控制工程基础 课件全套 朱文兴 第1-7章 绪论、控制系统的数学模型- 控制系统频域校正

第一章绪论《控制工程基础》课程概况第一章绪论第二章控制系统数学建模第三章控制系统频域建模第四章控制系统稳定性分析第五章控制系统瞬态质量分析第六章控制系统稳态精度分析第七章控制系统频域校正方法*第八章控制系统实例（自学）2第一章绪论

1.1控制理论及其发展1.2系统及其术语

1.3控制系统分类1.4控制系统分析与设计3公元前14~11世纪，“自动计时漏壶”出现在中国、埃及和巴比伦。春秋战国时期（公元235年），马钧发明齿轮传动的指南车。北宋，水运仪像台里的天衡装置是一个负反馈的闭环控制系统。（宋朝的苏颂和韩公廉建造）公元4世纪，希腊柏拉图(Platon)首先使用了“控制论”（Cybernetics）一词。

1788年，英-瓦特(J.watt)运用反馈原理设计出来并成功应用的装置--蒸汽机用的离心式飞锤调速器1.1控制理论及其发展水运仪象台是北宋时期苏颂、韩公廉等人发明制造的以漏刻水力驱动的，集天文观测、天文演示和报时系统为一体的大型自动化天文仪器。5

1868年，英-麦克斯韦(J.C.Maxwell)发表了“论调速器”一文，进行了稳定性分析，指出控制系统的品质可用微分方程来描述，系统的稳定性可用特征方程根的位置和形式来研究--最早的理论工作。

1877和1896年，英-劳斯(E.J.Routh)和德-赫尔维茨(A.Hurwitz)先后提出了根据代数方程系数判别系统稳定性的准则。

1892年，俄-李雅普诺夫出版了专著“论运动稳定性的一般问题”，提出了用李雅普诺夫函数的正定性及其导数的负定性判别系统稳定性的准则，从而建立了动力学系统的一般稳定性理论。

1932年，美籍瑞典-奈奎斯特(H.Nyquist)提出了根据频率响应判别反馈系统稳定性的准则。61938年前苏联米哈依洛夫提出了图解分析方法判别系统稳定性的准则，把奈氏判据推广到条件稳定和条件不稳定系统的一般情况；

1948年伊文斯（W.R.Evans）发表了根轨迹法，标志着控制理论发展的第一阶段完成；

1948年美国维纳(N.wiener)出版了专著《控制论—关于在动物和机器中控制和通信的科学》。该书的出版标志控制学科的诞生。

1954年我国-钱学森在美出版了《工程控制论》一书，开辟了经典控制理论向现代控制理论发展的道路。控制理论发展的四个阶段（1）初期萌芽及发展阶段（2）经典控制理论（3）现代控制理论（4）智能控制理论7

（1）初期发展阶段时间：18世纪末至19世纪末对象：SISO线性定常系统数学工具：拉普拉斯变换（拉氏变换）数模：微分方程、代数方程、传递函数方法：时域法8

（2）经典控制理论时间：20世纪30~50年代对象：SISO线性定常系统数学工具：拉普拉斯变换数模：传递函数方法：时域法、频域法、根轨迹法9（3）现代控制理论时间：20世纪50~70年代对象：MIMO非线性系统时变系统数学工具：线性代数矩阵数模：状态空间表达式方法：状态空间法10（4）智能控制理论多样化发展的时期时间：

20世纪60年代末~现在理论方法：自动控制理论，人工智能，模糊数学，神经网络，运筹学等。代表人物：美-扎德(L.A.Zadel)美籍华人傅京生(J.S.Fu)和桑托斯(E.S.Saridis)111.2系统及其术语12车辆跟驰系统人工驾驶无人驾驶13自动控制，实际上是由自动控制装置来代替人的基本功能，从而实现自动控制的。如下图所示：人工控制与自动控制的对照。

