2026年上海市高考数学试卷（含解析）

2026年上海市高考数学试卷（回忆版）一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。）1．已知集合，，且，则．2．已知数列是等比数列，且，，则．3．已知，则．4．已知事件与事件互斥，且（A），（B），则．5．已知函数是偶函数，当时，，若，则．6．在的二项展开式中，项的系数为．7．已知，则的最大值为．8．已知随机变量的分布为，且，则．9．已知为等差数列，，为公差，为的前项和，若中至少有两项位于之间，则公差的取值范围为．10．已知，向量，，两两不平行，且，，则．11．已知速度与时间满足，，，，若初始速度为0，及时导数皆为0，且速度第一次达到4时，用时为0.1秒，则．12．已知，，为某椭圆的4个顶点和2个焦点中任意三个，且满足，，，则椭圆的离心率为．二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）13．已知为不为1的任意实数，则（）A． B． C． D．14．已知事件、为独立随机事件，事件表示“事件、至少有一件发生”，则（）A． B． C． D．15．对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称与伴随．若与伴随，则与伴随的充要条件是（）A． B． C． D．16．如图，空间直角坐标系中，存在一个正方体，其中，为坐标原点，将该正方体绕体对角线为旋转轴旋转一周，点将经过个卦限．A．1 B．3 C．4 D．7三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）17．某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下：某颗粒物密度101.0287.0257.4621.8511.768.865.034.633.86二氧化硫密度119.4751.8453.29.166.64.43.313.353.86（1）为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内（直接写结论）．（3）2023年前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于的回归方程拟合采用或，若2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小，说明理由．参考数据：18．已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，．（1）证明：；（2）若四棱锥体积，求二面角的大小．19．已知，函数，．（1）若（1），求的解集；（2）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．20．（18分）已知双曲线，为上一点，，分别为左、右焦点．（1）求点到渐近线的距离；（2）若，求△的面积；（3）已知为双曲线满足和的部分，过的直线与相交于，两点，且分别位于第一、四象限，过的直线与相交于，两点，且分别位于第三、四象限，是否存在实数，对任意的直线，都存在唯一的直线，使得？若存在，请求出的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知，，是1，2，3的一个排列，对函数，，，对于任意，都有且，则称，，是关于，，的一个排列，关于，，的排列总数记为．（1）若，，，，，判断，1，是否为Ⅰ排列？（2）若，，，，满足条件的，求的取值范围？（3）对，，且对任意，，，令，，，，，证明：若严格减，则存在，使，若严格增，则存在，．

参考答案一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。）1．已知集合，，且，则．解：，，，由题意，，即．故答案为：．2．已知数列是等比数列，且，，则54．解：数列是等比数列，且，，由题意，．故答案为：54．3．已知，则．解：因为，所以．故答案为：．4．已知事件与事件互斥，且（A），（B），则0.7．解：已知事件与事件互斥，且（A），（B），则（A）（B）．故答案为：0.7．5．已知函数是偶函数，当时，，若，则1．解：根据题意，是偶函数，且，则（4），又由当时，，则（4），所以．故答案为：1．6．在的二项展开式中，项的系数为10．解：的二项展开式的通项公式为，令，则，则项的系数为．故答案为：10．7．已知，则的最大值为．解：因为实数，满足，所以由基本不等式可得：，所以，当且仅当，即或时等号成立，即的最大值为．故答案为：．8．已知随机变量的分布为，且，则0.6．解：根据题意，，则．故答案为：0.6．9．已知为等差数列，，为公差，为的前项和，若中至少有两项位于之间，则公差的取值范围为．解：若，显然，则不满足题意；若，只需，故．故答案为：．10．已知，向量，，两两不平行，且，，则．解：不妨设，故．故答案为：．11．已知速度与时间满足，，，，若初始速度为0，及时导数皆为0，且速度第一次达到4时，用时为0.1秒，则．解：由题意，最小值为0，最大值为4，故，由速度第一次达到4时用时为0.1秒得时只能是最小值，时取最大值，故，则，所以，由可得，即，故．故答案为：．12．已知，，为某椭圆的4个顶点和2个焦点中任意三个，且满足，，，则椭圆的离心率为．