高考数学考前训练专题六第5讲函数零点问题

大二轮专题复习专题六

函数与导数第5讲函数零点问题微点一利用函数的图象与性质研究函数的零点微点二利用导数研究函数的零点专题强化练内容索引微点一利用函数的图象与性质

研究函数的零点

√例1考向1函数零点个数的判断

解析

解析

√例2考向2求参数的值或范围方法一令f(x)=g(x)，即a(x+1)2-1=cos

x+2ax，可得ax2+a-1=cos

x，令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cos

x，原题意等价于当x∈(-1，1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)=G(0)，解析即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F(x)=G(x)，可得2x2+1-cos

x=0，因为x∈(-1，1)，则2x2≥0，1-cos

x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cos

x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cos

x=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意.解析方法二令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos

x，x∈(-1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos

x=h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)=a-2=0，解得a=2，若a=2，则h(x)=2x2+1-cos

x，x∈(-1，1)，又因为2x2≥0，1-cos

x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意.解析

[-1，0)

解析

解析

√例3考向3嵌套函数的零点

解析

解析规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练1

(1)已知函数f(x)=x5+4x+a在(-1，1)内有零点，则实数a的取值范围是A.(-5，5) B.(-∞，-5)∪(5，+∞)C.[-5，5] D.(-∞，-5]∪[5，+∞)√

解析(2)(2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sinπx(x∈R)的所有零点之和为A.9 B.10

C.11

D.12√

解析

解析返回微点二利用导数研究函数的零点(2025·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=2x-asinx+sin2x.若a>0且函数f(x)在(0，π)上没有零点，求实数a的取值范围.例4

解

解规律方法已知零点求参数的取值范围(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.跟踪演练2

已知函数f(x)=eax-x(a∈R).(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；若a=2，则f(x)=e2x-x，f'(x)=2e2x-1.又f(1)=e2-1，即切点坐标为(1，e2-1)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的斜率k=f'(1)=2e2-1，故所求切线方程为y-(e2-1)=(2e2-1)(x-1)，即y=(2e2-1)x-e2.解(2)讨论f(x)的零点个数.

解

解

解

解返回专题强化练对一对答案123456789101112题号123456答案BCCCCD题号78910答案ABCBD3，-1(-∞，0)∪[e，+∞)11.答案123456789101112(1)对f(x)=ex-1-ax求导得，f'(x)=ex-1-a，当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在R上单调递增，不符合题意；当a>0时，令f'(x)=ex-1-a<0得，x<1+ln

a，所以(-∞，1+ln

a)是函数f(x)的单调递减区间，因为f(x)在(-∞，3)上单调递减，所以(-∞，3)⊆(-∞，1+ln

a)，即3≤1+ln

a，解得a≥e2，所以实数a的取值范围是[e2，+∞).11.答案123456789101112(2)令f'(x)=ex-1-a=0得，x=1+ln

a，当x∈(-∞，1+ln

a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1+ln

a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以当x=1+ln

a时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(1+ln

a)=a-a(1+ln

a)=-aln

a.因为a∈(1，e]，所以1<1+ln

a≤2<e2，f(1+ln

a)<0.因为f(0)=e-1>0，所以f(x)在(-∞，1+ln

a)上有唯一零点.11.答案123456789101112

12.答案123456789101112(1)由f(x)=ex-ax-2，则f'(x)=ex-a，所以f'(0)=1-a=1，解得a=0，又f(0)=1-2=-1，所以-1=0+b，即b=-1.(2)①由f'(x)=ex-a.当a≤0时，f'(x)=ex-a>0，则f(x)在R上单调递增，则f(x)在R上至多存在一个零点，不符合题意；12.答案123456789101112当a>0时，由f'(x)>0，得x>ln

a，由f'(x)<0，得x<ln

a，则f(x)在(-∞，ln

a)上单调递减，在(ln

a，+∞)上单调递增，则f(x)min=f(ln

a)=a-aln

a-2.令φ(a)=a-aln

a-2，a>0，则φ'(a)=1-ln

a-1=-ln

a，由φ'(a)>0，得0<a<1，由φ'(a)<0，得a>1，则φ(a)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，则φ(a)max=φ(1)=-1<0，则f(ln

a)=a-aln

a-2≤-1<0.当x→-∞时，f(x)→+∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，则由函数零点存在定理可知f(x)=ex-ax-2在R上有两个不同的零点.综上可知，a的取值范围为(0，+∞).12.答案123456789101112