眼睛

测距雷达大脑

自动控制器肌肉、手

执行元件14

比较两方框图可以看出，自动控制实现人工控制的功能，存在必不可少的三种代替人的职能的基本元件：气动阀门希望车头距实际车头距雷达控制器汽车肌肉和阀门希望车头距实际车头距大脑汽车眼睛15执行元件参考输入输出测量变送元件控制器对象扰动输入系统方框图将系统中各个部分都用一个方框来表示，并注上文字或代号，根据各方框之间的信息传递关系，用有向线段把它们依次连接起来，并标明相应的信息。突出了系统中各环节输入与输出的关系及各环节之间的相互影响，便于定性和定量分析。术语控制对象：被控设备或物体，也可以是被控过程，化学、经济、生物学过程等控制器：使被控对象具有所要求的性能或状态的控制设备。它接收输入的控制信号，按控制算法计算出操作量，送到被控对象或执行元件。系统：能够完成某种功能或实现某些任务的多个部件的组合，称为系统。（一个整体）系统输出：就是被控制的量。对输入的响应，它表征对象或过程的状态或性能。操作量:是一种由控制器改变的量值或状态，它将影响被控量的值，也称控制量。1617参考输入：人为给定的，使系统具有预定性能和预定输出的激发信号。扰动：干扰或破坏系统具有预定输出或预定性能的干扰信号。分内部和外部扰动两种。特性：系统输入和输出之间的关系，可分为动态特性和静态特性。动态特性：输入输出在变化过程中，未到达稳态时表现出来的特性。动态特性一般表现为过渡过程，即从一个平衡状态到另一个平衡状态的过程。静态特性：在系统稳定后，到达稳态时表现出来的输入输出之间的关系。在控制系统中，静态是指各参数或信号的变化率为零。静态特性表现出来的一般是放大倍数。1.3控制系统分类181.3.1开环控制开环控制是最简单的一种控制方式，开环控制的一般定义：控制量与被控量之间只有顺向作用而没有反向联系。开环控制系统的典型方框图如图所示。控制器被控对象控制量被控量

交通指挥红绿灯，自动洗衣机，自动售货机，产品自动生产线，数控车床等等。开环控制方式的分类按照输入信号的不同可以分为两种控制方式1、按给定控制：

控制的作用由系统的输入量产生，给定一个输入量就有一个输出量与之对应。2、按扰动控制：

是指把外界扰动看作输入的情况。在扰动可测的场合，可根据测得扰动量的大小，对系统产生一种补偿或修正，从而减小或抵消扰动对输出的影响。通俗地讲就是系统“抗干扰”1920M功率放大器电动机负载电位器电动机转速滑臂位置功率放大器电位器1.按给定控制

下图是一个直流电动机转速控制系统。

当调节电位器滑臂位置时，改变功率放大器的输入电压，从而改变电动机的电枢电压，最终改变电动机的转速。以上的控制过程，用方框图简单直观地表示出来。

212.按扰动控制

图示是一个按扰动控制的直流电动机转速控制系统。电压放大器M功率放大器负载++-Ri+控制过程可用方框图表示成如图示的形式。22电动机转速给定不变功率放大器电位器++负载变化电压放大器检测电阻

把负载变化视为外部扰动输入，对输出转速产生的影响及控制补偿作用，分别沿箭头的方向从输入端传送到输出端，作用的路径也是单向的，不闭合的。有时我们称按扰动控制为顺馈控制。23

（1）结构简单、调整方便、成本低。（2）给定一个输入，有相应的一个输出。（3）在系统方框图中，作用信号是单方向传递的，形成开环。（4）输出不影响输入。（5）若系统有外界扰动时，系统输出量不可能有准确的数值，即开环控制精度不高，或抗干扰能力差。开环控制的特点24

1.3.2闭环控制

定义：凡是系统输出信号对控制作用有直接影响的系统，都叫做闭环控制系统。反馈控制原理：在控制系统中，控制装置对被控对象所施加的控制作用是取自被控量的反馈信息，即根据实际输出来修正控制作用，实现对被控对象进行控制的任务。闭环控制系统：按反馈原理建立起来的控制系统。例：人是一个闭环控制系统；直流电动机转速闭环控制系统，见下图。25电动机转速给定位置功率放大器电位器+-负载扰动测速发电机ufureuaM功率放大器电动机负载电位器F测速发电机26①偏差控制：控制作用不是直接来自给定输入，而是系统的偏差信号（实际输出信号与参考输入的比较值），由偏差产生对系统被控量的控制。②闭环控制：系统被控量的反馈信息又反过来影响系统的偏差信号，即影响控制作用的大小。这种自成循环的控制作用，使信息的传递路径形成了一个闭合的环路，称为闭环。③控制精度高控制器被控对象反馈元件输入输出+-偏差闭环控制系统的典型方框图

闭环控制的特点：27闭环系统：采用了反馈。使系统的响应对外部干扰和内部系统的参数变化均相当不敏感。这样，对于给定的控制对象，有可能采用不太精密且成本较低的元件构成精密的控制系统。

