57　第八章　第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系

第57课时直线与圆、圆与圆的位置关系第八章解析几何[考试要求]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．以题引理·激活思维1．(苏教版选择性必修第一册P66练习T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(

)A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．不能确定

√2．(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系是(

)A．相交 B．内切C．外切 D．内含√B

[两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4．两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2．因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．]

√

5．(北师大版选择性必修第一册P38例9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为_____________．x－y＋2＝0

[将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0．]x－y＋2＝01．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．位置关系方法几何法代数法相交d__rΔ__0相切d__rΔ__0相离d__rΔ__0<

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＝＝>

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位置关系方法几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2___解外切d＝r1＋r2______实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2______不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)______实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解无一组两组一组

3．圆的切线方程的常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．考点一

直线与圆的位置关系[典例1]

(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(

)A．相交 B．相切C．相离 D．不确定精研考点·提升素养√(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．42025课标新变化：能运用数形结合的思想刻画事物的规律以及事物之间的关系，建立几何直观．(3)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是_____________．√

名师点评：(1)判断直线与圆的位置关系的常用方法①几何法：利用d与r的关系．②代数法：联立方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．(2)圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．如图1，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．如图2，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．由图1，图2可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t<d<r＋t．若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d<r－t．[巩固迁移]1．(2026·广东潮州模拟)“3<r<6”是“圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)上恰有2个点到直线l：3x＋4y＋15＝0的距离为1”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√

2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切√√√

√

√√(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围为_____________．[4，6]

√

√√

√

4．(2025·山东泰安二模)已知直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1和圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝36均相切，则l的方程为(

)A．x＋2y－23＝0 B．x＋2y＋23＝0C．3x＋4y－23＝0 D．3x＋4y＋23＝0√

[0，3]

【教用·备选题】(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_______________________________________________________________________________．

考点三

圆的切线、弦长问题考向1

切线问题[典例3]

(1)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为___________________________．(2)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为_____________．5x－12y＋45＝0或x－3＝0

√(2)(2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝_____________．2

名师点评：求圆的切线、弦长时需注意的问题(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜率不存在的情况．(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．

√

√

名师点评：立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．【教用·巩固迁移】4．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

题号135246879101112131415课后作业(五十七)直线与圆、圆与圆的位置关系√

题号135246879101112131415题号213456879101112131415

√

题号213456879101112131415√

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题号213456879101112131415√√√

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题号213456879101112131415√√√

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题号213456879101112131415√√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415－1或3(任选一个即可)

题号21345687910111213141511．(2026·云南昆明模拟)经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与x2＋y2＝4交点的圆的方程是_______________________．题号213456879101112131415x2＋y2－3x－2＝0

[设过圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程为：x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0，①把点M的坐标(2，－2)代入①式得λ＝1，把λ＝1代入①式并化简得x2＋y2－3x－2＝0，则所求圆的方程为x2＋y2－3x－2＝0．]x2＋y2－3x－2＝012．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为_____________．题号213456879101112131415

题号213456879101112131415四、解答题13．已知圆C：x2＋y2＝25，点P(3，4)．(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．题号213456879101112131415[解]

(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，圆心到直线的距离为d＝3≠5＝r，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，

题号213456879101112131415

题号21345687910111213141514．已