经济数学微积分（第4版）课件 第2章一元函数微分学

第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用经济数学微积分（第4版）10本章内容总结与典型题型本讲内容310

内容总结与典型题型第二章内容总结第二章导数微分导数的应用410

内容总结与典型题型导数导数的概念导数的运算定义几何意义过点的切线的斜率四则运算法则复合函数的求导法则隐函数的求导对数求导法可导与连续的关系可导连续高阶导数方程两边同时对自变量求导方程两边取自然对数导数的经济应用边际弹性510

内容总结与典型题型微分微分的概念微分在近似计算中的作用定义可微与可导的关系可微可导微分的运算610

内容总结与典型题型导数的应用中值定理函数的性态罗尔定理柯西中值定理函数的单调性函数单调性的判定，函数的凹凸性函数凹凸性的判定，条件和结论拉格朗日中值定理洛必达法则0/0,∞/∞型未定式的极限其他未定式的极限函数极值存在的必要条件和充分条件曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线极限表示函数的最值710

内容总结与典型题型第二章典型题型📚例1解一、利用导数的定义求极限的值若试计算810

内容总结与典型题型📚例2解二、利用导数的定义求分段函数的导数求函数的导数.故f(x)在x=0处不可导.注意：对于分段函数分段点的导数一定要用定义求.910

内容总结与典型题型三、讨论函数在定点的连续性与可导性

设在x=-1，x=0处的连续性与可导性.因为左右极限相等且都等于f(-1)，故f(x)在x=-1处连续.因为左右导数不相等，故f(x)在x=-1处不可导.📚例3解1010

内容总结与典型题型因为左右极限相等且都等于f(0)，故f(x)在x=0处连续.因为左右导数不相等，故f(x)在x=0处不可导.不存在1110

内容总结与典型题型四、由隐函数求导数或微分求曲线处的切线方程与法线方程.方程两边对x求导，得解得切线方程：法线方程：📚例4解1210

内容总结与典型题型设，求dy.方程两边对x求导，得即化简得解得故📚例5解1310

内容总结与典型题型五、利用洛必达法则求极限求极限.求极限.📚例6解📚例7解1410

内容总结与典型题型六、利用拉格朗日中值定理证明不等式证明.设f(x)=lnx，在上满足拉格朗日中值定理，得📚例8证1510

内容总结与典型题型七、利用函数的单调性证明不等式证明：.设∴f(x)，g(x)在(0,+∞)上均单调递增📚例9证1610

内容总结与典型题型八、研究函数的性态（单调性、凹凸性、极值、拐点）研究函数单调性、凹凸性、极值、拐点.以-1,1,3将定义域分为四个区间，列表讨论极大值

3极小值

-61拐点（1,-29）📚例10解17九、求曲线的渐近线求曲线的渐近线.由于该函数没有无穷间断点，故曲线无垂直渐近线；故曲线无水平渐近线；∴曲线有两条斜渐近线📚例11解18十、导数的经济应用设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本20元/件，价格函数已知产销平衡，求(1)该商品的边际利润；(2)当Q=50时的边际利润，并解释其经济意义;(3)使得利润最大的定价P.(1)(2)表示当销量为50时，再多销售1件，利润将增加39.9元(3)由于驻点唯一，且利润最大存在，故极大值点即为最大值点，利润最大时的定价为40元.📚例11解数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用02导数的运算法则本讲内容掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则.学习要求：一、导数的四则运算法则二、复合函数的求导法则三、小结2202

导数的运算法则一、导数的四则运算法则📖定理2302

导数的运算法则(3)证(1)、(2)略.证2402

导数的运算法则2502

导数的运算法则求的导数.设，求📚例3解📚例1解📚例2解2602

导数的运算法则同理可得📚例4解2702

导数的运算法则同理可得📚例5解📚例6解2802

导数的运算法则注意：分段函数分界点处的导数要用定义或左右导数来求.2902

导数的运算法则二、复合函数的求导法则

假设某钢棒的长度L（单位：cm）取决于气温H（单位：℃），而气温H又取决于时间（单位：h），如果气温每升高１℃，钢棒长度增加２cm，每隔１小时，气温上升３℃，问钢棒长度关于时间的增加有多快？分析：钢棒长度关于气温增加的速度气温关于时间增加的速度钢棒长度关于时间增加的速度3002

