表面裂纹课件

*

表面裂紋返回主目錄*結構中的裂紋材料、加工缺陷疲勞載荷下萌生表面或埋藏裂紋的形狀一般用半橢圓描述。2t2W2cat(a)埋藏裂紋tWa(c)角裂紋ct2Wa2c(b)表面裂紋埋藏裂紋或表面裂紋非穿透的表面或埋藏裂紋飛機輪轂疲勞斷口

孔邊角裂紋斷口*2t2Wt2Rca(d)孔壁表面裂紋(e)孔壁角裂紋t2Wa2Rc表面裂紋是三維問題，其應力強度因數的計算，對於斷裂分析、疲勞裂紋擴展壽命估計十分重要。由於問題的複雜性，難以得到解析解。本章主要介紹若干可用的近似、數值解及其應用，不討論應力強度因數的具體求解過程。*6.1拉伸載荷下無限大體中的表面裂紋1.無限大體中埋藏橢圓裂紋的應力強度因數Irwin於1962年給出的精確解為：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaKt+=(6-1)xyzssxyq0actta、c為橢圓裂紋的短、長半軸；式中K是K，1s為遠場拉伸正應力；t*E(k)為第二類完全橢圓積分，即：qqpdcackE2/122/0222)sin1()(ò--=對於給定的a、c，積分E(k)為常數。可見，橢圓裂紋周邊的應力強度因數K隨

而變化。

為過裂紋周線上任一點的徑向線與長軸之夾角。4/12222)cos(sin)(qqpscakEaKt+=(6-1)xyq0ac)()2/(kEaKtpsp=

=

/2時，在短軸方向裂尖，K最大，且有：2222)=0cos(sinqqca+ddq極值條件：Sinqcosq=0

=

/2;

=0極值點：*c

,為長2a的穿透裂紋。(c2-a2)/c2

1,E(k)=1故短軸方向（裂紋深度方向）裂尖的K為：aKtps=

=0時，在長軸方向裂尖，K最小，且：cakEaKt)()0(ps=注意，a<c正是無限大體中穿透裂紋尖端的應力強度因數解。若a/c=1,為圓盤形裂紋。此時有E(k)=

/2,故由(6-1)式顯然可知：aKtpsp2=qqpdcackE2/122/0222)sin1()(ò--=*4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKtf+=yzssxxyqa0c2.半無限大體中半橢圓表面裂紋的應力強度因數將無限大體沿y=0的平面切開。被切除部分對半橢圓表面裂紋尖端場的影響，用M修正。由(6-1)式，應力強度因數可寫為：fM稱為前自由表面修正係數。只要確定了M，就可給出K。ff為估計係數M，先討論二種極端情況。f*此時，半無限大體中的表面裂紋成為長度為a的單邊穿透裂紋。其應力強度因數K已知為：aKtps1215.1=另一方面，前面討論了無限大體中的埋藏橢圓裂紋，考慮表面裂紋的前表面修正，有：aMKtfps=情況1：c

,a/c

0yzssxxyqa0ctt二式相比較，應有：M（

/2）=1.1215(a/c

0時)f*F.W.Smith得到拉伸載荷作用下半空間中表面半圓形裂紋最深處(

=

/2)的應力強度因數為：aKtpsp203.1=情況2：a=c,a/c=1，半圓形表面裂紋利用前述無限大體中埋藏裂紋的應力強度因數解，進行前表面修正，有：

aKtpsp)/2(=Mf二相比較，對半無限體中的半圓形表面裂紋，應有：

M(

/2)=1.03(a/c=1時)

f可知：M與a/c有關。在裂紋最深處(

=

/2)，

a/c從0到1連續變化時，1.03<M<1.1215

ff*第一式具有簡單的線性形式；與第二式相差不到1%。基於上述討論，進一步用各種方法進行數值計算，給出一些前表面修正係數M運算式，如：f(

=

/2)M1.021.061.101.001.081.041.1200.20.40.60.81.0a/cMaddoxKobayashiScottf（

/2）)75.01(12.01)2/(caMf-+=pMaddox:2)2/()21(12.01caMf-+=pKobayashi:2/1)2/()(07.013.1caMf-=pScott:Scott(1981)給出的第三式在預測半橢圓裂紋疲勞擴展形狀改變時，結果更好，與前二者最大相差3%。

