大学数字逻辑《逻辑代数基础》课程讲义课件

数字逻辑课程逻辑代数基础数字逻辑课程核心章节·从布尔代数到逻辑函数化简汇报人课程组日期2026年课程导览01逻辑代数入门数字信号、逻辑变量与三种基本运算02公理定理与规则基本定律、常用公式与三条重要规则03逻辑函数表示法五种表示方法及其相互转换04公式化简法并项、吸收、消去、配项四大技巧05卡诺图化简法最小项、画圈规则与最简与或式06化简拓展与展望无关项处理、机器化简与学习路径SECTION01逻辑代数入门从0和1出发，认识数字电路的数学语言数字信号、逻辑变量与三种基本运算从模拟世界走向数字世界数字电路的语言，是0和1模拟信号与数字信号的分野，在于时间与幅值是否连续01模拟信号时间和幅值均连续变化温度：随时间连续变化水位：幅值连续可读电压：连续取值无间断02数字信号时间和幅值都离散取值取值离散：只在离散时刻取样幅值离散：只有有限个取值用0和1表示：两种状态编码逻辑变量的取值只有0和1与普通代数不同，逻辑常量没有大小概念，仅代表两种对立状态逻辑变量只有

0

和

1

两种取值，1

表示真、0

表示假逻辑代数的别称2项布尔代数由乔治·布尔奠定开关代数适配开关电路物理对应关系4项开关通断电平高低信号有无晶体管导通与截止三种基本逻辑运算一切复杂逻辑都由这三种运算组合而成三种运算分别对应与门、或门、非门与运算因果逻辑多个条件同时具备事件才发生表达式F=A·B别名逻辑乘或运算因果逻辑多个条件中只要一个成立事件便发生表达式F=A+B别名逻辑加非运算因果逻辑事件发生取决于条件的否定表达式F=A'别名逻辑反复合逻辑运算与常用门电路在基本运算基础上延伸复合运算，重点说明异或与同或的逻辑规则复合逻辑运算由基本运算组合而成，异或与同或的取值规则互为对照，是理解门电路逻辑的关键。与非运算与运算后取反或非运算或运算后取反与或非运算与或组合后取反异或A异或B相异为1、相同为0同或A同或B相同为1、相异为0复合运算对应复合门电路，是构成复杂数字系统的基本单元SECTION02公理定理与规则掌握运算规律，才能驾驭逻辑表达式基本定律、常用公式与三条重要规则逻辑代数的公理系统公理系统满足一致性、独立性与完备性交换律A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)乘法同理分配律A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)0-1律A+0=A，A·1=AA+1=1，A·0=0互补律A+非A=1A·非A=0基本定律与常用公式重叠律基本定律A+A=AA·A=A还原律基本定律变量两次取反后还原为原变量。吸收律基本定律A+AB=AA(A+B)=A摩根定律基本定律(AB)'=A'+B'(A+B)'=A'·B'吸收项法消因子法合并项法配项法消去冗余项法摩根定律是变换的利器与变或、或变与，变量取反摩根定律是变换的利器定律表达式A乘B整体的取反等于

A非

加

B非A加B整体的取反等于

A非

乘

B非工具定位与记忆是进行

表达式变换与化简

的强力工具记忆要点：运算符号互换，参与变量取反三条重要规则三条规则是推导新公式、变换表达式的重要依据代入、反演、对偶：逻辑代数的三条变换规则代入规则等式中某变量全部用另一个逻辑函数代替，等式仍然成立反演规则运算符号互换、常量0与1互换、变量取反，得到原函数的反函数，不改变运算顺序对偶规则运算符号互换、常量0与1互换、变量保持不变，得到对偶式代入规则等式中某变量全部用另一个逻辑函数代替，等式仍然成立反演规则运算符号互换、常量0与1互换、变量取反，得到原函数的反函数，不改变运算顺序SECTION03逻辑函数表示法同一逻辑关系，可以有多种表达形式真值表、逻辑式、逻辑图、波形图与卡诺图逻辑函数的定义与相等若输出变量与一组输入变量存在确定对应关系，则称其为逻辑函数关系函数记法F=f(A₁,A₂,…,Aₙ)输出变量

F

与一组输入变量

A₁…Aₙ

构成函数关系取值约束0或1自变量与函数值均只能取0或1相等判定值全同对任何一组取值，两个函数的值都相同真值表列出所有取值组合真值表列出输入变量所有取值组合及对应输出函数值真值表用二进制递增的方式，把输入变量的每一种取值组合与对应输出函数值逐行对应起来。递增列举按n位二进制递增顺序列举，避免遗漏或重复从全0到全1逐行推进，保证不漏不重每一行对应一种输入取值组合16种组合四变量函数共含

16种取值组合从全0递增到全1，覆盖全部取值组合数量由变量个数决定逐项填入逐个求出每种组合对应的输出值并填入表中输出函数值随输入组合逐一确定填满所有行后得到完整真值表真值表直观明了，是逻辑设计的基础由真值表写逻辑函数式1第一步找出为1的项枚举找出函数值为

