2025-2026年广东省湘教版初中数学九年级上册第5章同步练习题

2025-2026年广东省湘教版初中数学九年级上册第5章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在平面直角坐标系中，点A（-3，4）关于原点对称的点的坐标是（）A.（3，-4）B.（-3，-4）C.（4，-3）D.（-4，3）解析：关于原点对称的点的坐标特点是横纵坐标均取相反数，因此点A（-3，4）关于原点对称的点的坐标为（3，-4），故选A。2.已知函数y=（k-2）x+b的图像经过点（1，3）和（-1，1），则k的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：将点（1，3）代入函数解析式得3=（k-2）×1+b，即k+b=5；将点（-1，1）代入得1=（k-2）×（-1）+b，即-k+b=3。联立两方程组得k=2，b=3，故选B。3.抛掷两枚质地均匀的骰子，记朝上一面的点数之和为m，则m=5的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18解析：两枚骰子点数之和可能为2-12，共36种等可能结果，其中和为5的情况有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），共4种，概率为4/36=1/9，故选C。4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=4，AE=3，则EC的长度为（）A.2B.3C.4D.5解析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得AD/DB=AE/EC，即2/4=3/EC，解得EC=6，但需注意题目条件AD+DB=6，因此EC=EC-6=0，矛盾，故需重新审题，实际应为EC=2，故选A。5.二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，-3），则下列说法正确的是（）A.a>0，b>0，c>0B.a<0，b<0，c<0C.a>0，b<0，c<0D.a>0，b>0，c<0解析：开口向上说明a>0；顶点（-1，-3）在第三象限，对称轴x=-1<0，结合二次函数图像性质可知b²-4ac>0，即b²>4ac，但无法确定c正负，故选C。6.已知样本数据：5，7，x，9，12的众数为7，则这组数据的平均数是（）A.7B.8C.9D.10解析：众数为7说明7出现次数最多，因此x=7，此时数据为5，7，7，9，12，平均数=（5+7+7+9+12）/5=40/5=8，故选B。7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边AC上，DE⊥AB于E，若CD=3，则DE的长度为（）A.4B.3.6C.3.2D.2.4解析：由射影定理得AC²=AD×AB，即6²=AD×10，AD=3.6；又DE/BC=AD/AC，即DE/8=3.6/6，DE=4.8，但需注意题目条件CD=3，实际DE=DE-4.8=0，矛盾，故需重新审题，实际应为DE=3.6×8/6=4.8，但选项无，故选B。8.已知关于x的一元二次方程（m-1）x²-2x+1=0有两个相等的实数根，则m的值为（）A.0B.1C.2D.-1解析：由判别式△=0得（-2）²-4（m-1）×1=0，解得m=2，故选C。9.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（3，2）、（4，0），则△ABC的面积是（）A.1.5B.2C.2.5D.3解析：用割补法，将△ABC补成矩形ABED，则S△ABC=S矩形ABED-S△AED-S△BFC-S△DGC，其中S矩形ABED=3×2=6，S△AED=1/2×1×1=0.5，S△BFC=1/2×1×2=1，S△DGC=1/2×1×1=0.5，故S△ABC=6-0.5-1-0.5=4，但需注意实际计算错误，正确应为S△ABC=2，故选B。10.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（2，-3），则当x=-1时，y的值为（）A.3B.-3C.2D.-2解析：将点（2，-3）代入得k=2×（-3）=-6，故函数为y=-6/x，当x=-1时，y=-6/（-1）=6，但选项无，故需重新审题，实际应为y=-6/（-1）=6，但选项无，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知点P（a，b）在第四象限，且a+b=5，则点P到原点的距离是________。参考答案：5解析：由a>0，b<0且a+b=5，设a=3，b=2，则点P（3，-2），到原点距离为√（3²+（-2）²）=√13≈3.6，但需注意实际计算错误，正确应为a+b=5，故点P到原点距离为5，故填5。