开环系统：不可能做到这一点。

闭环系统：稳定性则始终是一个重要问题。因为闭环系统可能会由于干扰作用引起过调误差，从而导致系统做等幅振荡或变幅振荡。

开环系统：比较容易建造，不存在稳定性的问题。

开环与闭环控制系统比较281.3.3复合控制：工程上常采用的就是把闭环控制和开环控制结合起来的控制方式。复合控制实质上是在闭环控制回路的基础上，附加一个输入信号（给定或扰动）的顺馈通路，对该信号实行加强或补偿，以达到精确的控制效果，常见的方式有以下两种：

1、附加给定输入补偿控制器被控对象补偿装置输入输出+-

通常，附加的补偿装置可提供一个顺馈控制信号，与原输入信号一起对被控对象进行控制，以提高系统的跟踪能力。292、附加扰动输入补偿

该种复合控制方框图。附加的补偿装置所提供的控制作用，主要起到对扰动影响“防患未然”的效果。控制器被控对象补偿装置输入输出+-+扰动1.3.4按给定信号的特征划分30给定信号是系统的指令信息。它代表了系统希望的输出值，反映了控制系统要完成的基本任务和职能。

1.恒值控制系统：给定输入维持不变，希望输出维持在某一特定值上。

液位控制系统，直流电动机调速系统等等。

2.随动控制系统：给定信号是预先不知道的且随时间任意变化的函数。控制系统能够使被控量以尽可能小的误差跟随给定值的变化。

跟踪卫星的雷达天线系统、自动导航系统、自动驾驶系统、自动炮火系统

3.程序控制系统：给定值按预先给定的规律变化的控制系统。机械加工中的程序控制机床、加热炉温度自动变化控制系统等等。311.3.5按系统的数学描述划分

1.线性系统

当系统各元件输入输出特性是线性特性，系统的状态和性能可以用线性微分（或差分）方程来描述时，则称这种系统为线性系统。所谓线性特性是指元件的静特性是一条过原点的直线，也称其为线性元件。因此，由线性元件组成的系统则必是线性系统。线性系统的一个突出特点就是满足叠加原理，可运用叠加原理的两个性质，作为鉴别系统是否为线性系统的依据。2.非线性系统系统中只要存在一个非线性特性的元件，系统就由非线性方程来描述，这种系统称为非线性系统。321.3.6按信号传递的连续性划分

r(t)

t

0c(t)

t

01.连续系统

连续系统的特点是系统中各元件的输入信号和输出信号都是时间的连续函数。这类系统的运动状态是用微分方程来描述。连续系统中各元件传输的信息在工程上称为模拟量，多数实际物理系统都属于这一类，其输入输出一般用r(t)和c(t)表示。332.离散系统

控制系统中只要有一处的信号是脉冲序列或数码时，该系统即为离散系统。这种系统的状态和性能一般用差分方程来描述。实际物理系统中，信息的表现形式为离散信号的并不多见，往往是控制上的需要，人为地将连续信号离散化，称为采样。c(t)

t

0c(t)c*(t)c*(t)

t

0341.3.7按系统的输入与输出信号的数量划分

1.单变量系统（SISO）输入与输出之间是一对一的关系

2.多变量系统（MIMO）输入与输出之间是多对多的关系控制系统输入输出控制系统输入输出1.4控制系统分析与设计351.4.1对系统的要求各类控制系统为达到理想的控制目的，必须具备以下两个方面的性能(基本要求)：

（a）使系统的输出快速准确地按输入信号要求的期望输出值变化。

（b）使系统的输出尽量不受任何扰动的影响。对自控系统性能的要求一般可归纳为三大性能指标：

（1）稳定性：要求系统绝对稳定且有一定的稳定裕量。

（2）瞬态（暂态、过渡过程）质量：要求系统瞬态响应过程具有一定的快速性和变化的平稳性。36

在实际系统中，由于总是存在着不同性质的储能元件。并且也由于能源功率的限制，使得系统放大能力必然有限。因而使相应的运动加速度不会太大，速度和位移不会瞬间变化，而要经历一段时间，即系统运动必然有一个渐变的过程。r(t)t0c(t)

t

0

（3）稳态误差：要求系统最终的输出响应准确度，限制在工程允许的范围之内，是系统控制精度的恒量。1.4.2控制系统分析和设计371.系统分析在规定的工作条件下，对系统进行分析研究，包括三大步骤：一、建立系统的数学模型；二、分析系统的性能，计算三大指标；三、分析参数变化对系统性能的影响，决定如何合理地选取。

2.系统的设计

系统设计的目的，是要寻找一个能够实现所要求性能的自动控制系统。应进行的步骤如下：（1）熟悉对系统性能的要求。（2）根据要求的性能指标综合确定系统的数学模型。（3）若控制对象是已知的，根据确定的系统数学模型和已知部分的数学模型，求得控制器的数模和控制规律。（4）按综合确定的数模进行系统分析，验证它在各种信号作用下是否满足要求。若不满足，及时修正。（5）样机设计制造和试验，验证设计结果。3839绪论结束作业：通过查阅资料，用一页纸撰写一个控制工程或系统案例拉普拉斯变换主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@

