52　第七章　第52课时　向量法求空间角

第52课时向量法求空间角第七章立体几何与空间向量[考试要求]1．能用空间向量的方法解决简单的线线、线面、面面的夹角问题．2．体会向量方法在研究几何问题中的作用．

以题引理·激活思维√

√

3．(人教A版选择性必修第一册P37例8改编)已知两平面的法向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为_____________．

1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝____________．

2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝_________．

3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_________．

精研考点·提升素养√

√

√

√

√

考点二

直线与平面所成的角[典例2]

(2025·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点．(1)若F，G分别为PD，PE的中点，求证：FG∥平面PAB；(2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

名师点评：向量法求线面角的解题步骤[巩固迁移]2．(2022·浙江卷)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线BM与平面ADE所成的角的正弦值．

∵FN⊂平面BCF，∴DC⊥FN．又BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，∴FN⊥AD．

(2)取AB的中点O，连接A1O，取BC的中点P，连接OP，则OP∥AC，由(1)知AC⊥平面A1ABB1，所以OP⊥平面A1ABB1．因为A1O⊂平面A1ABB1，AB⊂平面A1ABB1，所以OP⊥A1O，OP⊥AB．因为AB＝A1A＝A1B，则A1O⊥AB．

名师点评：利用空间向量法求平面与平面夹角的解题步骤

[解]

(1)证明：在三棱台ABC-A1B1C1中，∵A1B1＝1，AB＝AC＝2，∴A1C1＝1，BC＝2B1C1．∵D为BC的中点，∴B1C1＝BD，B1C1∥BD，∴四边形BDC1B1为平行四边形，故B1B∥C1D．∵AC⊥C1D，∴AC⊥B1B．∵AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，∴AA1⊥AC．∵AA1，BB1⊂平面ABB1A1，AA1，BB1为相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC⊥AB．

[解]

(1)证明：如图，连接DE，AE，因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)．可得AC＝AB，故AE⊥BC．因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE．又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA．

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM＝2MP，AD＝AP，∠PAD＝120°．(1)求证：BD⊥平面ACM；(2)若∠ADC＝60°，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值．

(2)在平面ABCD内，过点B作AD的垂线，垂足为N，∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，BN⊂平面ABCD，∴BN⊥平面ADP．又∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，∴∠BDA＝30°，∴△ACD，△ABC均为等边三角形，以点A为坐标原点，AD，AM及过点A平行于NB的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)，

课后作业(五十二)向量法求空间角

法二：取MD中点N，连接NF，NE，因为E为MC的中点，所以NE∥CD，又因为NE⊄平面DCP，CD⊂平面DCP，所以NE∥平面DCP，因为M为AD的中点，N为MD的中点，所以AN＝3ND因为AF＝3FP，所以NF∥DP，又因为NF⊄平面DCP，DP⊂平面DCP，所以NF∥平面DCP，又因为NF∩NE＝N，且NF，NE⊂平面NEF，所以平面NEF∥平面DCP，因为EF⊂平面NEF，所以EF∥平面DCP．

[解]

(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD．又因为AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB．在△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC．因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC．又因为BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC．

[解]

(1)证明：取AC的中点E，连接DE，BE，因为AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1为等腰梯形．因为D，E分别为A1C1，AC的中点，所以AC⊥DE．因为AB＝BC，E为AC的中点，所以AC⊥BE．因为BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE．因为BD⊂平面BDE，所以BD⊥AC．

4．(2026·福建福州模拟)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，E为AC的中点．

(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在线段BD上．(ⅰ)求平面ABD与平面ABC夹角的余弦值；(ⅱ)记CF与平面ABD所成角为α，求sinα的最大值．[解]

(1)证明：由于AD＝CD，