新教材九年级数学上册第1课时　弧长和扇形面积（备课教案）

24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积教师备课素材示例●情景导入制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及计算弧长的问题．提出问题后，指出解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积．【教学与建议】教学：通过计算“展直长度”的导入，建立圆和扇形的模型．建议：探索扇形弧长时，可以让学生先理解圆心角是1°的弧长是多少．●类比导入(1)圆的周长公式和圆的面积公式分别是什么？(2)如图，某圆拱桥的半径是40m，桥拱eq\x\to(AB)所对的圆心角∠AOB＝90°，你会求桥拱eq\x\to(AB)的长度吗？(3)180°，90°，45°，n°的圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？圆心角为180°，90°，45°，n°的扇形面积分别是圆面积的几分之几？分析：如图①，圆心角是180°，占整个周角的__eq\f(180,360)__，因此180°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(180,360)__，圆心角是180°的扇形面积是圆面积的__eq\f(180,360)__；eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图④))如图②，圆心角是90°，占整个周角的__eq\f(90,360)__，因此90°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(90,360)__，圆心角是90°的扇形面积是圆面积的__eq\f(90,360)__；如图③，圆心角是45°，占整个周角的__eq\f(45,360)__，因此45°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(45,360)__，圆心角是45°的扇形面积是圆面积的__eq\f(45,360)__；如图④，圆心角是n°，占整个周角的__eq\f(n,360)__，因此n°的圆心角所对的弧长是圆周长的__eq\f(n,360)__，圆心角是n°的扇形面积是圆面积的__eq\f(n,360)__.(4)在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长是__eq\f(nπR,180)__，面积是__eq\f(nπR2,360)__．【教学与建议】教学：通过对圆周长和面积公式的回顾，类比旧知识的学习方法来学习新知识．建议：从n°的圆心角所对的弧长和扇形面积分别占圆周长和面积的比例引导学生推导弧长公式及扇形面积公式．●置疑导入如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？【教学与建议】教学：圆心角从0到n°计算弧长，得出弧长公式．建议：探索弧长公式时，先理解1°的圆心角所对的弧长是多少．命题角度1利用弧长公式进行计算灵活运用弧长公式解决问题．【例1】(1)已知扇形的半径为6，圆心角为90°，则它的弧长是__3π__．(2)已知扇形的弧长为3π，半径为eq\f(9,2)，则此扇形的圆心角为__120°__．命题角度2利用扇形的面积公式进行计算利用S＝eq\f(nπR2,360°)＝eq\f(1,2)lR灵活解决扇形有关计算．【例2】(1)一个扇形的圆心角为60°，半径为6cm，则此扇形的面积是__6π__cm2.(2)一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为__6__cm.命题角度3求图中阴影部分的面积求组合图形的面积就是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差．【例3】(1)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为(B)A．eq\f(1,2)πB．πC．eq\f(3,2)πD．2πeq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2.将△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，连接A′B′，则图中阴影部分的面积为__2π－eq\r(3)__．高效课堂教学设计1．以圆的周长和面积为基础，探究弧长和扇形的面积公式，并会用来计算弧长和扇形面积．2．能利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长和面积．▲重点经历探究弧长和扇形面积公式的过程．▲难点用公式解决实际问题．◆活动1新课导入中国是世界上最早使用扇子的国家．自扇子传世以来，相关的趣闻轶事多不胜数；随着时代的发展，扇子不仅仅是一种纳凉工具，更是一种备受人们喜爱的工艺品．如图，扇子面的纸张面积如何计算，外围弧长又如何计算？◆活动2探究新知1．教材P111思考．提出问题：(1)你还记得圆周长的计算公式吗？写出来：__C＝2πR__．(2)圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？__答：360°__．(3)1°的圆心角所对的弧长是多少？__答：eq\f(2πR,360)__．n°的圆心角所对的弧长是多少？__答：eq\f(nπR,180)__．(4)由此不难得出：半径是R，所对圆心角是n°的弧的弧长是__eq\f(nπR,180)__．学生完成并交流展示．2．类比弧长公式的推导，如何推导扇形的面积公式？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是__eq\f(πR,180)__，n°的圆心角所对的弧长是__eq\f(nπR,180)__．2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是__eq\f(πR2,360)__，n°的圆心角所对的扇形面积是__eq\f(nπR2,360)__．3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝__eq\f(1,2)lR__．◆活动4例题与练习例1如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧eq\x\to(AB).已知半径OA＝60cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即AB的长)为多少？(结果保留π)解：设eq\x\to(AB)的长为lcm.∵R＝60cm，n°＝108°，∴l＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(108·π·60,180)＝36π(cm).答：管道的长度为36πcm.例2如图，两个同心圆被两条半径截得的eq\x\to(AB)的长度为5π，eq\x\to(CD)的长度为7π，AC＝4，求阴影部分的面积(ABDC的面积)．解：设圆心角为n°，则eq\x\to(CD)的长l1＝eq\f(nπR1,180)，eq\x\to(AB)的长l2＝eq\f(nπR2,180).∴S阴影＝eq\f(nπReq\o\al(2,1),360)－eq\f(nπReq\o\al(2,2),360)＝eq\f(nπ,360)(Req\o\al(2,1)－Req\o\al(2,2))＝eq\f(nπ,360)(R1＋R2)(R1－R2)＝eq\f(1,2)(eq\f(nπR1,180)＋eq\f(nπR2,180))(R1－R2)＝eq\f(1,2)(l1＋l2)(R1－R2)＝eq\f(1,2)(7π＋5π)×4＝24π.答：阴影部分的面积为24π.练习1．教材P113练习第1，2，3题．2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为(C)A．πB．1C