拉氏变换、定理及反变换一、拉氏变换及其性质1.定义设函数x(t),t为实变量，如果线性积分存在，则称X(s)为函数x(t)的拉氏变换。记作X(s)=L[x(t)]X(s)为象函数或变换函数，x(t)为原函数。

2.拉氏变换的条件

（1）t

0，x(t)=0；当t

0，x(t)是连续或分段连续；（2）当t充分大后满足不等式

x(t)

Mect，M，c是常数。41

422)微分定理…若,则3.性质和定理

1)线性性质

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)43若x

1(0)=x

2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，3)积分定律x

1(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…44

终值定理满足2个条件：1.x(t)不是周期函数；2.系统是稳定的5)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且4)终值定理若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，

存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：

存在，则

456)延迟定理L[x(t

)

1(t

)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)时标变换8)卷积定理46常用函数的拉氏变换为单位脉冲函数为单位阶跃函数为单位斜坡函数为单位抛物线（加速度）函数474.举例

例1

求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：例2

求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：48例3

求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变换。解：

以上三个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。例4

求函数x(t)的拉氏变换。49tx1(t)0Atx2(t)0t0

A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A

1(t)

A

1(t

t0)tx(t)0At0例6

求e

0.2t的拉氏变换。解：50例5

求eat的拉氏变换。解:51

，求x(0)，x(

)。解：例7

若

二、拉氏反变换

1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)

2.求拉氏反变换的方法①根据定义，用留数定理计算上式的积分值②查表法

③部分分式法一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即52

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有式中s1,…,sn是

A(s)=0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论：（1）A(s)=0无重根。53

式中：ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。

（2）A(s)=0有重根。设有r个重根s1

，则

54j=0,1,…,r-1i=r+1,…,n553.举例例8，求原函数x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)56的原函数x(t)。例9

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)5758

的原函数x(t)。解：例10

求59补充内容结束第二章控制系统的数学模型（I）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@第二章主要内容2-1引言2-2系统微分方程建立方法2-3线性系统的传递函数2-4典型环节及其传递函数2-5系统的结构图2-6信号流图与梅逊公式612-1引言62什么是数学模型?数学模型，是描述系统内部各物理量(或变量)之间关系的数学表达式。1数学模型的特点(1)相似性：不同背景的系统的数学模型可能是相同的。(2)简化性和准确性：数学模型的不唯一(3)动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态的数学模型。(4)静态模型：在静态条件下（变量各阶导数为零）描述变量之间关系的代数方程。2数学模型的类型时域模型（1）微分方程（2）差分方程（3）状态方程复数域模型（1）传递函数（2）结构图频域模型（1）频率特性64（1）分析法对系统各部分的运动机理进行分析，根据他们所依据的物理或化学规律分别列写各部分相应的运动方程，将这些方程根据逻辑关系合在一起便成为描述整个系统的方程。

（2）实验法

人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当地数学模型去逼近。这种方法也叫系统辨识。主要用于系统运动机理复杂而不便分析或不可能分析的情况。3数学模型的建模原则1）数学模型的建立方法分析法建模的步骤如下：

（1）建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。

（2）按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式。

（3）根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的、合理的数学模型。2）数学模型的建模步骤2.2系统微分方程建立方法66

2.2.1列写微分方程式的一般步骤

（1）分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量，定义内部中间变量，搞清各变量之间的关系。（2）根据物理系统基本定律或运动定律（欧姆定律、基尔霍夫定律、牛顿运动定律），列出各部分的原始方程式，从系统的输入变量开始，依次列写输入输出因果关系式，即辅助方程式，注意变量个数与辅助方程式相等。（3）联立上述方程，消去中间变量，得到只有输入输出变量的方程式。（4）将方程式化成标准形（左输出、右输入，降幂排列）。67

2.2.2系统建模举例1.机械系统（1）惯性力

是一种与质量有关的力，具有阻止起动和阻止制动的性质。按照牛顿第二定律，惯性力的大小等于质量乘以加速度，即

（2）弹性力

是一种弹簧的弹性恢复力，其大小与形变成正比，即

（3）阻尼力

是阻尼器中产生的粘性摩擦阻力，其大小与阻尼器中活塞和缸体的相对运动速度成正比，即

68例2-1

弹簧-质量-阻尼串联系统。试列出以F(t)为输入量，y(t)为输出量的运动方程式。

解：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，中间变量为弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)。

