2025-2026年湖南省湘教版高二数学第九十四章排列组合与概率应用题库

2025-2026年湖南省湘教版高二数学第九十四章排列组合与概率应用题库一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在高二数学第九十四章中，排列数A(n,m)与组合数C(n,m)的关系式为（）。A.A(n,m)=C(n,m)×m!B.A(n,m)=C(n,m)÷m!C.A(n,m)=C(n,m)+m!D.A(n,m)=C(n,m)-m!解析：排列数A(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的所有不同排列数，公式为A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!；组合数C(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的所有不同组合数，公式为C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]。根据公式推导可知A(n,m)=C(n,m)×m!，故选A。2.某班级有50名学生，现要选出5名代表参加数学竞赛，其中班长必须参加，则不同的选法共有（）。A.C(49,4)种B.C(50,5)种C.A(49,4)种D.A(50,5)种解析：班长必须参加，相当于先固定1名代表，再从剩余49名学生中选出4名，故选法数为C(49,4)。若班长不固定，则选法数为C(50,5)。选项A正确。3.在古典概型中，掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）。A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18解析：掷两枚骰子共有36种等可能结果，点数之和为7的结果有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)共6种，故概率为6/36=1/6。4.从6名男生和4名女生中随机选出3人组成小组，则小组中至少有1名女生的概率是（）。A.3/10B.7/10C.4/15D.1/2解析：总选法数为C(10,3)=120种。小组中至少有1名女生的情况包括：1名女生2名男生（C(4,1)×C(6,2)=60种）、2名女生1名男生（C(4,2)×C(6,1)=36种）、3名女生（C(4,3)=4种），共100种，概率为100/120=5/6。选项B正确。5.在一次有放回的抽样中，从包含3件正品和2件次品的10件产品中连续抽取3件，则3件都是正品的概率是（）。A.3/10B.1/20C.27/125D.1/100解析：每次抽到正品的概率为3/10，连续抽3次都是正品的概率为(3/10)³=27/1000。选项C正确。6.某校高二期中考试数学成绩服从正态分布N(100,16)，则成绩在90分至110分之间的学生比例大约是（）。A.68%B.95%C.34%D.50%解析：根据3σ原则，90分至110分相当于μ±σ范围，包含约68%的数据。选项A正确。7.在排列组合问题中，“从n个不同元素中取出m个元素，允许重复的排列数”记作H(n,m)，其计算公式为（）。A.H(n,m)=C(n+m-1,m)B.H(n,m)=A(n,m)C.H(n,m)=n^mD.H(n,m)=C(n,m)解析：允许重复的排列数相当于在n个位置上每次选择m个元素，共有n^m种情况。选项C正确。8.某公交线路有5个站点，若乘客在任意两个站点之间乘车，则不同的乘车路线共有（）。A.5种B.10种C.20种D.25种解析：从5个站点中任选2个站点有C(5,2)=10种，但乘车方向不同算作不同路线，故总路线数为10×2=20种。选项C正确。9.在概率论中，事件A与事件B互斥但非对立，则P(A∪B)与P(A∩B)的关系是（）。A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(A∪B)=P(A)-P(B)C.P(A∩B)=0D.P(A∪B)=1解析：互斥事件指A与B不能同时发生，即P(A∩B)=0，但可以同时不发生，故P(A∪B)=P(A)+P(B)。选项A正确。10.用0-9这10个数字组成无重复数字的三位数，则能被3整除的数字共有（）。A.120个B.180个C.240个D.300个解析：能被3整除的数字各位数字之和需为3的倍数。分情况讨论：①百位为1时，十位、个位为(0,3)、(2,4)、(5,8)等组合，共60个；②百位为2时，同理共60个；③百位为3时，共60个。总计180个。选项B正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.从7名候选人中选出3名组成委员会，若甲必须当选，则不同的选法共有______种。参考答案：C(6,2)=15种解析：甲固定后，从剩余6人中选2人，选法数为C(6,2)。2.某小组有10名男生和8名女生，现要选出4人参加活动，要求至少有2名女生，则不同的选法共有______种。参考答案：C(8,2)×C(10,2)+C(8,3)×C(10,1)+C(8,4)=672种解析：分三类：2女2男、3女1男、4女，分别计算后相加。3.在一次调查中，有60%的人喜欢苹果，50%的人喜欢香蕉，30%的人既喜欢苹果又喜欢香蕉，则两种水果都不喜欢的人比例是______。参考答案：20%解析：P(都不喜欢)=1-P(喜欢苹果或香蕉)=1-(P(苹果)+P(香蕉)-P(都))=1-(0.6+0.5-0.3)=0.2。4.从1到100的整数中随机取一个数，则取到的数是7的倍数或偶数的概率是______。参考答案：(100/7+50-14.28)/100≈0.6解析：7的倍数有100/7≈14个，偶数有50个，7的倍数中偶数有14/7=2个，故P=(14+50-2)/100=0.62。5.在5件正品和3件次品中，不放回抽取3件，则抽到至少1件次品的概率是______。参考答案：1-C(5,3)/C(8,3)=3/4解析：先求对立事件“全是正品”的概率，P=1-5/8=3/4。6.用0-9这10个数字组成无重复数字的四位偶数，则不同的数字共有______种。