*)()2/()2/(kEaMKtfpspp=表面裂紋最深處(

=

/2)的應力強度因數則寫為：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKtf+=半無限體中半橢圓表面裂紋的應力強度因數為：我們關心的還有半橢圓裂紋表面(

=0)處的應力強度因數。若裂紋尺寸a、c已知，則E(k)、M、K均可計算。f*)()()0()0(kEaMcakEaMKtftfpsps==半橢圓裂紋表面(

=0)處的應力強度因數可寫為：cacacaMf])(1.01.021.1[4)0(+-=綜合若干數值分析結果，Scott給出計算半橢圓裂紋表面處的應力強度因數的前表面修正係數M為：f(0)當a/c=1時，M=1.21；此時還有E(k)=

/2,半無限大體中半圓形表面裂紋表面處的K：aKtpsp221.1)0(=f(0)*

本節介紹Newman和Raju(1983)用三維有限元計算，系統研究有限體中三維裂紋在拉伸載荷作用下的應力強度因數後給出的結果。6.2拉伸載荷作用下有限體中表面裂紋的應力強度因數

若零、構件的尺寸與裂紋尺寸相差不很大，則用無限大體中裂紋的解，將有較大的誤差。因此，需要研究有限尺寸對裂紋尖端應力強度因數的影響。*1.埋藏橢圓裂紋xyacfxycfa埋藏裂紋及其裂紋角2t2W2cat且滿足：當0

a/c

0.2時，a/t<1.25(0.6+a/c)；當0.2

a/c

時，a/t<1xyzssttWt應力強度因數可表達為：)(),,,(kEaWctacaFKtepsf=適用條件：

0

a/c<

,c/W<0.5,-

*2/33)(23.029.0caM+=)/(41cos)/(141catag+-=fîíì>£=)1/()1/(11caaccaM2/32)(11.005.0caM+=式中:îíì>+£+=)1/(]cossin)/[()1/(]sincos)/[(4/12224/1222cacacacaffffff(6-11)式中F

是幾何修正函數，考慮到裂紋形狀比a/c,有限厚度a/t，有限寬度a/W及裂紋角

等無量綱幾何參數的影響。故F可進一步寫為：

aa42WeffgtMtMMFf1321])()([++=(6-10)ee*2/1)]2[sec(taWcfWp=注意，裂紋尺寸a、c一般不大，故若W很大，則有限寬修正係數f趨近於1。W為便於計算，E(k)用數值擬合法近似表達為：

（6-13）上述近似運算式的誤差小於0.13%。îíì>+£+=)1/(])/(464.11[)1/(])/(464.11[)(2/165.12/165.1caaccacakE當t

,W

時，a/t

0,f=1,g=1,則F=Mf,恰好就是無限大體中埋藏橢圓裂紋的解。W1e1

)/(41cos)/(141catag+-=faa42WeffgtMtMMFf1321])()([++=(6-10)*2.半橢圓表面裂紋t2W2ca拉伸載荷下，半橢圓表面裂紋有)(),,,(kEaWctacaFKtspsf=yzssxtt上式的適用範圍為：0

a/c<2,c/W<0.5,0

且當0

a/c

0.2時，a/t<1.25(0.6+a/c)

當0.2

a/c

時，a/t<1表面裂紋的幾何修正函數F為：

WsffgtaMtaMMFf143221])()([++=s*式中各係數分a/c

1、a/c>1二種情況給出。當a/c

1時有：)/(09.013.11caM-=)]/(2.0/[89.054.02caM++-=243)1(14)(65.015.0cacaM-++-=221)sin1]()/(35.01.0[1f-++=tag

當a/c>1時有：acacM)]/(04.01[1+=42)/(2.0acM=43)/(11.0acM-=221)sin1]()/)(/(35.01.0[1f-++=taacgf、f和E(k)仍由前述各式給出。

W*解：半橢圓表面裂紋的應力強度因數為：)(),,,(kEaWctacaFKtspsf=0

a/c=0.2<2,c/W=0.05<0.5,a/t=1/12<1；滿足上式的適用範圍。例6.1W=100mm，t=12mm的板中有一半橢圓表面裂紋，a=1mm，c=5mm。受

