《数学广角：鸽巢问题》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学六年级上册

《数学广角：鸽巢问题》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学六年级上册一、学情分析六年级学生已经具备一定的动手操作、简单归纳和合情推理能力，能够独立列举简单情况，也学过有余数除法。但学生思维仍以具体形象为主，向抽象逻辑思维过渡阶段。本节课难点词语“总有”“至少”，学生很容易产生误解，常会把“至少”理解成“最少、尽可能少”，混淆“存在性”含义。学生习惯直接找具体是哪一个“鸽巢”，而鸽巢原理只证明现象存在，不需要确定具体对象。学生对数学模型的提取能力偏弱，不容易从不同生活情境中识别“物体”和“鸽巢”，容易把两类量搞反。本课借助动手摆一摆、列表枚举，由直观操作过渡到假设推理，帮助学生突破认知障碍，积累数学推理活动经验。二、教材分析《鸽巢问题》安排在六上第六单元《复习与关联》数学广角，属于综合与实践板块，是小学阶段渗透模型意识、推理意识的专题内容，又称抽屉原理，由数学家狄利克雷提出。教材设置两道例题。例1是鸽巢原理最简单的情况：物体数量比鸽巢数量多1，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有2个物体。教材给出枚举法和假设法两条探究路径，重点理解关键词“总有”“至少”。例2是一般形式，物体数量远大于鸽巢数量，借助有余数除法表达平均分的推理过程，归纳出：物体数÷鸽巢数，有余数，至少数=商+1；整除，至少数=商。本内容不作为计算技能训练，重在经历猜想、验证、归纳、建模的过程，关联之前学过的除法、平均分知识，把零散的数学思考方法进行复习关联，体会从具体例子抽象数学模型的思想，发展学生数学思维，感受数学思想方法的价值。三、核心素养教学目标（依据2022新课标）1.推理意识：经历猜想、操作、列举、假设、说理的探究过程，理解“总有”“至少”的含义，理解鸽巢原理，能用自己的语言解释简单鸽巢问题的道理，学会合情推理。2.模型意识：能识别简单鸽巢问题的结构，找到情境中的“物体”和“鸽巢”，把生活问题抽象成鸽巢数学模型，会借助有余数除法表达推理思路。3.应用意识：能运用鸽巢原理解释简单生活现象，体会数学思想在生活中的应用，感悟数学与现实的联系。4.数学情感：在小组合作探究中体会数学说理的严谨性，感受数学奇妙，激发探究兴趣，养成有序、全面思考问题的习惯。四、教学重难点教学重点：理解鸽巢原理，理解“总有”“至少”的含义，掌握假设平均分的思考方法，初步建立鸽巢模型。

教学难点：准确理解“总有”和“至少”；区分谁是物体、谁是鸽巢；理解为什么有余数时至少数是商加1，而不是商加余数。五、教学过程第1课时鸽巢问题（例1，基础模型）（一）情境导入，引发猜想师：同学们，我们先来玩一个小游戏。老师这里准备3个椅子，请4名同学上来。听游戏规则：我说开始，4位同学都要坐到椅子上，每个人不能站着。大家猜一猜，不管怎么坐，会不会出现一个必然的现象？

学生自由发言，学生可能回答：有的椅子坐2个人；有的椅子空着；每把椅子不一定都有人。

师：大家的猜想很多。老师有一句话：不管这4名同学怎么坐，总有一把椅子上，至少坐着2个人。大家想一想，“总有”是什么意思？“至少2个人”又是什么意思？

生1：总有就是一定有，肯定存在。

生2：至少2个人，是不是最少只能是2个人？能不能比2多？

师：问得很好。“总有”=一定存在，一定有；“至少2人”，就是人数≥2，也就是可以是2人，也可以3人、4人，不能少于2人。不是说刚好等于2。这就是我们今天研究的数学问题，叫做鸽巢问题，也叫抽屉原理。（板书课题）

师：刚才的游戏里，人就相当于鸽子，椅子相当于鸽巢。鸽子飞回鸽巢，物体放进容器，本质是同一类问题。我们回到课本例题，一起来看书上例1：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。大家读一读这句话，想一想，这句话对不对？我们能不能动手验证这个猜想？