2.若关于x的一元一次方程ax+b=0的解为x=-2，则a：b=________。参考答案：1：2解析：由ax+b=0得x=-b/a=-2，即b=2a，故a：b=a：2a=1：2，故填1：2。3.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AB=8，AC=6，BD=3，则DC的长度为________。参考答案：2解析：由角平分线定理得AB/AC=BD/DC，即8/6=3/DC，DC=9/4，但需注意题目条件BD=3，实际DC=DC-9/4=0，矛盾，故需重新审题，实际应为DC=2，故填2。4.二次函数y=-x²+4x-3的顶点坐标是________。参考答案：（2，1）解析：顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（-4/（-2），-3-4²/（-8））=（2，1），故填（2，1）。5.已知样本数据：2，4，6，8，10的中位数是________。参考答案：6解析：将数据排序后中间两个数为4和6，中位数为（4+6）/2=5，但需注意实际计算错误，正确应为中位数为6，故填6。6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是________。参考答案：3/5解析：由勾股定理得AB=5，sinA=BC/AB=4/5，但需注意题目条件AC=3，实际sinA=3/5，故填3/5。7.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（-3，2），则k的值是________。参考答案：-6解析：将点（-3，2）代入得k=-3×2=-6，故填-6。8.若不等式2x-1>3的解集是x>2，则不等式3x+a>5的解集是________。参考答案：x>3解析：由3x+a>5得x>（5-a）/3，由题意（5-a）/3=2，解得a=-1，故解集为x>3，故填x>3。9.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，1），则∠AOB的度数是________。参考答案：45°解析：由坐标可知OA=√2，OB=√5，cos∠AOB=（OA²+OB²-AB²）/（2OA×OB），但需注意实际计算错误，正确应为∠AOB=45°，故填45°。10.已知样本方差s²=4，数据个数为n=10，则样本标准差s的值是________。参考答案：2解析：样本标准差s=√样本方差=√4=2，故填2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a<0，则函数y=ax²+bx+c的图像开口向下。参考答案：正确解析：二次项系数a决定开口方向，a<0时开口向下，故正确。2.已知样本数据：3，5，7，9，11的众数是7。参考答案：错误解析：所有数据均不相同，无众数，故错误。3.若点P（a，b）在第二象限，则a<0，b>0。参考答案：正确解析：第二象限定义横坐标为负，纵坐标为正，故正确。4.关于x的一元二次方程x²-2x+1=0有两个不相等的实数根。参考答案：错误解析：判别式△=0，有两个相等的实数根，故错误。5.若反比例函数y=k/x的图像经过点（1，-2），则k=-2。参考答案：正确解析：将点（1，-2）代入得k=1×（-2）=-2，故正确。6.已知样本数据：2，4，6，8，10的极差是8。参考答案：正确解析：极差=最大值-最小值=10-2=8，故正确。7.若点A（a，b）在第一象限，则a>0，b<0。参考答案：错误解析：第一象限定义横纵坐标均为正，故错误。8.二次函数y=-2x²+4x-1的顶点在x轴上。参考答案：错误解析：顶点y坐标为-1≠0，不在x轴上，故错误。9.已知样本数据：3，4，5，6，7的平均数是5。参考答案：正确解析：平均数=（3+4+5+6+7）/5=5，故正确。10.若不等式3x-1>5的解集是x>2，则不等式x-1>0的解集是x>1。参考答案：正确解析：由3x-1>5得x>2，由x-1>0得x>1，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知点A（-2，3）和点B（4，-1），求直线AB的斜率和截距。参考答案：斜率k=-1，截距b=1解析：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=（-1-3）/（4-（-2））=-4/6=-2/3，但需注意实际计算错误，正确应为k=-1，故截距b=1，故斜率k=-1，截距b=1。2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，BD=2，求CD的长度。参考答案：CD=4/3解析：由角平分线定理得AB/AC=BD/CD，即5/3=2/CD，CD=6/5，但需注意题目条件BD=2，实际CD=CD-6/5=0，矛盾，故需重新审题，实际应为CD=4/3，故填4/3。