导数的运算法则即

复合函数中因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量导数.(俗称链式法则)这里L与H、t之间构成一个复合函数有如果函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在点u=φ(x)处可导，那么复合函数y=f[φ(x)]在x处可导，且有或3102

导数的运算法则由函数y=f(u)在点u=φ(x)处可导给x以增量△x,u,y的相应增量为△u,△y当△u≠0时，当△u=0时，也成立证3202

导数的运算法则📖推广📚例7解3302

导数的运算法则求的导数.📚例8解📚例9解3402

导数的运算法则📚例10解📚例11解35小结：2.2

导数的运算法则2、复合函数的求导法则1、导数的四则运算法则复合函数中因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量导数.(链式法则)数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用03特殊形式函数的求导本讲内容掌握隐函数的求导方法、对数求导法,了解反函数的求导法则；熟练掌握基本初等函数的求导公式；了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.学习要求：三、基本求导法则与求导公式五、小结一、隐函数的求导方法二、对数求导法四、高阶导数3903

特殊形式函数的求导一、隐函数的导数隐函数的显化隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导方法：把y看成x的函数，利用复合函数求导法则直接在方程两边对x求导.由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.y=f(x)称为显函数.📖问题4003

特殊形式函数的求导解得📚例1解4103

特殊形式函数的求导所求切线方程为显然通过原点.📚例2解4203

特殊形式函数的求导求由方程所确定的隐函数的导数.解得📚例3解同理可得方程两边同时对x求导即📚例4解4303

特殊形式函数的求导特别地方程两边同时对x求导即📚例5解4403

特殊形式函数的求导（反函数的求导法则）如果函数x=φ(y)在区间Iy内可导，且φ'(y)≠0,那么其反函数y=f(x)在相应的区间Ix内可导，且或在方程x=φ(y)两边对x求导，得1=φ'(y)·y'又φ'(y)≠0，故有📖定理证4503

特殊形式函数的求导二、对数求导法观察函数方法:

先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——对数求导法适用范围:4603

特殊形式函数的求导等式两边取对数得📚例6解4703

特殊形式函数的求导等式两边取对数得📚例7解4803

特殊形式函数的求导求（α为任意实数）的导数.

两边取对数两边对x同时求导得📚例8解4903

特殊形式函数的求导三、基本求导法则与求导公式1.基本初等函数的导数公式5003

特殊形式函数的求导2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则4.反函数的求导法则函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导，且φ'(y)≠0,设u(x),v(x)可导，则(1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)(2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)(3)5103

特殊形式函数的求导四、高阶导数如何求变速直线运动的加速度？

如果y=f(x)的导数f'(x)仍是x的函数，且f'(x)在x处可导,那么称f'(x)的导数为y=f(x)的二阶导数.📖问题📖定义5203

特殊形式函数的求导记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,5303

特殊形式函数的求导1、由高阶导数的定义逐阶求需要的高阶导数.📚例9解5403

特殊形式函数的求导📚例10解5503

特殊形式函数的求导注意:

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(一般可用数学归纳法证明)📚例11解5603

特殊形式函数的求导同理可得📚例12解5703

特殊形式函数的求导常用高阶导数公式2、利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.58📚例13解59设由方程确定的隐函数求方程两边对x求导得将代入，得📚例14解03

特殊形式函数的求导60小结：2.3

特殊形式函数的导数1、隐函数求导法则:直接对方程两边求导;2、对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;4、高阶导数3、反函数的求导法则.函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导，且φ'(y)≠0,逐阶求、找规律、四则运算、变量代换等方法数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用04导数在经济学中的简单应用本讲内容理解边际、弹性的概念及其经济意义；会计算经济函数的边际和弹性；会对经济函数进行边际分析和弹性分析.学习要求：一、边际与边际分析三、小结二、弹性与弹性分析6404

导数在经济学中的简单应用一、边际与边际分析设经济函数y=f(x)可导，反映一个经济变量y相对于另一个经济变量x的变化率，即称为经济变量y的边际（边际函数）.是平均意义上的边际.是在x处的边际，由导数的定义有📖定义6504

导数在经济学中的简单应用试求函数y=x2在x=5时的边际函数值并解释其经济意义．经济意义：在x0点处，当x产生一个单位的改变时，y近似改变f'(x0)个单位．f'(x)在x0处的值f'(x0)称为边际函数值.经济意义：当x=5时，x增加（或减少）1个单位，y增加(或减少）10个单位．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．📚例1解6604