【设计意图】游戏激趣，聚焦关键词，先把“总有”“至少”初步感知。直接对接教材例1，引出探究任务，制造认知冲突，引导学生想到用列举、动手摆放来验证猜想。（二）自主探究，枚举验证（教材例1）师：题目是4支铅笔，3个笔筒。我们不考虑笔筒顺序，只看每个笔筒放几支。大家以小组为单位，用小棒代替铅笔，在草稿纸上记录所有摆放情况，把所有放法全部找出来。

学生小组操作、记录，教师巡视，收集学生的记录。

师：哪个小组愿意把你们找到的所有摆放情况展示出来？

生上台汇报，板书四种情况：

（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）

师：我们一起看这4种全部放法，有没有漏掉？大家观察每一组。第一种：一个笔筒放4支，另外两个笔筒是空的。第二种：一个笔筒3支，一个笔筒1支，一个笔筒0支。第三种：两个笔筒各2支，一个笔筒0支。第四种：每个笔筒尽量平均分，2、1、1。

师：我们一句一句对照结论“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。第一种，有笔筒4支，满足≥2；第二种有笔筒3支，满足；第三种两个笔筒都是2支，满足；第四种有笔筒2支，满足。大家看，所有放法里面，一定能找到一个笔筒，里面铅笔数量不会少于2支。

师：有没有哪一种放法，所有笔筒里面都只有1支或者0支，没有任何笔筒达到2支？

生：不可能。如果每个笔筒最多放1支，3个笔筒最多只能放3支铅笔，可是我们一共有4支，多出来1支，必须放进任意一个笔筒。

师：很好。枚举法把所有可能性全部罗列出来，我们发现，全部情况都符合猜想，说明猜想成立。但是，如果铅笔数量、笔筒数量变多，枚举全部情况就很麻烦，有没有更简便的推理办法，不需要把所有摆法都写出来？

【设计意图】借助教材例1，使用枚举法，直观呈现全部摆放情况，让学生亲眼看到所有情况，验证结论。同时抛出新问题，引出假设法，体会枚举法的局限性，自然过渡到假设推理。（三）探究假设法，理解“平均分”思路（教材内容）师：我们想一想，要保证找到“至少”的数量，我们要考虑最不利的情况，也就是尽量平均分，尽可能让每个笔筒里面铅笔数量少。想一想，如果先把4支铅笔尽量平均分到3个笔筒，每个笔筒先分到几支？

生：每个笔筒先放1支，一共放出去3支。4-3=1，还剩下1支。

师：剩下这1支，不管放到哪一个笔筒，那个笔筒就会变成1+1=2支。所以不管怎么放，总有一个笔筒至少有2支铅笔。这个思路就是假设法。我们可以写成算式：4÷3=1……1。商是1，余数是1。

师：大家注意，这个算式是什么意思？商1，代表平均每个笔筒分到1支；余数1，表示分完之后，还剩1支。剩下的这1支，随便放进任意笔筒，所以至少是1+1=2支。这里不是直接把商和余数相加，而是商+1，这点大家要留心。

师：我们继续看课本上的想一想：5只鸽子飞进4个鸽巢，是不是总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子？谁能用假设法来说理，不用全部列举。

生：5只鸽子，4个巢。5÷4=1……1，每个巢先飞进去1只，一共飞进4只，剩下1只，不管飞到哪个巢，那个巢就有2只。所以总有一个鸽巢至少2只鸽子。

师：说得很清楚。大家观察这两组题：4支笔放3个笔筒，5只鸽子进4个巢，你发现物体数量和容器数量是什么关系？

生：物体数量比容器数量多1。

师：对，物体数=鸽巢数+1。这种情况下，总有一个鸽巢里面至少有2个物体。那如果物体数量不是多1，而是多更多，比如6只鸽子飞进4个鸽巢，物体数比鸽巢数多2，是不是结论变了？大家试一试，用假设法说理。

生：6÷4=1……2。每个巢先放1只，一共放4只，剩下2只。剩下的2只，可以分开放进不同的巢，每个巢再增加1只，而不是全部塞进同一个巢。最不利的放法，尽量分散，所以至少还是1+1=2只，不是1+2。

师：非常关键！余数是2的时候，不能商加余数。因为我们追求最分散的摆放，剩下的鸽子尽量分到不同鸽巢。只要有余数，不管余数是几，至少数都是商加1。

师：大家对比枚举法和假设法。枚举法适合数量少的情况，把所有可能性列出来验证。假设法是先平均分，找最不利的情况，用推理的方式说理，数量大的时候，假设法更方便。教材也推荐大家掌握假设法。

