专题07 函数 3年（2024-2026）高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析高考真题分类解析PAGE2PAGE1专题07函数答案版考点01函数及其性质1、D2、D3、C4、D5、A6、A7、A8、D9、A10、A11、D12、B13、B14、B15、B16、ABD17、18、②③19、/20、21、022、23、24、(1)(2)由题意证明如下：在中，是奇函数，当时，．∴，当时，，∴在集合中，当时，，当时，，当时，，∴，∵，∴且，即，，∵，∴①当时，解得，，，此时，②当时，解得，，，此时，③当时，解得，，，此时，综上，.(3)（i）由题意证明如下，法一：若，则存在，使得，条件①：若，则，∴，则，取，则，此时，∵，则，即，但，相矛盾，∴法二：假设，则存在，使得，从而，这导致，但，∵根据条件又有，矛盾，∴假设不成立，.（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，在集合中，要证在上单调递增，即需证，，都有，即需证，，都有，①先证明：当时，，假设，使得，∵当时，，∴，使得，∴，而当时，，否则，使得，，与矛盾，∴，∴，∴，由（3）（i）得，，则，由条件②：当时，，则，否则时，与矛盾，∴若，使得，则，，（*）∴，使得，则，令，，此时，则，则，∴，∵，∴易取，满足，使得，根据（*）可得，此时，与矛盾，∴当时，，②证明：对，，都有，∵，，都有，∴，对任意给定的，取，则，∴对，，都有，∴在上单调递增.25、(1)是排列；(2)；(3)首先证明第1个结论，观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，那么排列都将是排列，此时至少为4．当时，即，因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，则恒成立，又因为函数在上单调递增，则在区间上，，.若恒成立，则，则只需，即，因为对任意的，，则，则，则解得，当时，即，因为严格递减，所以且，，只要，就有，则可取即可满足题意．即存在，使得.再证明第2个结论.假设对于任意的，都有，因为（2）中①排列始终满足条件，则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．首先，我们证明不可能恒成立：假设对于某个，在上恒有．即，即，取．由于严格递增，令，则，于是对任意正整数：，当时，，这与矛盾！因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．接下来只剩②排列，其需满足，⑤排列，其需满足，⑥排列，其需满足，下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．（i）若对任意，都有，即都有，对于任意和，则，当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，所以恒成立，则对所有的恒成立.则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，则，与假设矛盾！（ii）并非对于所有都有，即，则必定存在，使得，设，因为是严格单调递增的连续函数，则对于已知的，总可以找到，使得，即，即，同时，因为严格递增且，必有．即，即，即，则可取充分小的使得，即存在，使得，所以＂恒成立＂这个命题是假的．既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，则对于，在时都有：，即，取，则对于任意：，因为严格递增，则．则又因为，则即，对任意都成立．取，因为，则，则对于内的任意，都满足，因为，故有，但是，之前我们得到，即，则，则有：，这与我们的假设相矛盾．综上，原命题成立，必然存在，使得．26、（1）函数不具有“性质”，理由如下：例如当时，显然成立，，根据指数函数的单调性可知，所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”；（2）因为函数具有“性质”，所以取，有，于是有，当时，由，当时，由，若，若，则有，取，此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意，故，此时，若时，则，由，若时，则，由，因此，综上所述：当且仅当时，满足条件；（3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数.若存在，，不妨设，记，即，因为函数的值域为，所以，若，则有，若，则有，故对任意，，这与的值域为矛盾，所以不成立，则有，因此函数是偶函数；必要性：若是偶函数，则具有“性质”.当时，因为在上是严格增函数，所以，又因为函数是偶函数，所以由，因此具有“性质”.所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”.27、(1)(2)且.28、(1)；(2)由题意知，记，有或2，02正0负0正极大值极小值现对分类讨论:当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件;当时，，先减后增，，因为取等号)，所以，此时，符合条件，且时，；当时，，在严格增，在严格减，在严格增，，因为，此时，，则，则成立;综上可知，对于任意，都有，且存在，使得.(3)必要性:若为偶函数，则，当，因为，故;充分性：若对于任意正实数，均有，其中，因为有最小值，不妨设，由于任意，令，则，故最小元素为，中最小元素为，又则对任意成立，则，若，则对任意成立是偶函数，若，此后取，，综上，任意，即是偶函数.故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.29、(1)（2）的定义域为，设为图象上任意一点，关于的对称点为，因为在图象上，故，而，，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.(3)考点02函数的应用1、B2、B3、D4、AD5、BC6、①②③④7、8、9、10、11、12.13、(1)；(2)散点图；(3)的预测值与实际值之差的绝对值更小.14、(1)不是；(2)；（3）对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点.综上，零点不超过9个.15、(1);(2)考点03指对幂函数1、B2、A3、D4、B5、B6、B7、D8、D9、C10、C11、B12、A13、14、6415、(1)(2)16、(1)（2）证明：