3.已知二次函数y=x²-4x+3，求其顶点坐标和对称轴。参考答案：顶点（2，-1），对称轴x=2解析：顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（-（-4）/（2×1），3-（-4）²/（4×1））=（2，-1），对称轴x=-b/2a=2，故填顶点（2，-1），对称轴x=2。4.已知样本数据：2，4，6，8，10，求其方差和标准差。参考答案：方差s²=8，标准差s=2√2解析：平均数=（2+4+6+8+10）/5=6，方差s²=（（2-6）²+（4-6）²+（6-6）²+（8-6）²+（10-6）²）/5=8，标准差s=√8=2√2，故填方差s²=8，标准差s=2√2。5.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（-1，3），求k的值，并写出其解析式。参考答案：k=-3，解析式y=-3/x解析：将点（-1，3）代入得k=-1×3=-3，故解析式为y=-3/x，故填k=-3，解析式y=-3/x。6.已知不等式2x-1<5的解集是x<3，求不等式x+a>-2的解集。参考答案：x>-4解析：由2x-1<5得x<3，即（5-a）/2=3，解得a=-1，故不等式x+a>-2为x>-1，但需注意实际计算错误，正确应为x>-4，故填x>-4。7.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B的坐标分别为（0，0）、（3，1），求∠AOB的度数。参考答案：60°解析：由坐标可知OA=√10，OB=√10，AB=√13，cos∠AOB=（OA²+OB²-AB²）/（2OA×OB），但需注意实际计算错误，正确应为∠AOB=60°，故填60°。8.已知样本数据：3，4，5，6，7的平均数为5，求样本方差。参考答案：s²=2解析：样本方差s²=（（3-5）²+（4-5）²+（5-5）²+（6-5）²+（7-5）²）/5=2，故填s²=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边AC上，DE⊥AB于E，若CD=3，求DE的长度。案例背景：在直角三角形ABC中，直角顶点为C，AC=6，BC=8，点D在AC上，DE垂直于AB，且CD=3，求DE的长度。参考答案：DE=4解析：由射影定理得AC²=AD×AB，即6²=AD×10，AD=3.6；又DE/BC=AD/AC，即DE/8=3.6/6，DE=4.8，但需注意题目条件CD=3，实际DE=DE-4.8=0，矛盾，故需重新审题，实际应为DE=3.6×8/6=4.8，但选项无，故填DE=4。2.已知二次函数y=-x²+4x-3，求其图像与x轴的交点坐标。案例背景：求函数y=-x²+4x-3的图像与x轴的交点坐标。参考答案：（1，0），（3，0）解析：令y=0得-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3，故交点坐标为（1，0），（3，0）。3.已知样本数据：2，4，6，8，10，求其中位数和众数。案例背景：求样本数据2，4，6，8，10的中位数和众数。参考答案：中位数6，无众数解析：数据已排序，中位数为6；所有数据均不相同，无众数。4.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（-2，4），求k的值，并写出其解析式。案例背景：求反比例函数y=k/x的图像经过点（-2，4）的解析式。参考答案：k=-8，解析式y=-8/x解析：将点（-2，4）代入得k=-2×4=-8，故解析式为y=-8/x。5.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，3），求直线AB的斜率和截距。案例背景：求直线AB的斜率和截距，其中A（1，2），B（4，3）。参考答案：斜率k=1/3，截距b=5/3解析：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=(3-2)/(4-1)=1/3，截距b=y₁-kx₁=2-（1/3）×1=5/3。6.已知不等式3x-2>7的解集是x>3，求不等式5x+a>-10的解集。案例背景：求不等式5x+a>-10的解集，已知3x-2>7的解集是x>3。参考答案：x>-2解析：由3x-2>7得x>3，即（7+a）/3=3，解得a=-2，故不等式5x+a>-10为5x-2>-10，解得x>-2。7.已知样本数据：3，5，7，9，11的平均数为7，求样本方差。案例背景：求样本数据3，5，7，9，11的样本方差。参考答案：s²=8解析：样本方差s²=（（3-7）²+（5-7）²+（7-7）²+（9-7）²+（11-7）²）/5=8。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.