=600MPa拉伸載荷作用，試求裂紋最深處(

=

/2)的應力強度因數K。

/2表面裂紋的幾何修正函數F為：

WsffgtaMtaMMFf143221])()([++=s*且有：=1=1.0001

14/1222]sincos)/[(fff+=caf2/12/1)]1212005[sec()]2[sec(pp==taWcfW

注意到本題a/c

1，故有：

=1.112=1.685；

=-0.61；

=1)/(09.013.11caM-=)]/(2.0/[89.054.02caM++-=243)1(14)(65.015.0cacaM-++-=221)sin1]()/(35.01.0[1f-++=tag修正係數為：

=1.128

.1])121(61.0)121(685.1112.1[42

-+=sF*

且由（6-13）式可知，當a/c=0.2<1時，有：

=1.052/165.1])/(464.11[)(cakE+=討論：在表面處（

=0），有g1=1.103,且:

=0.44724/1222]sincos)/[(fff+=caf故可得到：

=36.1MPa05.1001.0600128.12/pp=Km其餘各量不變，可知修正係數為：

F

=1.128

1.103

0.4472=0.5543s裂紋表面處的應力強度因數K為：

K=39.7

0.5543=22Mpam00*匯總：1)表面裂紋是工程實際中最常見的。高應力區一般在零、構件表面。疲勞載荷作用下萌生的裂紋大都起源於應力水準高的表面。

2)表面裂紋通常可用半橢圓描述其形狀。*當

=0時，即在長軸方向的裂紋尖端，應力強度因數最小，且：

無限大體中圓盤形埋藏裂紋（a/c=1）的應力強度因數處處相同且：

cakEaKt)()0(ps=aKtpsp2=3)無限大體中埋藏橢圓裂紋周邊的應力強度因數是不同的，在拉伸應力場內作用下，當

=

/2

時，即在短軸方向的裂紋尖端，應力強度因數最大，且有：)(kEatps)2/(Kp=*4）拉伸載荷作用下，半無限大體中半橢圓表面裂紋的應力強度因數為：

4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKtf+=

故當裂紋的形狀比a/c從0-1連續變化時，前表面修正係數M之值應在1.03-1.1215之間。f當a/c=1時，拉伸載荷作用下表面半圓形裂紋最深處的應力強度因數為：aKtpsp203.1=當c

,a/c

0時(穿透裂紋)，aKtps1215.1=*

研究思路無限大體中埋藏橢圓裂紋xyzssxyq0acttK)0()2/(Kpc

,穿透裂紋沿y=0切開,半橢圓表面裂紋，前表面修正M。fc

,a/c

0,單邊穿透裂紋a=c,a/c=1，半圓形表面裂紋二種極端情況yzssxxyqa0ctt沿y=t切開，x=W切開，厚度、寬度等修正。*Fractureanalysisofalinearelasticstructurebecomesrelativelystraightforward,onceaKsolutionisobtainedforthegeometryofinterest.Stressintensitysolutioncancomefromanumberofsources,includinghandbooks,thepublishedliterature,experiments,andnumericalanalysis.

一旦獲得了所研究之幾何條件下的K解，線彈性結構的斷裂分析就比較簡單了。應力強度因數解可由手冊、發表的文獻、實驗和數值分析等多種途徑獲得。*習題：6-3第一次課完

請繼續第二次課返回主目錄*第六章表面裂紋6.3彎曲載荷下有限體中表面裂紋的K6.1拉伸載荷下無限大體中的表面裂紋6.2拉伸載荷下有限體中表面裂紋的K返回主目錄*拉伸載荷下，無限大體中埋藏橢圓裂紋的K：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaKt+=(6-1)在短軸方向(

=

/2)K最大，且：)(kEatps)2/(Kp=

在長軸方向(

=0)K最小，且：cakEaKt)()0(ps=半無限大體中半橢圓表面裂紋的K：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKtf+=有限體中半橢圓表面裂紋：)(),,,(kEaWctacaFKtspsf=*3.四分之一橢圓角裂紋tWca應力強度因數為：

(6-15))(),,(kEatacaFKtcpsf=適用範圍為：

0.2

a/c<2,a/t<1,c/W<0.2,0

/2角裂紋的幾何修正函數記作F,且：ffggtaMtaMMFc2143221])()([++=c6.2拉伸載荷下有限體中表面裂紋的K*當a/c

1時有：)/(03.008.11caM-=)]/(3.0/[06.144.02caM++-=153)/1(8.14)/(25.05.0cacaM-++-=321)sin1]()/(4.008.0[1f-++=tag322)cos1]()/(15.008.0[1f-++=tag當a/c>1時有：

