《高等数学》电子教案 第三章 中值定理与导数的应用

《高等数学（经管类）》教案内容概要第一章函数、极限与连续第二章导数与微分第三章中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章多元函数微分学第七章二重积分第八章无穷级数第九章微分方程第十章差分方程第三章中值定理与导数的应用第一节微分中值定理教学目标掌握罗尔中值定理。掌握拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点推导罗尔中值定理。应用罗尔中值定理时辅助函数的设法。推导拉格朗日中值定理。应用拉格朗日中值定理时辅助函数的设法。教学学时：4个学时教学过程设计内容主线考虑建立考虑建立函数与其一阶导数之间关系费马引理费马引理罗尔中值定理罗尔中值定理罗尔中值定理的应用罗尔中值定理的应用推导常见基本初等函数导函数公式推导常见基本初等函数导函数公式拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用柯西中值定理柯西中值定理教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景考虑建立函数与其一阶导数之间的关系，以此利用导数来研究函数形态。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（函数与其高阶导数之间关系的思考题）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习第二章导数的内容，并一直为出发点引导学生思考如何使用导数来研究函数的形态的问题；2、推导费马引理，并以之为基础证明罗尔中值定理；3、和学生一起互动、讨论在使用罗尔中值定理过程中辅助函数的设法；4、推导拉格朗日中值定理；5、和学生一起互动、讨论拉格朗日中值定理的应用；6、推导柯西中值定理；7、阐述微分中值定理建立了一阶导数与函数之间的关系，从而可以利用导数来研究函数形态，这对后续课程的学习有着重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解罗尔、拉格朗日和柯西中值定理的几何意义；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成在应用中值定理过程中辅助函数的设法；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中令学生感受中值定理在实际应用中的重要作用，在学习中增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的函数与其高阶导数之间关系的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题3-1综合训练：通过在线课程进一步学习掌握函数中值定理的应用。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》。2、《高等数学学习指导与习题全解》。第二节洛必达法则教学目标掌握利用洛必达法则处理基本未定式型或型的极限。掌握利用洛必达法则处理其他类型未定式。通过严谨的数学推导和计算，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点利用洛必达法则处理基本未定式型或型的极限。将其他类型的未定式转化为型或型。利用洛必达法则处理其他类型未定式。教学学时：2个学时教学过程设计内容主线基本未定式基本未定式型的洛必达法则基本未定式基本未定式型的洛必达法则其他类型的未定式转化为其他类型的未定式转化为型或型。利用洛必达法则处理其他类型未定式利用洛必达法则处理其他类型未定式教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景通过前期建立函数与导数之间关系，进一步推导出函数极限与导数极限之间的关系。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如各种处理未定式极限方法（等价无穷小替换，泰勒公式，洛必达法则）比较的思考题）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习微分中值定理；2、推导基本未定式型的洛必达法则；3、推导基本未定式型的洛必达法则；4、和学生一起互动、讨论完成将其他类型的未定式转化为型或型；6、利用洛必达法则处理其他类型未定式；7、阐述洛必达法则作为一个重要的处理未定式极限的重要数学工具对于后续课程学习的具有重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解通过前期建立函数与导数之间关系，进一步推导出函数极限与导数极限之间关系；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成将其他类型的未定式转化为型或型；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中让学生讨论处理各种类型未定式极限的洛必达法则，增强科技报效祖国的爱国。多层次训练提供开放性的各种处理未定式极限方法（等价无穷小替换，泰勒公式，洛必达法则）比较的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题3-2综合训练：通过在线课程进一步学习掌握处理各种未定式的洛必达法则。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》。2、《高等数学学习指导与习题全解》。第三节泰勒公式教学目标了解泰勒公式。建立部分初等函数的泰勒公式。了解泰勒公式的应用。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点泰勒公式的引入。建立部分初等函数的泰勒公式。泰勒公式的应用。