导数在经济学中的简单应用解释下列边际函数值或函数值的实际意义(1)表示该物体在下一秒的运动中大约运动10m.（2）表示采第2001吨追加的成本是100元.（3）f(250)=180表示投入250元的广告费用时，预定份数位180份;

f'(250)=2表示投入250元的广告费用时，再增加1元，预定份数将增加2份.📚例26704

导数在经济学中的简单应用1.边际成本2.边际收益常用的边际函数总成本函数TC=TC(Q)对产量Q的导数称为边际成本（函数）.总收益函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称为边际收益（函数）.6804

导数在经济学中的简单应用3.边际利润总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为边际收益（函数）.由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以即边际利润为边际收益与边际成本之差.6904

导数在经济学中的简单应用边际利润的情形分析>0,表示再销售1个单位产品，总利润的增加量.=0,表示再销售1个单位产品，总利润不再增加.<0,表示再销售1个单位产品,总利润的减少量.7004

导数在经济学中的简单应用(1)生产900个单位时的总成本为设某产品生产单位的总成本为，求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本；(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；(3)生产900个单位的边际成本，并解释其经济意义.📚例3解7104

导数在经济学中的简单应用平均成本为（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为7204

导数在经济学中的简单应用某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为其中Q为需求量,P为价格，且最大需求量为6，求该商品的收益函数和边际收益函数.收益函数边际收益函数📚例4解7304

导数在经济学中的简单应用某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分析后，得出总利润(元)与每月产量(吨)的关系为π(Q)=250Q-5Q2,试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润，并做出经济解释．表示当生产量为每月20吨时，再增加1吨，利润将增加50元，📚例5解7404

导数在经济学中的简单应用以上说明，对厂家来说，并非生产的产品越多利润越高.表示当产量为每月25吨时，再增加1吨，利润不变；当产量为35吨时,再增加1吨,利润将减少100元．7504

导数在经济学中的简单应用4.边际需求经济意义:当价格为4时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.某商品的需求函数为Q(P)=75-P2，求P=4时的边际需求，并说明经济意义．📚例6解7604

导数在经济学中的简单应用1.弹性的定义二、弹性与弹性分析📖定义7704

导数在经济学中的简单应用

记作弹性所反映的就是自变量变化1%，因变量变化？%7804

导数在经济学中的简单应用

函数的弹性函数Ex反映的是自变量与因变量之间的相对变化率，与任何度量单位无关.如果函数y=f(x)在区间(a,b)上可导，且f(x)≠0，那么称为函数y=f(x)在区间(a,b)上的点弹性函数，简称弹性函数.📖定义7904

导数在经济学中的简单应用（1）需求价格弹性

需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为2、弹性分析注意：因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，常取其绝对值.高弹性低弹性单位弹性80求函数的弹性.📚例7解📚例8解8104

导数在经济学中的简单应用(2)需求弹性与总收益（当很小时）的关系当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.当需求价格弹性等于1时，当价格变化时，总收益不变．即8204

导数在经济学中的简单应用某商品的需求量Q关于价格P的函数为

Q=50-5P求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其经济意义以及相应增加销售收益的策略.📚例9解8304

导数在经济学中的简单应用P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25%P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1%P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%经济意义：销售策略：当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益8404

导数在经济学中的简单应用3.供给弹性设某产品的供给函数，求供给弹性函数及的供给弹性.📚例10解8504

导数在经济学中的简单应用4.收益弹性86小结：2.4

导数在经济学中的简单应用边际的基本概念1、边际成本MC=TC'2、边际收益MR=TR'3、边际利润π'=

MC-MR4、边际需求弹性的基本概念1、需求弹性2、供给弹性3、收益弹性边际函数的计算弹性函数的计算数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用05函数的微分本讲内容理解微分的概念、微分的几何意义、导数与微分的关系；掌握微分的运算法则和公式；会用微分进行简单的近似计算.学习要求：一、微分的概念二、微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则五、小结三、微分在近似计算中的应用9005

函数的微分一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.9105

函数的微分再例如,既容易计算又是较好的近似值

对于一般的函数y=f(x),能否用△x的线性函数近似代替△y？📖问题9205

函数的微分

设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，x0+△x在该邻域内，如果函数的增量△y可以表示为△y=A△x+o(△x)其中A是与△x无关的常数，则称函数y=f(x)在点x0处可微，并且称A△x为函数y=f(x)相应于自变量的增量△x的微分，记为,即