;acacM)]/(03.008.1[1-=22)/(375.0acM=23)/(25.0acM-=321)sin1]()/(4.008.0[1f-++=tcg322)cos1]()/(15.008.0[1f-++=tcgf

和E(k)仍由(6-11)和(6-13)式給出。

*孔壁裂紋十分常見。圖示在孔壁有二對稱半橢圓表面裂紋的K為：4.孔壁半橢圓表面裂紋

2t2Wt2Rcac上式的適用範圍為：0.2

a/c

2,a/t<1,0.5

R/t

2(R+c)/W<0.5,-

/2

/2；)(),,,,,(kEaWcWRtRtacaFKtshpsf=(6-15)孔壁表面裂紋的幾何修正函數記作F,且：WshffgggtaMtaMMFf32143221])()([++=sh*各修正函數為：îíì>£=)1/()1/(11caaccaM2/32)(11.005.0caM+=2/33)(23.029.0caM+=)/(41cos)/(141catag+-=f)08.01/()156.2578.1425.1358.01(24322lllll++-++=g1023)/1()cos1(1.01tag+-+=f;;式中M、M、M及g與埋藏橢圓裂紋情況相同,g中的

為：1)]9.0cos()/(1[-+=flRc12312*式中n為裂紋數，對於二對稱孔壁表面裂紋，n=2；若為單側孔壁裂紋，n=1。f仍由(6-11)式給出,有限寬度修正函數f為：

（6-16）

W2/1)]2)(4)2(sec()2[sec(tanccWncRWRfW+-+=pp單側孔壁半橢圓表面裂紋的應力強度因數，可利用二對稱孔壁表面裂紋的解，按下式估算：22/11)]4/()24[(==++=nnKtRactRacKpp式中，K是二對稱孔壁表面裂紋的解，但有限寬度修正應按n=1計算；K即單側孔壁表面裂紋的解。n=2n=1*5.孔邊1/4橢圓角裂紋t2W2Rcac孔邊有二對稱1/4橢圓角裂紋的應力強度因數可以表達為：)(),,,,,(kEaWcWRtRtacaFKtchpsf=(6-18)適用範圍：0.2

a/c

2,a/t<1,0.5

R/t

1(R+c)/W<0.5,0

/2；孔邊角裂紋的幾何修正函數F為：chWchffgggtaMtaMMFf32143221])()([++=*當a/c

1時有：)/(09.013.11caM-=)]/(2.0/[89.054.02caM++-=243)1(14)(65.015.0cacaM-++-=221)sin1]()/(35.01.0[1f-++=tag

當a/c>1時有：acacM)]/(04.01[1+=42)/(2.0acM=43)/(11.0acM-=221)sin1]()/)(/(35.01.0[1f-++=taacg；注意，上述各函數與半橢圓表面裂紋相同；修正函數f、f由(6-11)和(6-16)式給出。

W*單側孔邊角裂紋的應力強度因數，同樣可以利用雙側對稱孔邊角裂紋的解估算。實驗結果表明上述估算是工程中可接受的。還有：)13.01/()156.2578.1425.1358.01(24322lllll++-++=g1)]85.0cos()/(1[-+=flRc(0.2

a/c

2)îíì>+-+-£+-++=)1/(])/(15.085.0][)cos1(1.01)[/09.013.1()1/(])/(15.085.0][)cos1(1.01)[/04.01(4/124/123cataaccatacagff*例6.2某拉杆受拉應力作用，接頭孔徑d=12mm，耳片厚t=10mm，W=20mm。有一單側孔邊角裂紋a=c=1mm，材料

s=1400MPa，KIc=120MPa，試計算發生斷裂時的工作應力

c。解：拉伸載荷作用下，對於孔邊二對稱角裂紋有：)(),,,,,(kEaWcWRtRtacaFKtchpsf=(6-18)適用條件：0.2

a/c=1

2,a/t=0.1<1,0.5

R/t=6/10

1(R+c)/W=7/20<0.5,

WchffgggtaMtaMMFf32143221])()([++=*

=0（紅點）處應力強度因數最大，有：本題a/c=1

1，有：)/(09.013.11caM-==1.04)]/(2.0/[89.054.02caM++-==0.2243)1(14)(65.015.0cacaM-++-==0.1221)sin1]()/(35.01.0[1f-++=tag=1.1035t2W2Rcac1)]85.0cos()/(1[-+=flRc=[1+(1/6)cos0o]-1=0.857)13.01/()156.2578.1425.1358.01(24322lllll++-++=g=2.303=3g+-++])/(15.085.0][)cos1(1.01)[/04.01(4/12tacaf=1.113*

