人教版数学九年级上册 25.2.1 第1课时 直接开方法 学案 含答案

2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】第25章一元二次方程25.2降次—解一元二次方程25.2.1第1课时直接开方法【学习目标】学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.学习重点：运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.学习难点：会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.【情境导入】一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？【复习导入】1.如果x2=a，那么x叫做a的.2.如果x2=a(a≥0)，那么x=.3.任何数都可以作为被开方数吗？【合作探究】探究点1：直接开平方法解形如x²=p的方程试一试解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.探究归纳：一般的，对于可化为x2=p(I)的方程，(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，；(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根；(3)当p<0时，因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.典例精析例1利用直接开平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)4x2-3=0；方法总结：通过移项把方程化为x2=p的形式，然后直接开平方即可求解练一练1.解下列方程.(1)x2-900=0.(2)2x2-120=0；探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程探究：对照上面解方程x2=4的过程，你认为怎样解方程(x+3)2=5？解题归纳：上面的解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.例2解下列方程：（1）(x＋1)2=9；（2）(x－1)2－4=0；练一练2.解下列方程：（1）12(3－2x)2－3=0.3.解方程：(2x+3)2=(3x+2)2.探究交流1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.当堂反馈1.用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是()A.x2＋3＝0 B.－2x2＝0 C.x2－4＝0 D.(x－2)2＝02.方程x2＝36的解是()A.x＝6 B.x＝－6 C.x1＝9，x2＝4 D.x1＝6，x2＝－63.若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围是()A.a≤0 B.a≥0 C.a＞0 D.无法确定4.方程(x－2)2＝16的解是.5.解下列方程：(1)25(x－3)2－9＝0；书写通关解：方程整理得()2＝.开平方得，或.解得x1＝，x2＝.(2)(2x＋3)2＝7；(3)t2＋4t＋4＝4；(4)(3x－1)2＝(2x＋3)2.参考答案一、知识链接1.平方根2.±3.±84.负数不可以作为被开方数.课堂探究二、要点探究探究点1：直接开平方法解形如x2=p的方程试一试(1)解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=－2.(2)解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.(3)解：移项，得x2=－1，因为负数没有平方根，所以原方程无解.典例精析例1解：(1)x2=6，直接开平方，得，∴.(2)移项，并将二次项系数化为1，得，由此可得∴.练一练1.(1)解：移项，得x2=900.由此可得x=±30.∴x1=30，x2=-30.(2)移项，得2x2=120.系数化为1，得x2=60.由此可得x=即探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程探究交流在解方程x2=25时，由直接开平方法得x=±5.由此想到，由(x+3)2=5，①得∴，或.于是，方程(x+3)2=5的两个根为.例2解：(1)移项，得(x＋2)2=9.由此可得x＋2=±3，x＋2=3，或x＋2=－3，即x1=1，x2=-5.(2)移项，得(x－1)2=4.∵x－1是4的平方根，∴.即.练一练2.(1)移项，得12(3－2x)2=3，两边都除以12，得(3－2x)2=0.25.∵3－2x是0.25的平方根，∴.即，或.∴.解：方程的两根为.3.解：开方，得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2，解得x1=1，x2=-1.探讨交流如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2=p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2+2x－3=0当堂反馈1.A2.D3.B4.x1＝6，x2＝－2.5.(1)书写通关解