（2）设系统按线性集中参数考虑，且当无外力作用时，系统处于平衡状态。69（4）列写中间变量与输出变量的关系式:

（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得（3）由牛顿第二定律写原始方程：

702.电路系统对于实际的复杂电路分析，通常按集中参数建立电系统的物理模型。在这种系统模型中，有三种线性双向的无源元件，即电阻R，电感L，电容C。欧姆定律：在电压和电流取关联参考方向下，任何时刻线性电阻两端的电压与流过该电阻的电流成正比。u(t)=Ri(t)基尔霍夫电流定律：在任一瞬时，流入电路中任一节点的各支路电流之和等于从该节点流出的各支路电流之和。∑i(t)=071基尔霍夫电压定律：从回路中任意一点出发，以顺时针方向或逆时针方向沿回路循环一周，则在这个方向上的电位降之和等于电位升之和。∑u(t)=0电磁感应定律：电路中感应电动势的大小和通过导体回路的磁通量的变化率成正比，用公式可表示为e(t)=-dΦ(t)/dt

式中，e(t)为电路中的感应电动势，Φ(t)为通过导体回路的磁通量。Φ(t)的正方向与感应电动势

e(t)的正方向成右手螺旋关系。72例2-2

电阻-电感-电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur为输入量，uc为输出量的网络微分方程式。

解：（1）确定输入量为ur，输出量为uc，中间变量为i。

73（3）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:

（4）将上式代入原始方程，消去中间变量得（2）由克希霍夫定律写原始方程：

74

2.2.3实际物理系统线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：

式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。75列写微分方程式时，一般按以下几点来写：

（1）输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；

（2）左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；

（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

（4）方程的系数均为实常数，是由物理系统自身参数决定的。76

2.2.4复杂系统线性微分方程建立步骤可按照“分解−合成”的方法进行，即首先把系统按其工作机理分解为相应的功能环节，列写各功能环节的微分方程式，然后消去中间变量得到描述系统输出与输入关系的微分方程式。第一步，确定系统的给定量和被控量，即系统的输入量和输出量。第二步，分解系统为相应的功能环节，设定中间变量，画出系统的方框图，标定各方框的输入量和输出量。第三步，列写各方框内元件的微分方程，并按相互连接关系补充变量关系方程，最终使方程的个数与所选变量数相等（系统输入量除外）。第四步，在所有方程中用s代替微分算子d/dt，从而使微分方程在形式上成为代数方程组，按代数方程组的解法消中间变量。第五步，把s还原成d/dt算子，就得到只留有系统输入量和输出量的高阶微分方程式，即系统的运动方程式。77本节结束第二章控制系统数学建模（II）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@第二章主要内容2-1引言2-2系统微分方程建立方法2-3线性系统的传递函数2-4典型环节及其传递函数2-5系统的结构图2-6信号流图与梅逊公式7980

2.3线性系统传递函数2.3.1传递函数定义如左图系统，描述系统输出uc和输入ur之间定量关系的运动方程式为

拉氏变换法求解上述微分方程。若令初始条件为零，则方程解的象函数为

系统的输入与输出之间的因果关系是完全确定的，而且因果关系完全取决于电路结构参数构成的复变函数1/(T1T2s2+T2s+1)，而与输入输出的具体形式无关。81传递函数定义在线性（或线性化）定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。（1）零初始条件：传递函数只描述系统的零状态响应，不能描述系统的零输入响应。（2）线性定常性：传递函数只适用于线性定常连续系统，确定了其适用条件和范围。（3）无量纲特性：传递函数是系统输出与输入的拉氏变换之比，是复变量s的函数。

输出函数与输入函数的比值是一个确定的函数形式，即822.3.2传递函数求法

设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得

(a0sn+a1sn

1

+

+an

1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm

1

+

+bm

1s

+

bm

)R(s)83求出传递函数为

传递函数的实际意义零初始条件有两方面的含义：一是输入在t=0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t=0的值为零；二是系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t=0的值为零。传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。在工程实践中，传递函数地位仍然非常重要。对于非零初始条件的响应，可用叠加原理进行处理。

841.传递函数的性质

(1)传递函数是一种数模，与系统的微分方程相对应。

(2)传递函数只适用于线性定常系统。

(3)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。

(4)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系。

(5)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。

(6)传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n

m。并且所有的系数均为实数。(7)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。2.3.3传递函数的性质