修正函數f

由(6-11)給出為：

+]sincos)/[(4/1222caff=ff=1

有限厚度修正函數f

為：w2/1)]2)(4)2(sec()2[sec(tanccWncRWR+-+fW=pp（6-16）由於是單側裂紋，n=1，故有：2/1)]1012194)112(sec()203[sec(++ppfW==1.0667

所以，修正係數F為：F=[1.04+0.2(0.1)2-0.1(0.1)4]

1.1035

2.303

1.113

1

1.0667=3.144

chch*可見1mm的裂紋存在時，只要應力

>816.88MPa，拉杆將發生斷裂。而若無裂紋存在，該應力遠低於屈服強度

s=1400MPa，強度顯然是足夠的。注意到a/c=1時，有E(k)=

/2，且a=0.001m，故得：

aKcnpsp2131.42===0.1122

c單側裂紋的K則由（6-17）式給出為：29968.0==nK=0.1118

c22/11)]4/()24[(==++=nnKtRactRacKpp由斷裂判據有：K=0.1118

Kn=1c1c

得到：

K/0.1118=120/0.1118=1073.3MPac1c*6.3彎曲載荷下有限體中表面裂紋的應力強度因數1.彎曲載荷下表面裂紋的應力強度因數tWacc

OMMKobayashi等給出有限厚板中半橢圓表面裂紋，純彎曲情況下的應力強度因數可表達為：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKbtb+=（6-19）*MM4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKbtb+=

式中，

是名義彎曲正應力，即假設裂紋不存在時，彎矩M作用下有限厚板裂紋所在外層纖維處的應力；M是有限厚度修正函數。btb

上式與拉伸載荷作用下半無限體中表面裂紋的K運算式(6-3)具有相同的形式，只是將拉伸正應力

換成彎曲正應力

，將前表面修正函數M換成考慮有限厚度(包括前、後表面)的修正函數M。tbftb*

人們關心的是裂紋最深處(

=

/2)和裂紋表面處(

=0)的應力強度因數。

在裂紋最深處，

=

/2，有：)()2/()2/(kEaMKbtbpspp=圖示為Kobayashi給出的有限厚度修正函數M(

/2)的數值結果，可計算裂紋最深處(

=

/2)之K。tb(

/2)00.50.51.01.0a/ta/c=0.1a/c=0.4a/c=1.0(6-19)式(6-22)式M(

/2)tba/t

0時有：M(

/2)

1.1215tb*Scott等擬合結果:(FatigueofEngineeringMaterialsandStructures,Vol4,No.4,1981)

查圖表尋找M(

/2)，不利於電腦分析。下麵給出二組可用於計算的近似運算式：tb)(})())((394.0])(1)[3.01({2/11212)0(kEacatakEtataM)0(Kbfps-+--=)(]))((36.11[1.0)2/(kEacataMbfpsp)2/(Kp-=(6-20)式中，K、K分別為裂紋最深處(

=

/2)與表面處(

=0)的應力強度因數；M、M為前表面修正係數(

/2)(0)f(

/2)f(0)*長2c的穿透裂紋板承受彎曲載荷的有限元解為：當泊松比

=0.3時，上述二者是一致的。cKbpsmm++=31)0(M、M分別由(6-4)之第三式和(6-7)式給出為：f(

/2)f(0)當a/t

1時，6-20)式給出長軸端的應力強度因數為：)(})())((394.0])(1)[3.01({2/11212)0(kEacatakEtataM)0(Kbfps-+--=cbps394.0=cacaca])(1.01.021.1[4Mf)0(+-=2/1)2/()(07.013.1cMf-=pacbps3.31.3*Letunov給出：(StrengthofMaterials,1985)式中，考慮有限寬影響的修正函數f