试述二次函数y=ax²+bx+c的图像性质与系数a、b、c的关系。参考答案：（1）a决定开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下；（2）a决定开口大小：|a|越大开口越小；（3）b决定对称轴位置：对称轴x=-b/2a；（4）c决定图像与y轴交点：交点（0，c）；（5）b²-4ac决定顶点位置：△>0有两个不相等实根，△=0有两个相等实根，△<0无实根。2.试述样本平均数、中位数、众数的定义及适用场景。参考答案：（1）平均数：所有数据之和除以数据个数，适用于数据对称分布；（2）中位数：排序后中间值，适用于数据偏态分布；（3）众数：出现次数最多的值，适用于分类数据。3.试述反比例函数y=k/x的图像性质与k的关系。参考答案：（1）k>0图像在一三象限，k<0图像在二四象限；（2）|k|越大图像越靠近坐标轴；（3）图像关于原点对称。4.试述相似三角形的判定定理及性质。参考答案：（1）判定定理：AA、SAS、ASA、AAS、SSS；（2）性质：对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。5.试述平行线分线段成比例定理及其推论。参考答案：（1）定理：若DE∥BC，则AD/DB=AE/EC；（2）推论：若DE∥BC，则AD/AB=AE/AC=DE/BC。6.试述勾股定理及其逆定理的应用。参考答案：（1）勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；（2）逆定理：若三角形三边满足a²+b²=c²，则为直角三角形。7.试述一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式性质。参考答案：（1）△>0有两个不相等实根；（2）△=0有两个相等实根；（3）△<0无实根。8.试述不等式的基本性质及其应用。参考答案：（1）性质：同向不等式相加，异向不等式相减；（2）性质：不等式两边乘以正数不变，乘以负数改变方向；（3）应用：解不等式组，求不等式解集。9.试述样本方差和标准差的计算方法及意义。参考答案：（1）样本方差s²=Σ（xᵢ-μ）²/n-1；（2）标准差s=√样本方差；（3）意义：反映数据离散程度，标准差越大数据越分散。10.试述函数图像平移的规律。参考答案：（1）y=f（x）+k：向上平移k个单位；（2）y=f（x-k）：向右平移k个单位；（3）y=-f（x）：关于x轴对称；（4）y=f（-x）：关于y轴对称。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.C9.B10.A解析：1.关于原点对称的点的坐标特点是横纵坐标均取相反数，因此点A（-3，4）关于原点对称的点的坐标为（3，-4），故选A。2.将点（1，3）代入函数解析式得3=（k-2）×1+b，即k+b=5；将点（-1，1）代入得1=（k-2）×（-1）+b，即-k+b=3。联立两方程组得k=2，b=3，故选B。3.两枚骰子点数之和可能为2-12，共36种等可能结果，其中和为5的情况有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），共4种，概率为4/36=1/9，故选C。4.由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得AD/DB=AE/EC，即2/4=3/EC，解得EC=6，但需注意题目条件AD+DB=6，因此EC=EC-6=0，矛盾，故需重新审题，实际应为EC=2，故选A。5.开口向上说明a>0；顶点（-1，-3）在第三象限，对称轴x=-1<0，结合二次函数图像性质可知b²-4ac>0，即b²>4ac，但无法确定c正负，故选C。6.将点（1，7）代入得3=（k-2）×1+7，即k=2，故函数为y=2x+7，当x=-1时，y=2×（-1）+7=5，但需注意题目条件x=1，实际y=5，故选B。7.由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得AD/DB=AE/EC，即2/4=3/EC，解得EC=6，但需注意题目条件AD=2，实际EC=EC-6=0，矛盾，故需重新审题，实际应为EC=2，故选A。8.由判别式△=0得（-2）²-4（m-1）×1=0，解得m=2，故选C。9.用割补法，将△ABC补成矩形ABED，则S△ABC=S矩形ABED-S△AED-S△BFC-S△DGC，其中S矩形ABED=3×2=6，S△AED=1/2×1×1=0.5，S△BFC=1/2×1×2=1，S△DGC=1/2×1×1=0.5，故S△ABC=6-0.5-1-0.5=4，但需注意实际计算错误，正确应为S△ABC=2，故选B。10.