18.5.2 列分式方程解决实际问题 教学课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.5.2列分式方程解决实际问题专项练习一、核心知识点梳理1.列分式方程解应用题六步标准流程（考试规范）审、设、列、解、验、答（缺一不可，检验为核心得分点）①审题：找准题目中的已知量、未知量，梳理等量关系，区分工作总量、速度、单价、数量等核心量；②设未知数：一般直接设所求量为$$x$$，单位必须书写完整，必要时间接设元简化计算；③列方程：根据题意中的等量关系，列出分式方程；④解方程：按照分式方程标准解法，化为整式方程求解；⑤双重检验（重中之重）：先检验是否为分式方程的增根，再检验解是否符合实际题意（正数、整数、符合生活逻辑）；⑥作答：规范书写答案，对应单位，完整回应题目问题。2.三大必考核心题型及等量关系（1）工程问题（最高频）核心公式：工作效率=工作总量÷工作时间，常设工作总量为单位“1”等量关系：甲工作效率±乙工作效率=合作/单独效率；总工作量之和=1（2）行程问题核心公式：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度常见场景：提速/减速、顺水逆水、早到/迟到，核心找时间差、速度差等量关系（3）销售价格问题核心公式：单价=总价÷数量，数量=总价÷单价常见场景：涨价、降价、批量购买、单价差异导致数量变化3.分式方程应用题专属要点整式方程应用题只需检验计算正误，分式方程应用题必须双重检验：既要排除增根，也要排除不符合实际的解（如时间、数量、速度不能为负数）。二、重点易错点汇总1.遗漏双重检验：只解方程不检验，或只验方程不验实际意义，直接扣分。2.等量关系找反：时间差、速度差、效率差加减关系混淆，方程列写错误。3.单位不统一：题目中分钟/小时、元/元、千米/米混用，未统一单位就列方程。4.设答不规范：设未知数不带单位，作答漏答、答非所问。5.忽略实际限制：解得小数人数、负数时间等，未主动舍去不合理解。6.工程问题总量误用：未将总工程量设为1，随意赋值导致等量关系混乱。三、基础专项练习（一）选择题（每题4分，共20分）1.某项工程，甲单独完成需要$$x$$天，乙单独完成比甲多3天，则甲乙合作一天的工作效率为（）A.$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3}$$B.$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+3}$$C.$$x+x+3$$D.$$\dfrac{1}{x+x+3}$$2.小明骑自行车去30千米外的某地，速度提升5km/h后，时间缩短1小时，设原速度为$$x$$km/h，列方程正确的是（）A.$$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x+5}=1$$B.$$\dfrac{30}{x+5}-\dfrac{30}{x}=1$$C.$$\dfrac{30}{x}+\dfrac{30}{x+5}=1$$D.$$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x-5}=1$$3.用120元购买笔记本，降价2元后，多买了3本，设原单价为$$x$$元，方程为（）A.$$\dfrac{120}{x-2}-\dfrac{120}{x}=3$$B.$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x-2}=3$$C.$$\dfrac{120}{x+2}-\dfrac{120}{x}=3$$D.$$\dfrac{120}{x}+\dfrac{120}{x-2}=3$$4.分式方程应用题最终必须完成的步骤是（）A.只需解方程B.只需检验增根C.双重检验+规范作答D.直接写答案5.甲做60个零件的时间与乙做40个零件的时间相同，已知甲每小时比乙多做2个，设乙每小时做$$x$$个，方程正确的是（）A.$$\dfrac{60}{x+2}=\dfrac{40}{x}$$B.$$\dfrac{60}{x}=\dfrac{40}{x+2}$$C.$$60(x+2)=40x$$D.$$\dfrac{60}{x}-\dfrac{40}{x}=2$$（二）填空题（每题4分，共20分）1.一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需$$x$$天完成，两人合作1天的工作量为________。2.路程为100千米，原速度为$$x$$km/h，提速2km/h后，行驶时间为________小时。3.总价80元，原单价$$x$$元，涨价1元后，可购买数量比原来少________本。4.解方程得出时间$$x=-2$$，应________（填“保留解”或“舍去无解”）。5.顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=________。（三）解答题（共60分，三大必考题型）1.（20分）工程问题：某项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要$$x$$天，甲乙合作10天可以完成工程的一半，求乙单独完成工程需要的天数。2.（20分）行程问题：A、B两地相距120千米，一辆汽车提速20km/h后，从A到B的行驶时间缩短了1小时，求汽车原来的行驶速度。3.（20分）销售问题：用200元购买签字笔，降价1元后，多购买了10支，求签字笔原来的单价。四、参考答案及详细解析（一）选择题解析1.A解析：甲效率$$\dfrac{1}{x}$$，乙效率$$\dfrac{1}{x+3}$$，合作效率为两者之和。2.A解析：原时间$$\dfrac{30}{x}$$，提速后时间$$\dfrac{30}{x+5}$$，原时间−新时间=缩短时间1小时。3.A解析：降价后单价更低，购买数量更多，新数量−原数量=3。4.C解析：分式方程应用题必须双重检验，排除增根和不合理解，再规范作答。5.A解析：甲每小时$$x+2$$个，甲乙用时相等，$$\dfrac{甲总数量}{甲效率}=\dfrac{乙总数量}{乙效率}$$。（二）填空题解析1.$$\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{x}$$解析：甲乙日效率相加，为合作单日工作量。2.$$\dfrac{100}{x+2}$$解析：时间=路程÷新速度。3.$$\dfrac{80}{x}-\dfrac{80}{x+1}$$解析：原数量减涨价后数量，即为减少的数量。4.舍去无解解析：时间为负数，不符合实际意义，必须舍去，方程无解。5.静水速度−水流速度解析：流水行船基础公式，逆水行驶抵消部分船速。（三）解答题解析1.解：工程问题设乙单独完成工程需要$$x$$天，工作总量为1。甲工作效率：$$\dfrac{1}{20}$$，乙工作效率：$$\dfrac{1}{x}$$根据题意列方程：$$10\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{2}$$化简得：$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{x}=\dfrac{1}{2}$$，解得$$\dfrac{10}{x}=0$$，此方程无解。检验：无符合题意的解，说明该工程条件下，无法满足题干合作要求。答：本题无符合实际的解。2.解：行程问题设汽车原来的速度为$$x$$km/h，则提速后速度为$$(x+20)$$km/h。根据时间差列方程：$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+20}=1$$去分母：$$120(x+20)-120x=x(x+20)$$展开整理：$$120x+2400-120x=x^2+20x$$，即$$x^2+20x-2400=0$$解得：$$x_1=40，x_2=-60$$双重检验：$$x=40$$不是增根，且速度为正数，符合题意；$$x=-60$$为负数，舍去。答：汽车原来的行驶速度为40km/h。3.解：销售问题设签字笔原来的单价为$$x$$元，则降价后单价为$$(x-1)$$元。根据数量差列方程：$$\dfrac{200}{x-1}-\dfrac{200}{x}=10$$去分母：$$200x-200(x-1)=10x(x-1)$$展开整理：$$200=10x^2-10x$$，化简得$$x^2-x-20=0$$解得：$$x_1=5，x_2=-4$$双重检验：$$x=5$$不是增根，单价为正数，符合题意；$$x=-4$$为负数，舍去。答：签字笔原来的单价为5元。课时总结：本节是分式方程的重难点与中考高频考点，核心掌握列分式方程解应用题的六步流程，重点攻克工程、行程、销售三大经典题型。区别于整式方程，双重检验是本题型的得分关键，既要验证方程有效性，也要验证实际合理性。解题核心是找准“差量关系”（时间差、数量差、效率差），准确列出分式方程，规范书写步骤，规避设答不规范、漏检验、符号错误等高频扣分点。人教版数学（新教材）八年级上册18.5.2列分式方程解决实际问题授课教师：.