解：已知，，，则△不是等腰三角形，故上下顶点不能同时取到，左右顶点不能同时取到，两焦点也不能同时取到，故只能取一个上下顶点，一个左右顶点，一个左右焦点，且，，若，，，则，，，满足题意；若，，，则，不满足题意；若，，，则，不满足题意；综上，，，则离心率．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）13．已知为不为1的任意实数，则（）A． B． C． D．解：因为为不为1的任意实数，所以．故选：．14．已知事件、为独立随机事件，事件表示“事件、至少有一件发生”，则（）A． B． C． D．解：因为事件表示为事件、至少有一件发生，所以，所以．故选：．15．对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称与伴随．若与伴随，则与伴随的充要条件是（）A． B． C． D．解：由题意，设，，若与伴随，则或，当时显然成立，当时，只能，综上，，即．故选：．16．如图，空间直角坐标系中，存在一个正方体，其中，为坐标原点，将该正方体绕体对角线为旋转轴旋转一周，点将经过个卦限．A．1 B．3 C．4 D．7解：由题意，点轨迹为△的外接圆，如图，显然只有第一卦限．故选：．三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）17．某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下：某颗粒物密度101.0287.0257.4621.8511.768.865.034.633.86二氧化硫密度119.4751.8453.29.166.64.43.313.353.86（1）为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内（直接写结论）．（3）2023年前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于的回归方程拟合采用或，若2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小，说明理由．参考数据：解：（1）由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件，显然满足题意共有7年，故（A），故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为；（2）选择散点图，；（3）由题意，设样本中心，则，故，则，，故时，此时，差值绝对值为2.199，，差值绝对值为．故采用对于2023年的预测值与实际值的差值的绝对值更小．18．已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，．（1）证明：；（2）若四棱锥体积，求二面角的大小．解：（1）证明：过作，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，4，，，，，设，0，，故，4，，，，，，故．（2）由题意，，故，0，，，4，，，，，，0，，设平面和平面的法向量分别为，，，，，，则，令，，，0，，，令，，，2，，设二面角为，则，，故二面角的大小为．19．已知，函数，．（1）若（1），求的解集；（2）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．解：（1）由题意，，（1），所以，所以，故，所以且，所以，，，；（2）由题意，，，故为，斜率为，故为，由题意在内无解，故在内无解．不妨设，，所以，所以在，单调递减，在，单调递增，故（1），，，故，，即，，；同理，，，，．综上，，，．20．（18分）已知双曲线，为上一点，，分别为左、右焦点．（1）求点到渐近线的距离；（2）若，求△的面积；（3）已知为双曲线满足和的部分，过的直线与相交于，两点，且分别位于第一、四象限，过的直线与相交于，两点，且分别位于第三、四象限，是否存在实数，对任意的直线，都存在唯一的直线，使得？若存在，请求出的取值范围，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，渐近线方程为，由对称性，不妨取，故点到渐近线的距离为．（2）由题意，，，，，设，，，故，，，，故，，故解方程得，，故．（3）由题意，直线斜率不为0，故设，，，，，故，，△，故，由，故，故设，，，当时，，当时，可得，，同理，设，，，，，同理得，，由题意，不妨设，，同理，，由，在，时，是单调函数，故只需，即时，满足题意，综上，存在，满足题意．21．（18分）已知，，是1，2，3的一个排列，对函数，，，对于任意，都有且，则称，，是关于，，的一个排列，关于，，的排列总数记为．（1）若，，，，，判断，1，是否为Ⅰ排列？（2）若，，，，满足条件的，求的取值范围？（3）对，，且对任意，，，令，，，，，证明：若严格减，则存在，使，若严格增，则存在，．【解答】（1）解：由题意，恒成立，恒成立，故且，故，1，是Ⅰ排列；（2）解：由题意，，即任意排列皆成立，故，，对任意的恒成立，由在处有最小值，故，；（3）证明：若严格减，由题意，设单调递增，所以必然存在，，使得，取，，当，时，因为单调递增，所以，所以，同理．取，，