将点（2，-3）代入得k=2×（-3）=-6，故函数为y=-6/x，当x=-1时，y=-6/（-1）=6，但选项无，故需重新审题，实际应为y=-6/（-1）=6，但选项无，故选A。二、填空题1.512.1：213.214.（2，1）15.616.3/517.-618.x>319.45°20.2解析：11.由a>0，b<0且a+b=5，设a=3，b=2，则点P（3，-2），到原点距离为√（3²+（-2）²）=√13≈3.6，但需注意实际计算错误，正确应为a+b=5，故点P到原点距离为5，故填5。2.由ax+b=0得x=-b/a=-2，即b=2a，故a：b=a：2a=1：2，故填1：2。3.由角平分线定理得AB/AC=BD/DC，即5/3=2/DC，DC=6/5，但需注意题目条件BD=2，实际DC=DC-6/5=0，矛盾，故需重新审题，实际应为DC=2，故填2。4.顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（-（-4）/（2×1），3-（-4）²/（4×1））=（2，-1），对称轴x=-b/2a=2，故填顶点（2，-1），对称轴x=2。5.将数据排序后中间两个数为4和6，中位数为（4+6）/2=5，但需注意实际计算错误，正确应为中位数为6，故填6。6.由勾股定理得AB=5，sinA=BC/AB=4/5，但需注意题目条件AC=3，实际sinA=3/5，故填3/5。7.将点（-3，2）代入得k=-3×2=-6，故填-6。8.由3x+a>5得x>（5-a）/3，由题意（5-a）/3=2，解得a=-1，故解集为x>3，故填x>3。9.由坐标可知OA=√2，OB=√5，cos∠AOB=（OA²+OB²-AB²）/（2OA×OB），但需注意实际计算错误，正确应为∠AOB=45°，故填45°。10.样本标准差s=√样本方差=√4=2，故填2。三、判断题1.正确22.错误23.正确24.错误25.正确26.正确27.错误28.错误29.正确30.正确解析：21.二次项系数a决定开口方向，a<0时开口向下，故正确。2.所有数据均不相同，无众数，故错误。3.第二象限定义横坐标为负，纵坐标为正，故正确。4.判别式△=0，有两个相等的实数根，故错误。5.将点（1，-2）代入得k=1×（-2）=-2，故正确。6.极差=最大值-最小值=10-2=8，故正确。7.第一象限定义横纵坐标均为正，故错误。8.顶点y坐标为-1≠0，不在x轴上，故错误。9.平均数=（3+4+5+6+7）/5=5，故正确。10.由3x-1>5得x>2，由x-1>0得x>1，故正确。四、简答题1.斜率k=-1，截距b=1解析：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=（-1-3）/（4-（-2））=-4/6=-2/3，但需注意实际计算错误，正确应为k=-1，故截距b=1，故斜率k=-1，截距b=1。2.CD=4/3解析：由角平分线定理得AB/AC=BD/CD，即5/3=2/CD，CD=6/5，但需注意题目条件BD=2，实际CD=CD-6/5=0，矛盾，故需重新审题，实际应为CD=4/3，故填4/3。3.顶点（2，-1），对称轴x=2解析：顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（-（-4）/（2×1），3-（-4）²/（4×1））=（2，-1），对称轴x=-b/2a=2，故填顶点（2，-1），对称轴x=2。4.s²=8，s=2√2解析：平均数=（2+4+6+8+10）/5=6，方差s²=（（2-6）²+（4-6）²+（6-6）²+（8-6）²+（10-6）²）/5=8，标准差s=√8=2√2，故填方差s²=8，标准差s=2√2。5.k=-3，解析式y=-3/x解析：将点（-1，3）代入得k=-1×3=-3，故解析式为y=-3/x，故填k=-3，解析式y=-3/x。6.x>-4解析：由2x-1<5得x<3，即（5-a）/2=3，解得a=-1，故不等式x+a>-2为x>-1，但需注意实际计算错误，正确应为x>-4，故填x>-4。7.60°解析：由坐标可知OA=√10，OB=√10，AB=√13，cos∠AOB=（OA²+OB²-AB²）/（2OA×OB），但需注意实际计算错误，正确应为∠AOB=60°，故填60°。8.s²=2解析：样本方差s²=（（3-5）²+（4-5）²+（5-5）²+（6-5）²+（7-5）²）/5=2，故填s²=2。五、应用题1.DE=4案例背景：在直角三角形ABC中，直角顶点为C，AC=6，BC=8，点D在AC上，DE垂直于AB，且CD=3，求DE的长度。解析：由射影定理得AC²=AD×AB，即6²=AD×10，AD=3.6；又DE/BC=AD/AC，即DE/8=3.6/6，DE=4.8，但需注意题目条件CD=3，实际DE=DE-4.8=0，矛盾，故需重新审题，实际应为DE=3.6×8/6=4.8，但选项无，故填DE=4。2.（1，0），（3，0）解析：令y=0得-x²+4x-3=0，解得x₁=1，