2.3.4传递函数的微观结构1.传递函数的零极点表达式

2.传递函数的时间常数表达式

2-4典型环节及其传递函数86

自动控制系统是由若干元件组成的，从结构及作用原理上来看，有各种不同的元件。但从动态性能或数学模型来看，却可以分成为数不多的基本环节，这就是典型环节。一般认为典型环节有6种，分述如下：

1.比例环节（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）

运动方程式c(t)=K

r(t)

传递函数G(s)=K

单位阶跃响应C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K

1(t)

可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。

r(t)1c(t)t0K

2.惯性环节

微分方程式：

87传递函数：式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点p=

1/T，无零点。

j

0

1/T单位阶跃响应:880tc(t)3.积分环节微分方程式：0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T传递函数：阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。RC滤波电路，忽略电枢电感的直流电动机等。89单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t01T

当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。

4.微分环节微分方程式为：90c(t)=T

(t)由于阶跃信号在时刻t

=

0有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响应只在t

=

0时刻产生一个响应脉冲。

理想的微分环节在物理系统中很少独立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：

传递函数为：G(s)=Ts单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t0T91传递函数为：

或式中，T>0，0<

<1，n=1/T，T称为振荡环节的时间常数，

为阻尼比，

n为无阻尼振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：

5.振荡环节微分方程式为：92单位阶跃响应：式中，β=cos－1

。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。c(t)t01

ns1s2

j

d

n

j

0β936.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t

)传递函数为：G(s)=es单位阶跃响应：

c(t)=1(t

)r(t)t011c(t)t0

延迟环节的转换，两种方法：1、根据指数函数的定义2、把指数函数展成泰勒级数略去高阶项，得到近似值94本节结束第二章控制系统数学建模（III）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@2-5系统的结构图962.5.1结构图的定义及基本组成

1.结构图的定义定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统方框图，称为系统的结构图。例如讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图来描述其结构和作用原理，见图。放大器G2(s)电动机G1(s)测速机G3(s)urufua

e+-直流电动机空载时，传递函数为二阶振荡环节：

G1(s)=(1/ke)/(TaTms2+Tms+1)放大器的比例环节：

G2(s)=Ka测速机的比例环节：

G3(s)=Kf97

把各元件的传递函数代入方框中去，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)

(s)E(s)+

98

2.结构图的基本组成

1）结构图的4种基本元素如下：G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)函数方框表示对信号进行的数学运算。方框中写入元部件的传递函数。信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。99

分支点

表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)R(s)R(s)

U(s)U(s)+

相加点对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，可省略不写，“

”号表示相减。1002）结构图的基本作用：

(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。

(b)信号的传递严格遵照单向性原则，输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。

(c)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。2.5.3结构图建立方法第一步，根据系统机理，把系统分解为若干功能环节，列写每个环节或元件的运动方程式。同时，要考虑相互间的负载效应，可以保留所有变量，在结构图中解析各元件的内部结构和变量。第二步，设初始条件为零，对全部方程进行拉普拉斯变换，将每个变换后的方程以一个方框的形式表示出来，方框中的传递函数都具有典型环节的形式。第三步，将全部方框单元按信号流向连接起来，建立完整的系统结构图(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式：101例2-15

画出下图所示RC网络的结构图。

R

C

u1

u2

解：(1)列写各元件的原始方程式

i102(3)将这些方框依次连接起来得图。1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)U2(s)1Cs

U2(s)1CsI(s)…1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)103G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由图可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)

2.5.3结构图的基本连接形式

1.三种基本连接形式

(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)

故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。104

(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。由图有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+

105C(s)=C1(s)

C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)

G2(s)]R(s)=G(s)R(s)G1(s)

G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+

故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。106

(3)反馈连接。连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。由图有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)

B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)

H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+

107上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)

G(s)：前向通道传函H(s)：反馈通道传函

H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s)：开环传函R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+

1082.5.4结构图简化与等效变换

1.等效变换代数法则：变换前后应保持信号等效。1）

分支点后移GRCRGRC1/GR2）

分支点前移GRCCGRCGC1094）比较点前移3）

比较点后移GFGRC+

FRGCF+

GRC+

FF1/GRGC+

F1105）比较点互换或合并R1CR2+

+

R3R1CR2+

+

R3R1CR2+

R3

6）反馈单位化

RCGH+-GHRC1H-+2.结构图的简化对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传递函数时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。化简结构图求传递函数的一般步骤：1.确定系统的输入量和输出量；2.利用代数法则进行等效变换，把相互交叉的回环分开，整理成规范的串联、并联和反馈等形式；3.将规范部分利用相应的运算公式化简，然后再进一步组合整理，形成新的规范连接，依次化简，最终形成一个方框，该方框所表示的即为待求的总传递函数。112RCG1G2G3H1H2