12.答案123456789101112

12.答案123456789101112

12.答案123456789101112

解析

√123456789101112答案2.(2025·安康模拟)函数f(x)=cos2x+3cosx-1在[-3π，3π]上的零点个数为A.4 B.5

C.6

D.8√123456789101112答案

解析

√123456789101112答案

解析

√123456789101112答案123456789101112答案由题意，令[f(x)]2-5f(x)+6=0，解得f(x)=2或f(x)=3，作出y=f(x)的大致图象如图，由图可知，直线y=2与y=f(x)的图象有3个交点；直线y=3与y=f(x)的图象有4个交点，所以原方程有7个解，即函数y=[f(x)]2-5f(x)+6有7个零点.解析

√123456789101112答案设f(x)=x2-2ycos(sin

x)+y2，显然x∈R，又f(-x)=(-x)2-2ycos[sin(-x)]+y2=x2-2ycos(-sin

x)+y2=x2-2ycos(sin

x)+y2=f(x)，故f(x)=x2-2ycos(sin

x)+y2为偶函数，又f(x)=x2-2ycos(sin

x)+y2有唯一零点，由对称性可知，f(x)=x2-2ycos(sin

x)+y2的零点为0，故f(0)=0，即-2ycos

0+y2=0，即-2y+y2=0，解得y=0或y=2，所以上述关于y的方程的非零实数解为2.解析6.(2025·青岛模拟)若函数f(x)=x(1-ex)+lnx+a有两个零点，则实数a的取值范围是A.(-∞，0) B.(-∞，1]C.[0，+∞) D.(1，+∞)√123456789101112答案

解析123456789101112答案故s(t)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，故s(t)max=s(0)=a-1>0，即a>1，此时当t→+∞时，s(t)→-∞，当t→-∞时，s(t)→-∞，故当a>1时，s(t)有两个不同的零点.综上，a>1.解析123456789101112答案二、多项选择题7.(2025·昭通阶段练习)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-1)f(0)>0，f(0)f(1)<0，且y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则A.f(x)在区间(-1，0)上可能存在零点B.f(x)在区间(-1，0)上可能存在极值点C.f(x)在区间(0，1)上一定存在零点D.f(x)在区间(0，1)上一定存在极值点√123456789101112答案√√当f(x)在区间(-1，0)上先减后增，且存在极值点x0∈(-1，0)时，若f(x0)<0，则设f(-1)>0，f(0)>0，又f(x0)<0且y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，故由零点存在定理可知，f(x)在(-1，x0)与(x0，0)上各有一个零点，故A正确；此时存在极值点x0∈(-1，0)，故B正确；由f(0)f(1)<0，且y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，故由零点存在定理可知，f(x)在区间(0，1)上一定存在零点，故C正确；若f(x)在区间(0，1)上单调递减，此时D无法满足，故D错误.解析123456789101112答案

√123456789101112答案√

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

3，-1123456789101112答案

解析10.(2025·德州模拟)若函数f(x)=xb与g(x)=ex的图象在第一象限内有公共点，则实数b的取值范围为

.

(-∞，0)∪[e，+∞)123456789101112答案

解析123456789101112答案123456789101112答案当x∈(e，+∞)时，h'(x)>0，所以函数h(x)在(0，1)和(1，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，又当x→0+时，h(x)→0；当x→1-时，h(x)→-∞；当x→1+时，h(x)→+∞，h(e)=e；当x→+∞时，h(x)→+∞，则h(x)的大致图象如图所示，所以b<0或b≥e，故实数b的取值范围为(-∞，0)∪[e，+∞).解析四、解答题11.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=ex-1-ax.(1)若函数f(x)在(-∞，3)上单调递减，求实数a的取值范围；123456789101112答案对f(x)=ex-1-ax求导得，f'(x)=ex-1-a，当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在R上单调递增，不符合题意；当a>0时，令f'(x)=ex-1-a<0得，x<1+ln

a，所以(-∞，1+ln

a)是函数f(x)的单调递减区间，因为f(x)在(-∞，3)上单调递减，所以(-∞，3)⊆(-∞，1+ln

a)，即3≤1+ln

a，解得a≥e2，所以实数a的取值范围是[e2，+∞).解123456789101112答案(2)若a∈(1，e]，证明：函数f(x)有两个零点.123456789101112答案

证明123456789101112答案

证明123456789101112答案12.(2025·怀化模拟)已知函数f(x)=ex-ax-2.(1)若直线y=x+b是曲线f(x)在x=0处的切线方程，求a，b的值；123456789101112答案由f(x)=ex-ax-2，则f'(x)=ex-a，所以f'(0)=1-a=1，解得a=0，又f(0)=1-2=-1，所以-1=0+b，即b=-1.解(2)设x1和x2是函数y=f(x)的两个零点.①求a的取值范围；123456789101112答案由f'(x)=ex-a.当a≤0时，f'(x)=ex-a>0，则f(x)在R上单调