期趋势Trend

•Seasonality

•循环变动Cyclicality

•不规则变Irregularity

2026-9-1859

季节变动

啤酒销售

超市周日至周六营业额

城市交通每天上下班高峰时段

旅游

2026-9-1860

提出问题

1有时是“旺季”，有时是“淡季”，

“旺”“淡”程度如何？

2怎样利用“旺、淡”规律，对未来

进行预测？

2026-9-1861

季节变动的概念

现象受季节的影响而发生的变动

一年内4个季度或12个月变动

一个月内上、中、下旬周期性变

一动个星期内周初到周末周期性变动

2026-9-1862

季节变动的特点

短期的

short-term

周期性的

seasonal

有规律的变动

regularity

2026-9-1863

季节变动的测定的常用方法：

1.按月（季）平均法（简单平均法）

2.趋势剔除法(长期趋势剔除法）

2026-9-1864

1.按月（季）平均法

亦称按季平均法。若是月资料就是按月平均；

若是季资料则是按季平均。

计算的一般步骤为

1．列表。将各年同月(季)的数值列在同一栏内；

2．将各年同月(季)数值加总，并求出月(季)平均数；

3．将所有月(季)数值加总，求出总的月(季)平均数；

4．求季节比率(或季节指数)，其计算公式为

各月平均数

季节比率100%

全期各月平均数

2026-9-1865

按月平均法

年份第1季度第2季度第3季度第4季度合计

20114501502505001350

20125001802805601520

20135802003206301730

20147002503807502080

合计2230780123024406680

同季平均557.5195307.5610417.5总平均

399.9

季节比率%133.546.773.64146.071

调整季节比率

%133.5346.7173.66146.1400

淡季旺季

2.移动平均趋势剔除法

按移动平均法来剔除长期趋势的影响，

再计算季节变动的方法。

计算步骤（以月资料为例）

1.据各年的月（季）资料Y计算12项（4项）移动平均T

2.计算修匀比率：Y

Y

T

3.将Y按月排列,求同月（季）的平均值：T

Tn

再与总平均：y

比，即得季节比率

t

12

2026-9-1867

必须指出，某些现象的季节变动并非是

永恒的规律，随着科技的进步和人们生

活习惯的改变，某些社会现象的季节变

动会被削弱甚至完全消失。例如，鸡在

冬天通常不下蛋，但在现代化的养鸡场，

用电灯代替阳光延长白昼，室内设有空

调，饲料又有专门的配方，讲究营养，

鸡在冬天照样下蛋。

2026-9-1868

在实际中，季节变动的分析已被推广，凡在

短期内，现象有周期性的规律变动，都可称

为季节变动，也可用这类方法去测定。

如一周内，哪天公园的游客最多，

超市的销售额在星期几最高；

一天内，哪些时间(小

时)交通最拥挤，什么时

段商场客流量最大等。

2026-9-1869

7.5利用Excel进行时间数列分析

7.5.1利用Excel进行水平分析与速度分析

1．时间数列的水平分析

首先，在A列输入年份，在B列输入粮食产量。

第一步：计算粮食产量的动态平均数。可直接利用函数AVERAGE

计算，单击任一空单元格，本例为E7，输入“=AVERAGE

（B2:B12）”得结果48745.27万吨。

第二步：计算逐期增长量。在C3中输入“=B3-B2”，回车得结果，

然后，使用填充柄功能按住鼠标左键向下拖，至C12单元格，放开

鼠标，可得C4～C12结果，即2002～2010年的逐期增长量自动填

入C4～C12。

2026-9-1870

第三步：计算累计增长量。在D3中输入“=B3-46251”，

回车得结果，然后，使用填充柄功能按住鼠标左键向下

拖，至D12单元格，放开鼠标，可得D4～D12结果，即

2002～2010年的累积增长量自动填入D4～D12。

第四步：计算平均增长量。在任一空单元格，本例为

G7，输入“=D12/(11-1)”或“=SUM(C3:C12)/(11-1)”按

回车键，即可得到平均增长量839万吨。

2026-9-1871

2．时间数列的速度分析

第一步：计算粮食产量的环比发展速度。在C3中输入

“=ROUND(B3/B2*100,2)”，回车得结果，然后，使用

填充柄功能按住鼠标左键向下拖，至C12单元格，放开

鼠标，可得C3～C12结果，即2000～2010年的环比发

展速度自动填入C3～C12。

第二步：计算粮食产量定基发展速度。在D3中输入

“=ROUND(B3/46251*100,2)”，回车得结果，然后，使

用填充柄功能按住鼠标左键向下拖，至D12单元格，放

开鼠标，可得D3～D12结果，即2000～2010年的定基

发展速度自动填入D3～D12。

2026-9-1872

第三步：计算粮食产量的环比增长速度。在E3中输入“=C3-

100”，回车得结果，然后，使用填充柄功能按住鼠标左键向下

拖，至E12单元格，放开鼠标，可得E3～E12结果，即2000～

2010年的环比增长速度自动填入E3～E12。

第四步：计算粮食产量的定基增长速度。在F3中输入“=D3-

100”，回车得结果，然后，使用填充柄功能按住鼠标左键向下

拖，至F12单元格，放开鼠标，可得F3～F12结果，即2000～

2010年的定基增长速度自动填入F3～F12。

2026-9-1873

7.5.2利用Excel进行长期趋势分析

以直线趋势为例说明长期趋势的测定与预测的方法。测定

直线趋势的方法主要有移动平均法和最小二乘法。

1．移动平均法

第一步：单击“工具”菜单，选择“数据分析”选项。打开“数

据分析”对话框，从其对话框的“分析工具”列表中选择“移

动平均”，单击“确定”按钮，打开“移动平均”对话框。

第二步：确定输入区域和输出区域。

确定输入区域。在“输入区域”框中输入分析数据所在的单

元格区域。在本例中，输入区域为$B$2:$B$12。“间隔”框

中输入移动平