习题3.42026-2027学年北师大九年级数学上册

习题3.43北师版九年级上册1.△ABC

∽△A′B′C′，AD

和A′D′是它们的对应角平分线。已知AD=8cm，

A′D′=3cm，求△ABC

和△A′B′C′对应高的比。知识技能解：∵△ABC

∽△A′B′C′，相似三角形对应角平分线的比=相似比=对应高的比AD=8cm，

A′D′=3cm∴△ABC

与△A′B′C′

对应高的比为。2.如图，在△ABC中，D是边AB上的点，且∠ACD=∠B，△ABC

的角平分线AE

交CD

于点F。已知AB=5，AC=4，AF

=3，求EF

的长。解：∵AE平分∠BAC，∴∠CAF=∠BAE。又∵∠ACF=∠B，∴△ACF∽△ABE。设EF=x，则AE=AF+EF=3+x，代入数值，解得x=。3.如图，在△ABC

和△DEF

中，G，H

分别是边BC

和EF

的中点，已知AB=2DE，AC=2DF，∠BAC=∠EDF。（1）中线AG

与DH

的比是多少？（2）△ABC

与△DEF

的面积比是多少？解：∵AB=2DE，AC=2DF，∠BAC=∠EDF。∴△ABC

∽△DEF，相似比k=。（1）相似三角形对应中线之比=相似比3.如图，在△ABC

和△DEF

中，G，H

分别是边BC

和EF

的中点，已知AB=2DE，AC=2DF，∠BAC=∠EDF。（1）中线AG

与DH

的比是多少？（2）△ABC

与△DEF

的面积比是多少？解：∵AB=2DE，AC=2DF，∠BAC=∠EDF。∴△ABC

∽△DEF，相似比k=。（2）相似三角形面积比=相似比的平方4.已知：如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF=2AB，BD

和FH

分别是它们的中线，△BDC

与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比。证明：∵△ABC∽△EFG，EF=2AB，又∵BD

和FH

分别是△ABC和△EFG的中线，在△BDC与△FHG中：∴△BDC∽△FHG。相似三角形周长比=相似比C△BDC​∶C△FHG​=1∶2相似三角形面积比=相似比的平方S△BDC​∶S△FHG​=12∶22=1∶45.如图，小亮自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm。他测得蜡烛火焰所成的像约为3cm，蜡烛到纸筒小孔端的距离为10cm。蜡烛火焰大约有多高？问题解决解：设蜡烛火焰的高为x

cm。由小孔成像原理，实物与像组成的两个三角形相似，可得：解得：x=2答：蜡烛火焰大约高2

cm。解：已知∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC。6.如图，在△ABC

中，∠BAC=90°，

AD

是△ABC

的高，DE

是△ACD

的高，图中哪些线段的比等于？由△ACD∽△DCE，得：由△ABC∽△DAC，得：综上：7.一块三角形土地的一边长为120m，在地图上量得它的对应边长为0.06m，这边上的高为0.04m，求这块地的实际面积。这块地的实际面积为8.一只小风筝与一只大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD。已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm。（1）小风筝的面积是多少？解：已知大小风筝相似，相似比=3∶1，小风筝对角线：12

cm、14

cm，AC⊥BD，对角线垂直的四边形面积：S小

=×12×14=84（cm2）（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料（不计损耗）？大风筝对角线长12×3=36

cm，14×3=42

cm支撑架总长：36+42=78

(cm)（3）大风筝要用彩色纸覆盖、而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？包住大风筝的矩形：长=42

cm，宽=36

cmS矩形​=42×36=1512

(cm2)S大风筝​=84×32=756

(cm2)废弃面积：S废​=1512−756=756

(cm2)9.如图，在△ABC

中，D，E

分别是边AB

和AC

上的点，且DE∥BC。（1）若AD∶DB=1∶1，则△ADE

与四边形DBCE

的面积之比等于多少？（2）若△ADE

与四边形DBCE

的面积相等，则DE∶BC，AD∶DB

分别等于多少？联系拓广解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。（1）∵AD∶DB=1∶1，∴AD∶AB=1∶2相似三角形面积比=相似比平方：设S△ADE​=1，则S△ABC​=4，S四边形DBCE​=4−1=3，S△ADE​∶S四边形DBCE​=1∶3（2）∵