1

的所有项2第二步构成乘积项取原/反变量取值为

1

的变量用原变量表示取值为

0

的变量用反变量表示3第三步相加求和求和将所有乘积项相加示例：三变量函数在取值

全0

和

全1

时为1，则结果为

A非B非C非+ABC逻辑图与波形图逻辑图定义由逻辑符号及连线构成，表示变量间的逻辑关系。绘制要点由逻辑式画逻辑图：将各级逻辑运算用相应的逻辑门实现。波形图定义把输入与输出关系按时间顺序依次排列。绘制要点高电平记为

1，低电平记为

0。五种表示方法可相互转换各法优劣互补：真值表直观、逻辑式便于运算、卡诺图利于化简。真值表01直观列出输入输出关系逻辑函数式02便于代数运算与化简逻辑图03直观反映电路结构波形图04展示时序变化关系卡诺图05利于图形化化简主要转换路径真值表

逻辑式：按函数值为

1

的项组合乘积项逻辑式

逻辑图：用逻辑门实现各级运算逻辑式

卡诺图：将最小项填入对应方格SECTION04公式化简法用代数变换，把复杂表达式化繁为简并项、吸收、消去与配项四大技巧化简的意义与最简标准化简的终点，是以更少的门实现相同的逻辑最简与-或式标准：与项数最少，且每个与项中变量数最少变换路径：先化简为最简与或式，再变换为其他需要的表达形式化简目的：以较少的门电路实现电路，降低硬件成本化简目的以较少的门电路实现电路降低硬件成本五种表达形式与-或与非-与非或-与或非-或非与或非代数化简的四大技巧并并项法公式AB+A̅B=A利用

AB+A̅B=A，消去互补变量，合并两项为一项吸吸收法公式A+AB=A利用

A+AB=A，消去多余项消消去法公式A+A̅B=A+B利用

A+A̅B=A+B，消去多余因子配配项法公式A=A(B+B̅)利用

A=A(B+B̅)，增加必要乘积项后再化简SECTION05卡诺图化简法图形化化简，直观高效不易出错最小项、卡诺图绘制与画圈规则最小项的概念与编号示例：三变量中

A非B非C非

对应

000

，编号为

m0包含全部变量的乘积项，每个变量以原变量或反变量形式只出现一次1步骤01确定变量取值原变量记

1反变量记

02步骤02排列成二进制数各变量按顺序排列依次排列组合成二进制数3步骤03得出最小项下标对应十进制数即为最小项下标最小项的基本性质任一最小项，只有一组变量取值使其为1，其余取值均使其为0性质一取值唯一任一最小项，只有一组变量取值使其为1，其余取值均使其为0性质二取值互异不同的最小项，使其为1的那组取值也各不相同性质三全体之和恒为1对变量的任一组取值，全体最小项之和恒为1相邻最小项合并规则：消去一个变量卡诺图的结构与绘制相邻方格对应的最小项仅有一个变量不同，这是图形化简的基础核心结构n变量卡诺图由2的n次方个小方格组成，每格代表一个最小项行、列变量的坐标值按格雷码排列，即00、01、11、10相邻方格对应的最小项仅有一个变量不同，这是图形化简的基础四变量布局共16格，行取AB、列取CD，均按00、01、11、10展开每格以最小项编号标注，m0至m15依次填入卡诺图的相邻性与化简依据几何相邻的方格在逻辑上也相邻，相邻范围包括边缘与四角化简的本质：寻找并合并逻辑相邻项，留同去异2个相邻1格消去1个变量4个相邻1格消去2个变量8个相邻1格消去3个变量卡诺图化简的画圈规则核心规则2的幂每个圈内1的个数必须是2的幂，即8、4、2、1最大最简圈要尽可能大，圈的数量要尽可能少唯一覆盖每个圈至少包含一个尚未被圈过的1结果求和各圈对应乘积项之和即为最简结果01操作顺序先看能否圈

8

个，再看

4

个、2

个，直至单个842102结果说明各圈对应乘积项之和即为最简结果卡诺图化简的步骤1转换将逻辑函数转换为最小项表达式。→2填格在对应最小项方格填入1，其余填0或留空。→3画圈按画圈规则合并相邻的1。→4写出各圈对应乘积项相加，得到最简与或式。同一卡诺图的画圈方式可能不唯一，化简结果也可能不唯一SECTION06化简拓展与展望化简不止于手工，更通向自动化设计无关项处理、机器化简与学习路径无关项的处理类型含义卡诺图表示化简作用约束项变量间存在约束关系，某些取值组合不可能出现X取值组合不会发生任意项某些取值组合下输出为任意值X输出值不作要求无关项由约束项与任意项组成，是卡诺图化简的重要扩展XX可视为0或1画圈时X可视为

0

或

1，以圈数最多、圈最大为原则。圈数最多、圈最大机器化简法与课程展望“逻辑代数是组合逻辑、时序逻辑与数字系统设计的共同基础。”从手工化简过渡到机器化简