参考答案：C(5,1)×C(8,3)×A(3,3)=960种解析：个位为0、2、4、6、8共5种，其余三位从剩余8个数字中选3个排列。7.某班级有40名学生，随机分成4组，每组人数尽量平均，则第一组有10名学生的概率是______。参考答案：C(39,9)/C(40,10)≈0.1解析：先固定第一组10人，再从剩余39人中选9人，总选法数为C(40,10)。8.在标准正态分布N(0,1)中，P(-1.5≤Z≤1.5)的值是______。参考答案：0.8664解析：P=Φ(1.5)-Φ(-1.5)=0.9332-0.0668=0.8664。9.从6个不同的球中任取3个，则取到的3个球中最大编号为k的概率（k=3,4,5,6）分别是______。参考答案：C(5,k-1)/C(6,3)=1/2,1/3,1/4,1/5解析：最大编号为k时，需从k-1个较小球中选2个，总选法数为C(6,3)。10.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，独立射击5次，则恰好命中3次的概率是______。参考答案：C(5,3)×0.7³×0.3²=0.3087解析：应用二项分布公式P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.排列数A(n,m)与组合数C(n,m)满足关系A(n,m)=m×C(n,m)。（×）解析：正确关系为A(n,m)=C(n,m)×m!，原式缺少阶乘。2.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（√）解析：互斥事件不能同时发生，故概率相加。3.从n个元素中取出m个元素的组合数C(n,m)等于从n-m个元素中取出m个元素的组合数C(n-m,m)。（×）解析：C(n,m)≠C(n-m,m)，例如C(5,2)=10≠C(3,2)=3。4.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)=np，Var(X)=np(1-p)。（√）解析：二项分布的期望和方差公式正确。5.在古典概型中，事件发生的概率等于该事件包含的基本事件数除以基本事件总数。（√）解析：概率定义正确。6.若A、B为任意事件，则P(A∪B)≤P(A)+P(B)。（√）解析：根据加法公式和概率非负性成立。7.用0-9这10个数字组成无重复数字的三位数，则能被2整除的数字共有180个。（√）解析：个位为0、2、4、6、8各60个，共300个，其中不能被2整除的为偶数个（0-9中5个奇数），故能被2整除的为150个。8.在标准正态分布中，P(Z>0)=0.5。（√）解析：正态分布关于均值对称，P(Z>0)=1-P(Z≤0)=0.5。9.若事件A与B对立，则P(A∩B)=0且P(A∪B)=1。（√）解析：对立事件互斥且覆盖所有可能性。10.从n个元素中取出m个元素的排列数A(n,m)等于从n个元素中取出m个元素后再进行全排列。（√）解析：A(n,m)=m!×C(n,m)=m×C(n,m)，本质相同。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.简述排列数A(n,m)与组合数C(n,m)的区别与联系。答：区别在于排列考虑顺序（如排列数A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)），组合不考虑顺序（如组合数C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]）。联系在于A(n,m)=C(n,m)×m!，即排列数等于组合数乘以元素的全排列数。2.写出古典概型概率计算的两个必要条件。答：①试验的基本事件总数有限；②每个基本事件发生的可能性相等。3.解释二项分布B(n,p)中参数n和p的含义。答：n表示独立重复试验次数，p表示每次试验成功的概率。4.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，且P(A∩B)=0.1，求P(A∪B)。答：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+0.3-0.1=0.8。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某学校组织数学竞赛，共有8道选择题，每题答对得5分，答错扣2分，不答得0分。小明的目标是至少得40分，他至少需要答对多少道题？解：设答对x道题，答错y道题，不答z道题，则5x-2y≥40，且x+y+z=8。①若全答对，5×8=40，满足条件，需答对8道题。②若答对7道题，5×7-2y≥40⇒y≤5/2，y最小为0，需答对7道题。③若答对6道题，5×6-2y≥40⇒y≤5，y最小为0，需答对6道题。综上，至少需答对6道题。2.从6名男生和4名女生中随机选出3人组成小组，求小组中男女比例恰好为1:1的概率。解：总选法数为C(10,3)=120种。男女比例1:1的选法为C(6,1)×C(4,1)=24种，概率为24/120=1/5。3.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，独立射击4次，求至少命中2次的概率。解：至少命中2次包括命中2次、3次、4次，P=C(4,2)×0.8²×0.2²+C(4,3)×0.8³×0.2+C(4,4)×0.8⁴=0.8192。4.用0-9这10个数字组成无重复数字的四位数，求能被3整除的概率。解：总选法数为A(10,4)=5040种。能被3整除的数字各位数字之和需为3的倍数。①百位为0时，十位、个位和千位数字之和为3的倍数，有C(3,1)×C(6,2)×A(3,3)=180种；②百位为1时，同理有180种；③百位为2时，同理有180种；④百位为3时，同理有180种；总共720种，概率为720/5040=0.1429。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.A4.B5.C6.A7.C8.C9.A10.B二、填空题1.152.6723.20%4.0.