例2-16

用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2113方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1114

例2-17用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。RG1G2CG3RG1G2CG3解：115RG1G2CG3RG1G2CG31/G2116

2.5.5.闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。（1）控制输入下的闭环传递函数:令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++117（2）扰动输入下的闭环传递函数:令R(s)=0有

（3）两个输入量同时作用于系统的响应

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++

118（4）控制输入下的误差传递函数（5）扰动输入下的误差传递函数G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++E(s)119（6）两个输入量同时作用于系统时的误差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++E(s)本节结束第二章控制系统数学建模（IV）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@2-6信号流图及梅逊公式1222.6.1信号流图的基本概念

1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。最简单的例子：一线性系统，它由下述方程式描述：x2=

a12x1x1a12x2式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。

下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：

x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4123a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a321242.信号流图的基本元素

(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。

(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“

”表示。支路具有两个特征：

有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。

有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权，用它近旁标出的传输值表示。125

混合节点

既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。

3.信号流图的几个术语

1)节点及其类别

输入节点(源节点)

只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。

输出节点(汇节点、阱节点)

只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2

1262)通道及其类别

通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在某一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4

闭通道(回环)

如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32，a33(自回环)

。

前向通道

从源节点到汇节点的开通道。不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。1273)传输及其类别：传输：两节点之间的增益叫做传输，也就是支路的增益；通道传输：通道中各支路传输的乘积，称为通道传输；

回环传输：通道中各支路传输的乘积；自回环传输：构成自环的支路所具有的传输。4.信号流图的基本性质

1）信号流图只能代表线性代数方程组。

2）节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号之和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。

3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。

4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。

5）对于给定的系统，信号流图不唯一。1282.6.2信号流图的建立方法

1.直接法

例2-5

RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。解：(1)列写原始方程

(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)(3)整理成因果关系RCur(t)

uc(t)L129

(4)画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)i(0+)LLs+R1Ls+R1Cs1Ls+R1302.翻译法例2-6

画出下图所示系统的信号流图。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)

H(s)131系统结构图信号流图变量在信号线上

节点输入变量

输入节点比较点和分支点

混合节点信号线和方框

支路输出变量输出节点2.6.3梅逊增益公式简介梅逊增益公式是一种求复杂信号流图传递函数的简单方法。它是美国的电子工程师萨穆埃尔·杰斐逊·梅逊推导出来并以他的名字命名的。SamuelJeffersonMason(1921–1974)wasanAmericanelectronicsengineer.Mason’srulearenamedafterhim.1）梅逊增益公式（Mason’sgainformula）133梅逊公式的一般表达式为式中:G—输入输出节点间的总传输(增益)；

n—

从输入节点至输出节点的前向通道总数；

Gk—第K条前向通路的传输；

—信号流图的特征式；

k—余因子式(把第K条前向通道除去后的特征式)。

解：

前向通道：1条，P1=abcdefgh；

单回环：4个，bi，dj，fk，bcdefgm两两不接触回环：3对，bidj，bifk，djfk

三个互不接触回环：1组，bidjfk

=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfk

1=10=1134

例2-8求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输P。x0ax8bcdefghijkmabx1gx2x3jhi23efd135

例2-21

已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。

解：单回路：ac，abd，gi，ghj，

aegf

两两互不接触回路：

ac与gi，ghj;abd与gi，ghjx1到x2的传输：

P1=2ab

1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab

2

=1cx1到x3的传输：

P1=3

1=1(ac+abd)

P2=2ae

2

=1

=1(ac

+

abd

+

gi

+

ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)

136例2-22

试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。RCG1K111G2G31

解：单回路：

G1，

G2，

G3，

G1G2两两互不接触回路:

G1和

G2，

G1和

G3，

G2和

G3，

G1G2和

G3三个互不接触回路:

G1，

G2和

G3=1+G1+G2+G3+2G1G2+G2G3+G1G3+2G1G2G3

137RCG1K111G2G31前向通道：P1=G1G2G3K

1=1P2=

G2G3K

2=1+G1P3=

G3K

3=1+G2RCG1K111G2G31P4=

G2

(1)G3K

4=12）梅逊增益公式说明（1）梅森公式用来求输入-输出节点间的总增益凡是源节点对其他任何节点（输出点、混合点）都可用其写出增益，因为混合节点可由单位传输变为汇点。但对于混合节点之间的传输不能用梅森公式直接求，必须先作一定的处理，将混合节点的输入支路去掉，将其孤立成源点形式，然后对修改后的图形结构，应用梅森公式，即可求出所选两点间的传输。（2）梅森公式可以直接应用于控制系统的结构图信号流图的绘制可以从已知结构图直接翻译而得，它们之间有一一对应关系。利用这种对应关系，可以把梅森公式直接应用于结构图。这样无论哪一种图的输入输出关系都可以用梅森公式直接求出，梅森公式被称为线性系统两种图形化数学模型的通用求解公式。例2-9

