河南南阳市第一中学校2026-2027学年高一上学期九月月考数学试卷（含解析）

南阳一中2029届高一九月月考数学试卷一、单选题1.已知集合内的元素个数为2，则（）A.0或1 B.1或2 C.0或4 D.1或8【答案】C【解析】【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可.【详解】当时，因为，所以，不符合题意；当时，此时，符合题意；当时，由，得或，因为集合内的元素个数为2，所以，则，即.综上，或4.2.若集合内的元素个数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】若，则，不符合题意；若，则，所以集合中的元素为、、、、，故集合中的元素个数为，解得，符合题意.综上所述，.3.高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人．同时参加集体项目和田径比赛的有3人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（）人A.12 B.13 C.14 D.15【答案】A【解析】【详解】设集合，集合，集合，由题意得，，，，，，，，由三集合的容斥公式得，，即，解得，，又因为，即只参加集体项目比赛的同学有9人，所以，即同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有12人.4.设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐项判断.【详解】对于选项A，当时，满足，但命题不成立；即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立，所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误；对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立.即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立，由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立，所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误；不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误；对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾，所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立，若命题“，中至少有一个数大于”成立，例如，此时，此时不成立，故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出，所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件.5.使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得.【详解】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，所以.所以的一个必要不充分条件.故选：A6.已知正实数，满足，则的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】正实数，满足，则有

，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.7.若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（

）A. B. C.1或-1 D.4【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，且，解得，因为，所以，解得或（舍去）.所以实数的值为.8.已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（）A.为单元素集 B.为有限集，但不是单元素集C.为无限集，且有下界 D.为无限集，且无下界【答案】D【解析】【分析】利用立方和因式分解公式拆分条件，分两类讨论，得到可取全体实数，判断集合的性质.【详解】因为，，所以令，原式：，所以或，当，则，因为，所以；当，得，得，所以，所以，则，综上，．二、多选题9.下列命题中，正确的是（）A.“至少有一个x，使成立”是全称量词命题B.命题“，”的否定是“，”C.“，”是真命题D.“”是“”的必要不充分条件【答案】BD【解析】【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解.【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误；命题“，”的否定是“，”，B选项正确；当时，，，，C选项错误；对于D，若，不妨取，则不成立，若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确；10.若正实数，满足，则（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最小值为1D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式可判断A、B；利用二次函数的性质可判断C、D．【详解】对于A，由于，当且仅当时等号成立，因此的最大值为，故A正确；对于B，由于，当且仅当时等号成立，因此的最小值为9，故B错误；对于C，由于，当且仅当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确；对于D，由于，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故D正确．11.对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确.【详解】依题意可得且，当时，可得，即A正确；同时，所以B正确；结合A选项可得，即C错误；易知，又，所以，即D正确.故选：ABD三、填空题12.已知，则的最小值为______．【答案】3【解析】【详解】因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.13.已知，，若，则实数的取值集合是_______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的性质以及交集的含义计算即可.【详解】根据题意，当时，，解得，此时符合题意；当时，；当时，，此时符合题意；当时，，此时，不符合题意；当时，或，要使得，则由于抛物线开口向上，经过定点，所以为了满足题意，对称轴，解得，所以其解集为；综上，实数的取值集合是.14.设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点．设，则的最大面积是_______，此时的值为_______．【答案】①.②.【解析】【分析】先确定折叠后的三角形关系，然后利用勾股定理求解，然后计算的面积.【详解】如图，由矩形的周长为，，可知，设，则.因为，所以，所以.在中，由勾股定理得，即，解得，所以.所以的面积为.易知.当且仅当时，的面积最大，面积的最大值为.四、解答题（）15.完成下列证明：（1）已知，，都是正数，求证：；（2）已知，，．求证：．【答案】（1），当且仅当“”时取“=”；（2）因为，，所以，当且仅当时取等号，解得；于是得，所以成立．【解析】【小问1详解】略【小问2详解】略16.已知集合，．（1）若是的子集，求实数的值；（2）若是的子集，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值；（2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解.【小问1详解】由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集，若是的子集，则，所以，解得.【小问2详解】①若为空集，则，解得；②若中只有一个元素，则，解得，把代入集合得，符合要求；③若中有两个元素，则，则由（1）可知；综上所述，实数的取值范围为．17.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】若，则，得；若，则，因为，所以或，得或，则，综上，实数的取值范围为；【小问2详解】因为，所以，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，则，且等号不同时成立，得，故实数的取值范围为.18.随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）.（1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；（2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）.【答案】（1）不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为，所需总电量为，因为kW·h，当且仅当km/h时取等号，因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地.（2）【解析】【分析】（1）由题可得出所需总电量为，再结合基本不等式即可求解；设行驶时间为，充电时间为，总时间，结合题意可得，再利用基本不等式即可求解.【小问1详解】略.【小问2详解】设行驶时间为，充电时间为，总时间，则可得，即，则，所以，当且仅当时取等号，所以最少时间为.19.已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；（1）当时，设，，写出，并计算；（2）若集合满足，且，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；（3）若，且，任取，求的值