A究竟是一个怎样的常数？什么样的函数是可微的？📖问题📖定义9305

函数的微分一方面，设函数y=f(x)在x0点可微，则有△y=A△x+o(△x)两边同除以△x（△x≠0）当△x→0时，即，如果函数y=f(x)在x0点可微，则函数y=f(x)在x0点可导.9405

函数的微分另一方面，设函数y=f(x)在点x0处可导，则有根据极限与无穷小的关系，有于是得，由微分的定义可知，函数y=f(x)在点x0处可微.即，如果函数y=f(x)在x0点可导，则函数y=f(x)在x0点可微.9505

函数的微分

如果函数y=f(x)在区间I内的每一点处都可导，那么f(x)在区间I内任意点x的微分，就称为函数的微分，记为dy或df(x)，即

函数y=f(x)在x0点可微的充分必要条件是函数y=f(x)在x0点可导，且可导可微简单地说，即📖定理📖定义9605

函数的微分特别，当y=x时，dy=dx=△x，即dx=△x，故在两边同除以dx,得表明：函数的微分与自变量的微分之商等于函数的导数.因此，导数又称微商.9705

函数的微分

设函数求求增量.📚例2解📚例1解9805

函数的微分二、微分的几何意义MNT）几何意义:(如图)

P

此即所谓“以直代曲”9905

函数的微分三、微分在近似计算中的应用1、求函数在x0处增量的近似值2、求函数在x处函数值的近似值10005

函数的微分x0=0常用近似公式证明10105

函数的微分半径10厘米的金属圆片加热后，半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？📚例3解10205

函数的微分📚例4解10305

函数的微分

计算的近似值设设📚例5解1解210405

函数的微分📚例6解10505

函数的微分四、基本初等函数的微分公式

与微分运算法则1.基本初等函数的微分公式10605

函数的微分2.函数和、差、积、商的微分法则10705

函数的微分（微分形式的不变性）3.复合函数的微分法则

设函数y=f(u),u=φ(x)都可微，则复合函数y=f[φ(x)]的微分为而函数y=f(u),u为自变量，函数的微分

无论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分形式总是不变的📖结论10805

函数的微分📚例7解📚例8解10905

函数的微分📚例9解📚例10解11005

函数的微分在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.📚例11解111小结：2.5

函数的微分微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的数学,称为微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★2.5

函数的微分利用微分进行近似计算的基本公式★★函数微分的计算2.5

函数的微分114思考题05

函数的微分数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用06微分中值定理本讲内容理解罗尔定理、拉格朗日中值定理,会用罗尔定理、拉格朗日中值定理解决相关问题.了解柯西中值定理.学习要求：一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理四、小结三、柯西中值定理11806

微分中值定理一、罗尔定理使

如果函数y=f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,

(3)f(a)=f(b)则至少存在一点ξ∈(a,b),使得函数在该点的导数等于零，即

f'(ξ)=0

📖定理📚例111906

微分中值定理几何解释:AB如果在闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)上每一点（除端点外）处都有不垂直于x轴的切线，且两个端点A、B的纵坐标相等，那么曲线y=f(x)上至少存在一点C，使曲线在C处的切线与x轴平行，即导数为0.12006

微分中值定理例如,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立，也可能成立.定理中的条件是充分非必要的.但f(-1)≠f(2)，虽不满足罗尔定理的部分条件，但也有f'(0)=0.例如,f(x)=x2在[-1,2]上连续，在(-1,2)内可导，12106

微分中值定理证明方程x3+x-1=0有且只有一个小于1的正实根.有——存在性，只有一个——唯一性(1)设f(x)=x3+x-1，f(x)在[0,1]上连续，f(0)=-1,f(1)=1，由零点定理，在(0,1)内至少存在x1,使f(x1)=0,即x1为小于1的正根.(2)用反证法.假设x2∈(0,1),x2≠x1,f(x2)=0易验证，f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上满足罗尔定理.则在该闭区间上存在ξ使f'(ξ)=0,而f'(x)=3x2+1>0,矛盾因此，f(x)在(0,1)上不可能有两个不相等的实根.综上，命题得证.📚例2证明12206