為：W2/1)sec(taWcfWp=2)2/()(603.0[998.0)])}{(2[2.072.0(21){07.012.1(cakEtacaK+----=pp)(})](95.0975.0)(169.0[]118.0783.022kEaftacacatacabWps+-++-22)(867.4[]542.063.0)(451.0[99.0){34.01(2.1catacacata)0(K-++-+-=cakEaftacabW)(})](542.0748.32ps-+（6-22）*將非線性分佈的名義應力作線性近似；再將線性分佈應力視為均勻拉伸和純彎曲的疊加；在彈性小變形條件下，即可由疊加法得出拉、彎組合載荷作用下的應力強度因數的解。2.拉、彎組合作用下表面裂紋的應力強度因數ss=sb+stststsbsb*Kanazawa利用Kobayashi等的計算結果，擬合給出的拉、彎組合載荷作用下的應力強度因數的解：式中s、s

分別為名義拉伸、彎曲應力，各係數見P130。E(k)仍為第二類完全橢圓積分。tbsbsbstst)()(321kEaMMMbtpss)2/(Kp+=cakEataMMbt)(])306.01([18.141K)0(pss-+=(6-23)*00.50.51.01.0a/ta/c=0.1a/c=0.4a/c=1.0(6-19)式(6-23)式M(

/2)tbKanazawa給出的在彎曲載荷作用下表面裂紋最深處(

=

/2)的應力強度因數（6-23）式，與Kobayashi的結果(6-19)式，基本上是相符的。(為與Kobayashi的解相比較，圖中以修正函數M(

/2)的形式給出)。tb*Newman和Raju將拉、彎組合載荷作用下半橢圓表面裂紋周邊任一點的應力強度因數表達為：)()(),,,(kEaHWctacaFKbtspssf+=適用範圍為：0

a/c

1,0

a/t<1,c/W<0.5。式中s、s分別名義拉伸和彎曲應力；係數H為：tbfpHHHHsin)(121-+=tacap/6.0/2.0++=)/)(/(11.0/34.011tacataH--=2212)/()/(1taGtaGH++=)/(12.022.11caG--=2/34/32)/(47.0)/(05.155.0cacaG+-=*

在彈性小變形條件下，拉、彎載荷組合作用下的應力強度因數解，可由拉伸、彎曲載荷作用下表面裂紋的應力強度因數解疊加得到。

斷裂力學研究已給出了一些工程可用的有限體中表面裂紋的應力強度因數數值解。無限大體埋藏橢圓裂紋研究方法前表面修正有限厚度修正半無限大體中橢圓表面裂紋剖一半有限體中的橢圓表面裂紋切取有限厚*Stressintensityfactorsolutionhavebeingobtainedforawidevarietyofproblemsandpublishedinhandbookform.對於許多不同的問題，已經得到了其應力強度因數解，並以手冊的形式發表。BecausethereislinearrelationshipbetweentheStressintensityfactor,K,andtheload,sothatthestressintensityfactorforcomplexloadingconditionscanbedeterminedfromthesuperpositionofsimplerresults,suchasthosereadilyobtainablefromhandbooks.因為應力強度因數K與載荷間有線性關係，故複雜加載條件下的應力強度因數可以由從手冊中可查得的簡單加載結果疊加而確定。*IndeterminingK,numericalmethods(includingfiniteelementmethods)havebeenwidelyusedinrecentyears.Infact,manycommerciallyavailablefiniteelementcomputerprogramsincludesubroutinestocalculateK.近些年來，廣泛採用數值方法，包括有限元法確定應力強度因數K。事實上，許多商用有限元計算程式都含有計算K的副程式。*拉伸載荷下，無限大體中埋藏橢圓裂紋的K：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaKt+=(6-1)在短軸方向(

=

/2)K最大，且：)(kEatps)2/(Kp=

在長軸方向(

=0)K最小，且：cakEaKt)()0(ps=半無限大體中半橢圓表面裂紋的K：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKtf+=有限體中半橢圓表面裂紋：)(),,,(kEaWctacaFKtspsf=*3.四分之一橢圓角裂紋tWca應力強度因數為：

