2025-2026学年上海市长宁区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2026学年上海市长宁区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列实数中，是无理数的是（）A．0 B． C． D．2．下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．4．下列说法中，错误的是（）A．8的立方根是 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是 D．立方根等于它本身的数是、05．下列一元二次方程无实数根的是（）A． B． C． D．6．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（）A．1 B． C． D．3二、填空题7．9的平方根是．8．计算：．9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为．10．比较大小：5．（填“”，“”“”）11．实数在数轴上的位置如图所示，化简：．12．计算：．13．不等式的解集是．14．如果方程是一元二次方程，那么的值为．15．方程的根是．16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．17．“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：，为风速（单位：．当风压为时，估计风速为．18．定义符号，的含义为：当时，，；当时，，，如：，，，，则方程，的解是．三、计算题19．计算：．

20．计算：．

21．计算：．

22．解方程：．23．解方程：．

四、解答题24．先化简，再求值：，其中．

25．已知，为实数，，求的平方根．

26．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：设，；（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：；（3）若，且、、均为正整数，求的值？

27．综合与探究：【定义】我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）【举例】一元二次方程的“友好方程”是．（2）【探究】已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的根．（3）【猜想】当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为．（4）【证明】证明（3）中的特殊关系，请完成下面填空，并补全证明过程．证明：方程的两根为，，方程的两根为．，（5）【拓展】已知关于的方程的两根是，，请利用上述结论，直接写出关于的方程的两根．

参考答案一、选择题：本大题共6小题，共18分。1．下列实数中，是无理数的是（）A．0 B． C． D．解：、0是有理数，故错误；、是有理数，故错误；、是有理数，故错误；、是无理数，故正确；故选：．2．下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；、是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：．3．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．解：、选项方程是分式方程，不合题意；、选项方程含有2个未知数，不合题意；、选项方程没有说明的取值，不合题意；、选项方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，故选：．4．下列说法中，错误的是（）A．8的立方根是 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是 D．立方根等于它本身的数是、0解：、8的立方根是2，原说法错误，符合题意；、4的算术平方根是2，正确，不符合题意；、，9的平方根是，正确，不符合题意；、立方根等于它本身的数是，0，正确，不符合题意，故选：．5．下列一元二次方程无实数根的是（）A． B． C． D．解：、△，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；、△，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；、△，则该方程无实数根，故本选项符合题意；、△，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：．6．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（）A．1 B． C． D．3解：由题意可设正方形的面积为，则其范围为，那么其边长在1到之间，则其边长为，故选：．二、填空题：本大题共12小题，共24分。7．9的平方根是．解：9的平方根是．故答案为：．8．计算：．解：．故答案为：．9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为．解：，．故答案为：．10．比较大小：5．（填“”，“”“”解：，，故答案为：．11．实数在数轴上的位置如图所示，化简：1．解：由数轴可得：，，故．故答案为：1．12．计算：7．解：原式，故答案为：7．13．不等式的解集是．解：，，，故答案为：．14．如果方程是一元二次方程，那么的值为2．解：方程是一元二次方程，，解得：，的值为2．故答案为：2．15．方程的根是或．解：，，则或，解得：或，故答案为：或．16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是且．解：由已知得：，即，解得：且．故答案为：且．17．“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：，为风速（单位：．当风压为时，估计风速为16．解：当风压为时，，故答案为：16．18．定义符号，的含义为：当时，，；当时，，，如：，，，，则方程，的解是3或．解：，即时，，，，解得，（舍去）；，即时，，，，解得，（舍去）．故方程，的解是或．故答案为：3或．三、计算题：本大题共5小题，共25.19．计算：．解：．．20．计算：．解：原式．21．计算．解：原式．22．解方程：．解：，，，或，，．23．解方程：．解：这里，，，△，，则，．四、解答题：本题共4小题，24-26题每题7分，27题12分，共33分。24．先化简，再求值：，其中．解：原式，当时，原式．25．已知，为实数，，求的平方根．解：由题意，得，，且解得，，的平方根是26．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：设，；（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：；（3）若，且、、均为正整数，求的值？解：（1），，，故答案为：，；（2）当，时，，，故答案为：13，4，1，2（答案不唯一）；（3）由题意，得，．，且、为正整数，，或，，或．27．综合与探究：【定义】我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）【举例】一元二次方程的“友好方程”是．（2）【探究】已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的根．（3）【猜想】当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为．（4）【证明】证明（3）中的特殊关系，请完成下面填空，并补全证明过程．证明：方程的两根为，，方程的两根为．，（5）【拓展】已知关于的方程的两根是，，请利用上述结论，直接写出关于的方程的两根．解：（1）一元二次方程的“友好方程”为：，故答案为：；（2）