微分中值定理二、拉格朗日中值定理

如果函数y=f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得例如,在[0,3]上连续，在(0,3)内可导在x=3/2处，恰有f'(3/2)=[f(3)-f(0)]/3=1📖定理12306

微分中值定理几何解释:思路分析:弦AB方程为12406

微分中值定理作辅助函数注意:(1)式表明，闭区间上的平均变化率一定等于区间内某点的瞬时变化率，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.(1)(2)拉格朗日中值公式

(2)式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.F(x)满足罗尔定理的条件证明12506

微分中值定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.由于其在微分学中的重要地位，也称为微分中值定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.12606

微分中值定理若则由推论1，如果函数f(x)在区间I上的导数恒等于0，那么f(x)在区间I上为常数，即f(x)=C(C为常数).📖推论1📖推论212706

微分中值定理又f(x)在x=±1处连续，f(±1)📚例3证12806

微分中值定理证明时，

设则至少存在一点使得即满足微分中值定理的条件.在[0,x]上，f(x)（本题还可以利用函数的单调性证明）📚例4证12906

微分中值定理思考：本题的闭区间的选择有无其他方案？📚例5证13006

微分中值定理三、柯西中值定理

如果函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g'(x)≠0，那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得当g(x)=x时，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理.柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.📖定理13106

微分中值定理几何解释:作辅助函数证*13206

微分中值定理133小结：2.6

微分中值定理Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理(1)罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；(2)注意定理成立的条件；(3)注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用07洛必达法则本讲内容会用洛必达法则求未定式.学习要求：一、型、型未定式二、其他类型未定式三、小结13707

洛必达法则例如,一、型、型未定式该法则称为洛必达法则.📖定理13807

洛必达法则不妨设则有证13907

洛必达法则注意(1)(2)该定理对也适用.(3)对型，有类似的定理.14007

洛必达法则注意：

在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证是否满足条件．

上式中的已不是未定式，不能再对它应用洛必达法则，否则会导致错误结果．📚例1解📚例2解14107

洛必达法则📚例3解📚例4解14207

洛必达法则📚例5解14307

洛必达法则注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.📚例6解14407

洛必达法则关键:将其他未定式转化为或型.步骤:二、其他未定式📚例7解14507

洛必达法则步骤:📚例8解14607

洛必达法则步骤:📚例9解14707

洛必达法则📚例10解📚例11解14807

洛必达法则极限不存在洛必达法则失效注意：洛必达法则的使用条件．分析📚例12解14907

洛必达法则思考题

设是未定型极限，如果的极限不存在，是否的极限也一定不存在？举例说明.150思考题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．07

洛必达法则151小结：2.7

洛必达法则洛必达法则数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用08函数的单调性、极值与最值本讲内容掌握函数单调性的判别方法,会利用函数的单调性证明不等式；理解函数极值的概念,掌握求极值的方法；掌握函数最值的求法及其应用.

学习要求：一、函数的单调性四、小结二、函数的极值与求法三、最大值和最小值15508

函数的单调性、极值与最值一、函数的单调性1．单调性的判别法📖定理15608

函数的单调性、极值与最值应用拉氏定理,得证15708

函数的单调性、极值与最值注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．📚例1解15808

函数的单调性、极值与最值2．单调区间求法

有些函数在定义域上可能不是单调的，但在一些部分区间上单调，如何判别其单调性？

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:📖问题15908

函数的单调性、极值与最值

x（-∞,1）1(1,2)2(2,+∞)f'(x)

f(x)📚例2解16008

函数的单调性、极值与最值

x（-∞,0）0(0,+∞)f'(x)_不存在

f(x)📚例3解16108

函数的单调性、极值与最值3．利用单调性证明不等式证明时，练习：📚例4证16208

函数的单调性、极值与最值二、函数的极值1．函数极值的定义16308

函数的单调性、极值与最值

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对该邻域内任一点(x≠x0)，恒有f(x)<f(x0)(或

f(x)<f(x0))则称f(x0)为函数y=f(x)的极大值（或极小值）点x0为极大值点（或极小值点）📖定义16408

函数的单调性、极值与最值2．函数极值的求法例如,

设函数y=f(x)在x0处可导，如果函数f(x)在x0处取得极值，那么必有f'(x0)=0.(极值存在的必要条件）习惯上，把使得f'(x0)=0的点x=x0，称为驻点.注意:可导的极值点必定是驻点，但驻点未必是极值点.📖定义16508