(6-15))(),,(kEatacaFKtcpsf=適用範圍為：

0.2

a/c<2,a/t<1,c/W<0.2,0

/2角裂紋的幾何修正函數記作F,且：ffggtaMtaMMFc2143221])()([++=c6.2拉伸載荷下有限體中表面裂紋的K*當a/c

1時有：)/(03.008.11caM-=)]/(3.0/[06.144.02caM++-=153)/1(8.14)/(25.05.0cacaM-++-=321)sin1]()/(4.008.0[1f-++=tag322)cos1]()/(15.008.0[1f-++=tag當a/c>1時有：

;acacM)]/(03.008.1[1-=22)/(375.0acM=23)/(25.0acM-=321)sin1]()/(4.008.0[1f-++=tcg322)cos1]()/(15.008.0[1f-++=tcgf

和E(k)仍由(6-11)和(6-13)式給出。

*孔壁裂紋十分常見。圖示在孔壁有二對稱半橢圓表面裂紋的K為：4.孔壁半橢圓表面裂紋

2t2Wt2Rcac上式的適用範圍為：0.2

a/c

2,a/t<1,0.5

R/t

2(R+c)/W<0.5,-

/2

/2；)(),,,,,(kEaWcWRtRtacaFKtshpsf=(6-15)孔壁表面裂紋的幾何修正函數記作F,且：WshffgggtaMtaMMFf32143221])()([++=sh*各修正函數為：îíì>£=)1/()1/(11caaccaM2/32)(11.005.0caM+=2/33)(23.029.0caM+=)/(41cos)/(141catag+-=f)08.01/()156.2578.1425.1358.01(24322lllll++-++=g1023)/1()cos1(1.01tag+-+=f;;式中M、M、M及g與埋藏橢圓裂紋情況相同,g中的

為：1)]9.0cos()/(1[-+=flRc12312*式中n為裂紋數，對於二對稱孔壁表面裂紋，n=2；若為單側孔壁裂紋，n=1。f仍由(6-11)式給出,有限寬度修正函數f為：

（6-16）

W2/1)]2)(4)2(sec()2[sec(tanccWncRWRfW+-+=pp單側孔壁半橢圓表面裂紋的應力強度因數，可利用二對稱孔壁表面裂紋的解，按下式估算：22/11)]4/()24[(==++=nnKtRactRacKpp式中，K是二對稱孔壁表面裂紋的解，但有限寬度修正應按n=1計算；K即單側孔壁表面裂紋的解。n=2n=1*5.孔邊1/4橢圓角裂紋t2W2Rcac孔邊有二對稱1/4橢圓角裂紋的應力強度因數可以表達為：)(),,,,,(kEaWcWRtRtacaFKtchpsf=(6-18)適用範圍：0.2

a/c

2,a/t<1,0.5

R/t

1(R+c)/W<0.5,0

/2；孔邊角裂紋的幾何修正函數F為：chWchffgggtaMtaMMFf32143221])()([++=*當a/c

1時有：)/(09.013.11caM-=)]/(2.0/[89.054.02caM++-=243)1(14)(65.015.0cacaM-++-=221)sin1]()/(35.01.0[1f-++=tag

當a/c>1時有：acacM)]/(04.01[1+=42)/(2.0acM=43)/(11.0acM-=221)sin1]()/)(/(35.01.0[1f-++=taacg；注意，上述各函數與半橢圓表面裂紋相同；修正函數f、f由(6-11)和(6-16)式給出。

W*單側孔邊角裂紋的應力強度因數，同樣可以利用雙側對稱孔邊角裂紋的解估算。實驗結果表明上述估算是工程中可接受的。還有：)13.01/()156.2578.1425.1358.01(24322lllll++-++=g1)]85.0cos()/(1[-+=flRc(0.2

a/c

2)îíì>+-+-£+-++=)1/(])/(15.085.0][)cos1(1.01)[/09.013.1()1/(])/(15.085.0][)cos1(1.01)[/04.01(4/124/123cataaccatacagff*例6.2某拉杆受拉應力作用，接頭孔徑d=12mm，耳片厚t=10mm，W=20mm。有一單側孔邊角裂紋a=c=1mm，材料