教学学时：2个学时教学过程设计内容主线考虑微分考虑微分近似计算中误差估计问题引出泰勒公式引出泰勒公式建立部分初等函数的泰勒公式建立部分初等函数的泰勒公式简介泰勒公式的应用简介泰勒公式的应用教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景以微分近似计算中误差估计问题为背景，考虑建立函数与其高阶导数之间的关系，以此利用高阶导数来研究函数形态。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如如何利用泰勒公式建立函数各阶导数与函数形态之间关系的思考题）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：函数微分中值定理；2、以微分近似计算中误差估计问题为背景，推导泰勒公式；3、和学生一起互动、讨论建立部分初等函数的泰勒公式；4、简介泰勒公式的应用；5、和学生一起互动、讨论考虑利用泰勒公式建立高阶导数与函数形态之间关系；6、阐述泰勒公式作为高等数学课程的及其重要的公式，了解其蕴含的数学思想对于后续课程学习的重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解泰勒公式的建立；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成部分初等函数泰勒公式的建立；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中让学生感受泰勒公式很多重要的应用，增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的如何利用泰勒公式建立函数各阶导数与函数形态之间关系的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题3-3综合训练：通过在线课程进一步学习了解泰勒公式。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》。2、《高等数学学习指导与习题全解》。第四节函数性态与图形教学目标掌握函数单调性的判别法。掌握函数极值的定义及其判别法。掌握曲线的凹向和拐点的定义及其判别法。掌握曲线渐近线的求法。掌握函数图形的描绘。掌握函数最值的求法。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点掌握函数单调性的判别法。掌握函数极值的定义及其判别法。掌握曲线的凹向和拐点的定义及其判别法。掌握曲线渐近线的求法。掌握函数图形的描绘。掌握函数最值的求法。教学学时：6个学时教学过程设计内容主线函数单调性的判别法函数单调性的判别法函数极值的定义及其判别法函数极值的定义及其判别法曲线的凹向和拐点的定义及其判别法曲线的凹向和拐点的定义及其判别法曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法函数图形的描绘函数图形的描绘函数最值的求法函数最值的求法教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景通过前期建立函数与导数之间关系，进一步推导出函数形态与导数之间的关系。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如函数的三阶及三阶以上的导数是否具有特殊的几何意义等开放性思考题）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习微分中值定理；2、推导函数单调性的判别法；3、和学生一起互动、讨论推出极值的定义及其求法；4、推导曲线的凹向和拐点的定义及其判别法；5、推导曲线渐近线的求法6、和学生一起互动、讨论函数图形的描绘；7、推导函数最值的求法；6、阐述利用函数导数判定函数形态的数学思想对于后续课程学习的重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生直观的理解函数单调、极值、凹凸、拐点、渐近线、图形描绘和最值的定义，求解方法和技巧；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成对数极值最值求解方法的推导；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中让学生感受利用导数来刻画函数形态的数学思想，增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的函数三阶及三阶以上的导数是否具有特殊的几何意义等思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题3-4综合训练：通过在线课程进一步学习，并熟练掌握函数单调、极值、凹凸、拐点、渐近线、图形描绘和最值的求法。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》。2、《高等数学学习指导与习题全解》。第五节函数的最值及其在经济分析中的应用教学目标掌握函数最值的求法。掌握最值在经济学分析中的应用。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点函数最值的求法。最值在经济学分析中的应用。教学学时：2个学时教学过程设计内容主线函数最值的求法函数最值的求法最值在经济学分析中的应用最值在经济学分析中的应用教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景利用导数对前期给出的经济学函数进行分析。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如函数高阶导数在经济分析中的应用）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习前期所学过的经济学函数；2、讨论函数最值的求法；3、和学生一起互动、讨论最值在经济学分析中的应用；4、阐述导数作为高等数学课程的“核心内容”对于财经专业课学习的重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解导数的经济意义；开展翻转课堂教学帮助