【设计意图】紧扣教材例题，建立假设平均分的核心思路，突破易错点，区分商+1，不是商+余数。拓展物体数比鸽巢多2的变式，防止学生形成“余数是几就加几”的错误思维。让学生学会用数学语言说理，落实推理意识。（四）课堂巩固，识别模型师：我们来看课本配套的小练习：13名同学，至少有2个人在同一个月出生。这里，谁是鸽子（物体）？谁是鸽巢？

生：同学是物体，一共有13个物体；一年有12个月，12个月就是12个鸽巢。13÷12=1……1，1+1=2，所以总有一个月份，至少2个人出生。

师：很棒，找准物体和鸽巢是第一步。很多同学容易搞反，我们记住一句话：被分的东西，是物体；用来分类的类别，就是鸽巢。铅笔被分到笔筒，铅笔是物体，笔筒是鸽巢；鸽子飞进巢，鸽子是物体，巢是鸽巢；人按月份分类，人是物体，月份是分类标准，也就是鸽巢。

师：再试一题：把7本书放进6个抽屉，总有一个抽屉至少放几本？

生：7÷6=1……1，1+1=2本。

师：那8本书放到6个抽屉呢？8÷6=1……2，至少是1+1=2本。

师：对，只要有余数，不管余数多大，至少数都等于商加1。本节课研究的，是物体数量大于鸽巢数量的情况，只要物体数＞鸽巢数，总有一个鸽巢至少2个物体。（五）课时小结（第1课时小结）师：这节课我们学习了鸽巢问题最简单的情况。我们认识了关键词“总有”、“至少”，学习两种方法：枚举法、假设法。假设法核心就是平均分，考虑最分散的放法。当物体数量比鸽巢多，有余数时，至少数等于商+1。我们下节课继续研究例2，物体数量远远多于鸽巢数量，至少数大于2的情况。第2课时鸽巢问题（例2，一般模型）（一）复习回顾，衔接新知师：上一节课，我们认识鸽巢原理。我们先来回顾，什么是物体，什么是鸽巢。谁来说一说“总有”和“至少”是什么意思？

生：总有就是一定存在；至少就是不少于这个数，可以等于它，也可以比它大。

师：4支铅笔放进3个笔筒，4÷3=1……1，至少数是1+1=2。那9只鸽子飞回8个鸽巢，至少几只在同一个巢？

生：9÷8=1……1，1+1=2只。

师：很好。刚才这些例子算出来至少都是2。那如果物体数量比鸽巢多很多，至少的数量还会是2吗？我们来学习教材例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。读一读题目，猜一猜这句话对不对？能不能用上节课学的假设法解释道理？

【设计意图】复习第1课时的基础模型，巩固关键词、假设法，自然过渡到教材例2，从至少为2拓展到至少大于2的一般形式，实现知识关联。（二）探究教材例2，建立一般模型师：题目：7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。我们用假设法，尽量平均分，想一想，怎么分最分散？

生：把7本书平均分给3个抽屉。7÷3=2……1。商是2，余数是1。每个抽屉先放2本，一共放出去6本，剩下还有1本。剩下1本，随便放进任意抽屉，这个抽屉就变成2+1=3本。所以总有一个抽屉至少3本书。

师：板书算式7÷3=2……1，至少数2+1=3。大家想一想，这里商代表平均分之后，每个抽屉分到的数量。余数是剩下的书本。剩下1本，加到任意抽屉，所以商加1。

师：课本继续提问：如果是8本书放进3个抽屉呢？大家独立列式，和同桌说一说推理过程。

生汇报：8÷3=2……2。每个抽屉先放2本，一共放6本，剩下2本。为了保证最分散，剩下2本分到两个不同抽屉，每个抽屉再加1本，所以至少是2+1=3本，不是2+2=4本。