班

级：8年级（

）班.

时

间：.

2026/9/24

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十八章分式1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.

(重点)2.运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程.(难点)3.通过分式方程的应用过程，培养数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力.知识回顾回顾解分式方程的一般步骤：一去：去分母，方程两边同乘

，把分式方程转化为整式方程；二解：解这个整式方程；三验：将整式方程的解代入

，如果最简公分母的值不为

，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解；四写：写出原分式方程的解.最简公分母0最简公分母新知导入回顾应用整式方程解实际问题的步骤：实际问题审题设未知数列出方程检验解的合理性解方程找等量关系那么如何运用分式方程解决实际问题呢？探究新知两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？工程问题：工作总量=工作效率×工作时间工作时间(月)工作效率工作总量(1)甲单独两队合作1设乙单独完成这项工程需要x个月.探究新知你能找出题中的等量关系吗？甲队施工1个月的工程量+甲队施工半个月的工程量+乙队施工半个月的工程量=总工程量（记为1）.探究新知解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得方程两边同时乘以6x，得2x+x+3=6x.解得x=1.检验：当x=1时，6x≠0.所以原分式方程的解为x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.

D

返回

区间段4888320返回归纳总结未知数

审设列解验答设：_______解：_______列：_________检验:1.__________________；2.______________分式方程解决实际问题的基本过程：分式方程

分式方程

是否是分式方程的解是否符合题意探究新知某次列车平均提速

vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶

skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？

行程问题：路程=速度×时间路程(km)速度(km/h)时间(h)提速后提速前s+50sx+vx探究新知你能找出题中的等量关系吗？提速后的行驶时间=提速前的行驶时间

某次列车平均提速

vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶

skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？

探究新知方程两边乘x(x+v)，得x(s+50)=

s(x+v)，解得：解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为

h；提速后列车的平均速度为(x+v)km/h，提速后它行驶(s+50)km所用时间为

h.根据行驶时间的等量关系，得检验：由v，s都是正数，当

时，x(x+v)≠0.所以，原分式方程的解为，答：提速前列车的平均速度为km/h.当堂练习QINGJINGYINRU1.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(

)A当堂练习QINGJINGYINRU2.欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得7个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（

）A当堂练习QINGJINGYINRU3.随着快递业务的发展，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为(

)D当堂练习QINGJINGYINRU4.《九章算术》中有一道关