s=1400MPa，KIc=120MPa，試計算發生斷裂時的工作應力

c。解：拉伸載荷作用下，對於孔邊二對稱角裂紋有：)(),,,,,(kEaWcWRtRtacaFKtchpsf=(6-18)適用條件：0.2

a/c=1

2,a/t=0.1<1,0.5

R/t=6/10

1(R+c)/W=7/20<0.5,

WchffgggtaMtaMMFf32143221])()([++=*

=0（紅點）處應力強度因數最大，有：本題a/c=1

1，有：)/(09.013.11caM-==1.04)]/(2.0/[89.054.02caM++-==0.2243)1(14)(65.015.0cacaM-++-==0.1221)sin1]()/(35.01.0[1f-++=tag=1.1035t2W2Rcac1)]85.0cos()/(1[-+=flRc=[1+(1/6)cos0o]-1=0.857)13.01/()156.2578.1425.1358.01(24322lllll++-++=g=2.303=3g+-++])/(15.085.0][)cos1(1.01)[/04.01(4/12tacaf=1.113*

修正函數f

由(6-11)給出為：

+]sincos)/[(4/1222caff=ff=1

有限厚度修正函數f

為：w2/1)]2)(4)2(sec()2[sec(tanccWncRWR+-+fW=pp（6-16）由於是單側裂紋，n=1，故有：2/1)]1012194)112(sec()203[sec(++ppfW==1.0667

所以，修正係數F為：F=[1.04+0.2(0.1)2-0.1(0.1)4]

1.1035

2.303

1.113

1

1.0667=3.144

chch*可見1mm的裂紋存在時，只要應力

>816.88MPa，拉杆將發生斷裂。而若無裂紋存在，該應力遠低於屈服強度

s=1400MPa，強度顯然是足夠的。注意到a/c=1時，有E(k)=

/2，且a=0.001m，故得：

aKcnpsp2131.42===0.1122

c單側裂紋的K則由（6-17）式給出為：29968.0==nK=0.1118

c22/11)]4/()24[(==++=nnKtRactRacKpp由斷裂判據有：K=0.1118

Kn=1c1c

得到：

K/0.1118=120/0.1118=1073.3MPac1c*6.3彎曲載荷下有限體中表面裂紋的應力強度因數1.彎曲載荷下表面裂紋的應力強度因數tWacc

OMMKobayashi等給出有限厚板中半橢圓表面裂紋，純彎曲情況下的應力強度因數可表達為：4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKbtb+=（6-19）*MM4/12222)cos(sin)(qqpscakEaMKbtb+=

式中，

是名義彎曲正應力，即假設裂紋不存在時，彎矩M作用下有限厚板裂紋所在外層纖維處的應力；M是有限厚度修正函數。btb

上式與拉伸載荷作用下半無限體中表面裂紋的K運算式(6-3)具有相同的形式，只是將拉伸正應力

換成彎曲正應力

，將前表面修正函數M換成考慮有限厚度(包括前、後表面)的修正函數M。tbftb*

人們關心的是裂紋最深處(

=

/2)和裂紋表面處(

=0)的應力強度因數。

在裂紋最深處，

=

/2，有：)()2/()2/(kEaMKbtbpspp=圖示為Kobayashi給出的有限厚度修正函數M(

/2)的數值結果，可計算裂紋最深處(

=

/2)之K。tb(

/2)00.50.51.01.0a/ta/c=0.1a/c=0.4a/c=1.0(6-19)式(6-22)式M(

/2)tba/t

0時有：M(

/2)

1.1215tb*Scott等擬合結果:(FatigueofEngineeringMaterialsandStructures,Vol4,No.4,1981)

查圖表尋找M(

/2)，不利於電腦分析。下麵給出二組可用於計算的近似運算式：tb)(})())((394.0])(1)[3.01({2/11212)0(kEacatakEtataM)0(Kbfps-+--=)(]))((36.11[1.0)2/(kEacataMbfpsp)2/(Kp-=(6-20)式中，K、K分別為裂紋最深處(

=

/2)與表面處(

=0)的應力強度因數；M、M為前表面修正係數(

/2)(0)f(

/2)f(0)*長2c的穿透裂紋板承受彎曲載荷的有限元解為：當泊松比

=0.3時，上述二者是一致的。cKbpsmm++=31)0(M、M分別由(6-4)之第三式和(6-7)式給出為：f(

/2)f(0)當a/t

1時，6-20)式給出長軸端的應力強度因數為：)(})())((394.0])(1)[3.01