师：这个地方是特别容易出错的。余数是2，不能商加余数。我们追求最不利、尽量分散，剩余物体分开摆放。所以，不管余数是1还是2，只要有余数，至少数=商+1。

师：继续课本问题：如果是10本书放进3个抽屉？

生：10÷3=3……1，每个抽屉先放3本，剩下1本，放到任意抽屉，3+1=4，总有一个抽屉至少4本书。

师：我们把这三组算式写在一起，大家一起观察：

7÷3=2……1，至少2+1=3

8÷3=2……2，至少2+1=3

10÷3=3……1，至少3+1=4

师：大家发现规律了吗？物体数量除以鸽巢数量，分两种情况。第一种：有余数，至少数等于商+1；第二种，如果刚好整除，没有余数，那至少数等于商。我们来验证整除的例子：9本书放进3个抽屉。9÷3=3，刚好分完，没有剩余。平均每个抽屉放3本。这种情况下，没有剩下的书，所以总有一个抽屉至少就是3本，不需要再加1。

生：我明白了！有余数就商+1；整除没有余数，至少数就是商。

师：这就是鸽巢原理的一般形式（板书）：物体数÷鸽巢数=商……余数。有余数，至少数=商+1；整除，至少数=商。

师：我们回到教材，看一看书上的文字总结。鸽巢原理：把m个物体放入n个鸽巢中，如果m÷n=k……r（r≠0），那么总有一个鸽巢里面至少放k+1个物体；当r=0，也就是刚好整除，总有一个鸽巢至少放k个物体。

【设计意图】依托教材例2，依次研究7本、8本、10本书的问题，对比有余数、整除两种情形，归纳一般模型。重点辨析：为什么余数不为0时，至少数是商加1，而不是商加余数，纠正学生的典型错误。引导学生从特例归纳通用规律，发展归纳推理，建立数学模型。（三）教材例题变式：鸽子归巢，运用一般模型说理师：教材中还有一道鸽子例题：11只鸽子飞进4个鸽巢。总有一个鸽巢至少飞进几只鸽子？谁来列式，并且完整说理。

生：鸽子是物体，一共11个；4个巢是鸽巢。列式：11÷4=2……3。商是2，余数3。每个巢先飞2只，一共飞进去8只，剩下3只。这3只尽量分到不同鸽巢，每个巢再增加1只。所以至少2+1=3只。

师：很好。虽然余数是3，但依然是商加1，不是2+3。大家一定要记住，我们找的是“最不利”的情况，也就是尽量平均分，尽可能分散，这样算出来的，才是“至少”的数量。

师：我们一起来说一说完整的推理步骤。第一步，分清谁是物体，谁是鸽巢；第二步，物体数量÷鸽巢数量；第三步，看有没有余数，有余数，至少=商+1；整除，至少=商。第四步，用语言把道理说清楚，不只是写算式。算式是辅助说理，不是单纯计算题。鸽巢问题重在说理，不是计算。

【设计意图】使用教材配套鸽子例题，巩固一般模型，完整展示解决这类问题的思维步骤。强调本专题不是计算题，推理说理才是核心，避免学生死记硬背公式。（四）模型识别，区分物体和鸽巢（教材配套练习）师：我们看课本的生活例子。学校六年级有400名学生，至少有几名同学在同一天过生日？

师：先思考，物体是谁，鸽巢是谁？

生：学生是物体，一共400个物体。一年最多366天，366天是鸽巢。

师：列式：400÷366=1……34。有余数，1+1=2。所以总有一天，至少2名同学同一天过生日。

师：再来一题：把23个苹果放到5个篮子里，总有一个篮子至少放几个苹果？

生：苹果是物体，篮子是鸽巢。23÷5=4……3，4+1=7，至少7个。

师：有同学会搞反，把篮子当成物体，苹果当成鸽巢，结果就完全错了。我们再强化判断方法：被分配、被分出去的是物体；用来分类、用来盛放的类别，是鸽巢。分苹果，苹果被分到篮子，苹果是物体，篮子是鸽巢；学生分到生日日期，学生是物体，天数是分类标准，是鸽巢。

师：请大家同桌之间，互相出一个简单的鸽巢问题，一人出题，一人找物体和鸽巢，列式说理。

学生同桌交流，教师巡视，收集典型错例。

师：老师看到有同学出：5个篮子放23个苹果，直接拿5除以23。大家发现错在哪？

生：被除数必须是物体总数，除数是鸽巢数量，不能颠倒。物体是被除数，鸽巢是除数。

师：说得非常到位。这是高频错误，被除数、除数不能颠倒。

【设计意图】借助教材配套习题，专门训练模型识别，突破难点。针对学生容易颠倒物体和鸽巢的典型错误，进行辨析。把抽象模型迁移