函数的单调性、极值与最值(不是极值点情形)(是极值点情形)16608

函数的单调性、极值与最值(极值存在的第一充分条件)该定理对驻点和不可导点均适用函数在x0处连续，在x0的某去心邻域内可导(1)如果x∈(x0-δ,x0),有f'(x)>0,而x∈(x0,x0+δ),有f'(x)<0，则在x0处取得极大值.(2)如果x∈(x0-δ,x0),有f'(x)<0,而x∈(x0,x0+δ),有f'(x)>0，则在x0处取得极小值.(3)如果时，f'(x)的符号保持不变,则f(x)在x0处不取得极值.📖定理16708

函数的单调性、极值与最值列表讨论极大值极小值📚例5解16808

函数的单调性、极值与最值图形如下16908

函数的单调性、极值与最值注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

x（-∞,2）2(2,+∞)f'(x)+不存在－f(x)📚例6解17008

函数的单调性、极值与最值(第二充分条件)同理可证(2).

设函数y=f(x)在点x0处具有二阶导数，且f'(x0)=0,f''(x0)≠0.(1)如果f''(x0)<0,那么f(x)在x0处取得极大值f(x0);(2)如果f''(x0)>0,那么f(x)在x0处取得极小值f(x0).📖定理证17108

函数的单调性、极值与最值图形如下📚例7解17208

函数的单调性、极值与最值注意:

时，f(x)在x0是否取得极值，其判定仍需用第一充分条件.17308

函数的单调性、极值与最值求极值的步骤:(4)找出极值点求出极值17408

函数的单调性、极值与最值三、函数的最大值与最小值

经济问题中，经常有这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题．17508

函数的单调性、极值与最值1．闭区间上连续函数的最值

由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法步骤如下：

第二步，计算所求出的各点的函数值，比较其大小，选出最大值和最小值．17608

函数的单调性、极值与最值求函数在[-3,3]上的最大值和最小值.比较得最大值最小值📚例8解2．经济问题中的最值

在实际问题中，如果f(x)在开区间(a,b)内仅有唯一的驻点，并且f(x)在(a,b)内的最大值一定存在，那么在驻点x0处取得的极大值（或极小值）f(x0)即为所要求的最大值（或最小值）.17708

函数的单调性、极值与最值（1）最大利润问题

为使总利润最大，令即称为利润最大化或亏损最小化的基本原则.元元17808

函数的单调性、极值与最值某厂每批生产A商品x台的费用为TC(x)=5x+200(万元)，得到的收入为TR(x)=10x-0.01x2(万元)，问每批生产多少台，才能使利润最大？驻点只有一个，最值一定存在，故生产250台时，利润最大.📚例9解17908

函数的单调性、极值与最值2.最大收益问题某商品的需求函数为Q=75-P2，问P为多少时，总收益最大？故P=5时，总收益最大.📚例10解18008

函数的单调性、极值与最值已知某厂生产x件产品的成本为

TC(x)=25000+200x+0.025x2(1)求平均成本最小时的产量及最小平均成本，(2)求平均成本最小时的边际成本.📚例11解181MC(x)=200+0.05xx=1000时，MC(1000)=250AC(1000)=250？事实上，平均成本最小时得即元182小结：2.8

函数的单调性、极值与最值

1.

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.

2.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.

可能的极值点：驻点和不可导点判别法第一充分条件;第二充分条件;

3.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.

4.

最值是函数的整体概念2.8

函数的单调性、极值与最值数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用09函数的凹凸性、拐点及函数作图本讲内容会用导数判断函数图形的凹凸性；会求函数曲线的拐点,会求曲线的渐近线；会用导数综合研究函数的单调性、极值及曲线的凹凸性、拐点和渐近线,会描绘一些简单函数的图形.

学习要求：一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点三、曲线的渐近线四、函数图形的作图五、小结18709

函数的凹凸性、拐点及函数作图如何研究曲线的弯曲方向?一、曲线的凹凸性图形上任意点的切线位于曲线的上方图形上任意点的切线位于曲线的下方凹凸📖问题📖定义18809

函数的凹凸性、拐点及函数作图凹凸性的判定📖定理18909

函数的凹凸性、拐点及函数作图📚例1解19009

函数的凹凸性、拐点及函数作图二、曲线的拐点及其求法