70　第八章　第64课时　双曲线

第八章解析几何第64课时双曲线[考试要求]

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．

2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．

3．了解双曲线的简单应用．理法先行·题练固本知识点1

双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个____叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．定点(2)数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．①若____，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为________；③若____，则集合P为空集．a<c两条射线a>c知识点2

双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≥a或x≤－a，y∈R__________________对称性对称轴：______；对称中心：____顶点________________________A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线________x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)

标准方程性质离心率实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝______a2＋b2

17

17

[根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17．又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17．]

考点深研·题型突破

通性通法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑应用定义求解．

√

通性通法：求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2．(2)待定系数法：“先定型，再定量”，当双曲线焦点位置不确定时，可分类讨论；也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，求出m，n的值，即可得出双曲线方程．

√

√

√

√

√

√

－3

√√√

通性通法：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质．(2)利用函数，尤其是二次函数．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．

√√√

8

2．第三定义：平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)(或A(0，－a)，B(0，a))的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线，其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当常数λ<0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆；当常数λ>0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线．其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点．

√

√

√

√

√

10

题号135246879101112√

课时作业(六十四)双曲线题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112C

[如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112C

[以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，如图所示，设|MF2|＝n，|MF1|＝m，由M在以F1F2为直径的圆上可得MF1⊥MF2，题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112

题号13524687910111211．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA