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文档简介

拉普拉斯变换主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@

拉氏变换、定理及反变换一、拉氏变换及其性质1.定义设函数x(t),t为实变量，如果线性积分存在，则称X(s)为函数x(t)的拉氏变换。记作X(s)=L[x(t)]X(s)为象函数或变换函数，x(t)为原函数。

2.拉氏变换的条件

（1）t

0，x(t)=0；当t

0，x(t)是连续或分段连续；（2）当t充分大后满足不等式

x(t)

Mect，M，c是常数。2

32)微分定理…若,则3.性质和定理

1)线性性质

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)4若x

1(0)=x

2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，3)积分定律x

1(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…5

终值定理满足2个条件：1.x(t)不是周期函数；2.系统是稳定的5)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且4)终值定理若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，

存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：

存在，则

66)延迟定理L[x(t

)

1(t

)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)时标变换8)卷积定理7常用函数的拉氏变换为单位脉冲函数为单位阶跃函数为单位斜坡函数为单位抛物线（加速度）函数84.举例

例1

求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：例2

求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：9例3

求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变换。解：

以上三个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。例4

求函数x(t)的拉氏变换。10tx1(t)0Atx2(t)0t0

A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A

1(t)

A

1(t

t0)tx(t)0At0例6

求e

0.2t的拉氏变换。解：11例5

求eat的拉氏变换。解:12

，求x(0)，x(

)。解：例7

若

二、拉氏反变换

1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)

2.求拉氏反变换的方法①根据定义，用留数定理计算上式的积分值②查表法

③部分分式法一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即13

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有式中s1,…,sn是

A(s)=0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论：（1）A(s)=0无重根。14

式中：ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。

（2）A(s)=0有重根。设有r个重根s1

，则

15j=0,1,…,r-1i=r+1,…,n163.举例例8，求原函数x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)17的原函数x(t)。例9

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+

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