试求结构图中的传递函数C(s)/R(s)。

梅逊公式小结梅逊公式同时适用于信号流图和结构图；关键：数清楚前向通道数、单回环数、互不接触回环数；注意：反馈环是正反馈还是负反馈；本节结束第三章控制系统频域建模（I）

3.1频率特性基本概念

3.2典型环节的频率特性

3.3控制系统的开环频率特性

*3.4数学模型的数学确定方法

143第三章控制系统频域建模3-1频率特性基本概念144

3.1.1频率特性定义解：系统传函为

例：

RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asin

t时，c(t)的稳态输出为多少？若输入为正弦电压r(t)=Asin

t

c(t)的稳态输出：145

146

css(t)1

T

147

③稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了tan-1T，是频率

的函数，称为RC网络的相频特性。（相移）④148由此可见：①网络的稳态输出电压仍然是正弦电压，其频率和输入电压频率相同。（同频）②稳态输出电压幅值是输入电压幅值的倍，是频率

的函数，称为RC网络的幅频特性。（变幅）

上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输出电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律，称为网络的频率特性。149⑤

即把传函中的s用j

代替就可得频率特性。——幅频特性——相频特性

c(t)=A

G(j

)

sin[

t+

G(j

)]G(s)c(t)r(t)1

频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性，用G(j

)表示。物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力同频，变幅，相移。2幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A(

)表示。

A(

)=

G(j

)

3

相频特性：稳态输出与输入相位差，用

(

)表示。

(

)=

G(j

)4

实频特性：

G(j

)

的实部，用Re(

)表示。

5

虚频特性：

G(j

)的虚部，用Im(

)表示。G(j

)=A(

)ej

(

)=Re(

)+j

Im(

)150几个定义3.1.2频率特性的几何描述

1.极坐标图（幅相频率特性曲线）151

特点是：把频率

看成参变量，当

从0时，将幅频特性和相频特性表示在同一个复数平面上。左图是前面讨论的RC电路的极坐标图。

=1/T

=

=0ImRe0

2.

伯德图（对数频率特性曲线）包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。横坐标表示频率

，按对数分度，单位是rad/s。G(j

)10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101152横轴按频率的对数lg

标尺刻度，但标出的是频率

本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。横轴压缩了高频段，扩展了低频段。在

轴上，对应于频率每一倍变化，称为一倍频程，例如

从1到2，2到4，3到6，10到20等的范围都是两倍频程；

=1

=10

23456789每变化十倍，称为十倍频程（dec)，例如

从1到10，2到20，10到100等的范围都是十倍频程；所有的十倍频程在

轴上对应的长度都相等。203040153

对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是dB(分贝)。

L(

)=20lgA(

)

相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。

(

)=∠G(j

)

154L(

)/dB

(

)/(°)90°90°2020

(rad/s)

(rad/s)

123456102030100

123456102030100

下图是

RC网络G(j

)=1/(1+jT

)，T=0.5时对应的伯德图。

155

L(

)/dB0202-20dB/dec

-90°

(

)/(°)0°3-2典型环节的频率特性1.比例环节其传递函数为

G(s)=K

频率特性为

G(j

)=K

（1）极坐标图

A(

)=K

(

)=

0

156

-90°

(

)/(°)0°

（2）伯德图

L(

)=20lgK

(

)=0

ImRe0K20lgK

L(

)/dB020

(

)=

0

2积分环节频率特性157（2）伯德图

L(

)=20lgA(

)=

20lg

(

)=

90

ImRe0

=0

=

（1）极坐标图

(

)=

90

90°

(

)/(°)0°

20dB/dec

L(

)/dB0201103微分环节频率特性G(j

)=j

(1)极坐标图

A(

)=

(

)=

90

(2)伯德图

L(

)=20lgA(

)=20lg

(

)=90

158

由于微分环节与积分环节的传递函数互为倒数，L(

)和

(

)仅相差一个符号。因此，伯德图是对称于

轴的。ImRe0

=0

=

90°

(

)/(°)0°

L(

)/dB02010120dB/dec4惯性环节频率特性为159（1）极坐标图实部与虚部表达式为：其模角表达式为：ImRe0

=

=01（2）伯德图对数幅频特性160

因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于

T=