6.13 稍复杂的百分数问题（1）教学设计 小学六年级数学苏教版

6.13稍复杂的百分数问题（1）教学设计小学六年级数学苏教版一、教学内容与核心素养定位本节内容选自苏教版2012版六年级上册第六单元“百分数”中的第13课时，课题为“稍复杂的百分数问题（1）”。本课时是学生在已经掌握“求一个数是另一个数的百分之几”“求一个数的百分之几是多少”以及“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”这三类基本百分数应用题之后，进一步学习需要两步甚至三步计算的百分数实际问题。本课的核心不在于机械套用公式，而在于引导学生经历“分析数量关系—确定单位‘1’—构建等量关系—选择算法”的完整思维过程，从而真正理解百分数应用题的结构特征。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域第二学段的要求，本课教学应着重发展学生的“数量关系”意识，帮助学生在具体情境中抽象出百分数的乘法模型和除法模型，并能运用这些模型解决生活中的实际问题。同时，本课内容天然承载着“用数学的眼光观察现实世界”的功能，教学时需将素材密切联系学生的校园生活、家庭生活和社会生活，让学生感受到百分数在决策与比较中的强大解释力。据此，本课核心素养的生长点聚焦于“数学建模”“运算能力”和“应用意识”三个方面。二、学情研判与教学障碍预判（一）已有知识基础六年级学生已经具备以下知识储备：其一，分数的意义和分数乘除法应用题的解题经验，能够借助线段图分析分数数量关系；其二，百分数与分数、小数的互化技能；其三，基本百分数应用题的解题套路，部分学生已经形成“单位‘1’已知用乘法，单位‘1’未知用除法”的朴素经验。这些经验是本课学习的生长点，但也可能成为思维定式的来源。（二）主要障碍点第一个障碍是“单位‘1’”的隐蔽性。在稍复杂的百分数问题中，单位“1”往往不直接出现在表面文字中，例如“实际比计划节约15%”这样的表述，学生容易混淆“节约的15%”到底是谁的15%。第二个障碍是对“多（少）百分之几”结构的逆向理解。例如“一个数增加20%后是48，求原数”这类问题，学生容易错用乘法直接计算48×20%。第三个障碍是两步问题的中间量建构。面对“先求出多出的部分，再求总和”或“先求出剩余比例，再求具体数值”这样的复合结构，学生缺乏整体规划能力。（三）教学应对策略针对上述障碍，本课采用“表象建构—对比辨析—策略提炼”的递进路径。借助线段图和实物情境，将复杂的数量关系可视化；通过“同题异构”的对比练习，帮助学生破除“见增加就乘、见减少就除”的机械思维；通过归纳提炼，引导学生自觉用“单位‘1’已知或未知”来统领解题方向。三、教学目标设定依据课标要求与学情诊断，本课教学目标确定如下：第一，理解并掌握“稍复杂的百分数问题”的结构特征，能正确识别题中的单位“1”，能灵活运用百分数乘法或除法解决两步计算的百分数实际问题。第二，经历“画线段图—找等量关系—列式解答—检验反思”的完整问题解决过程，发展几何直观和推理意识，提高分析数量关系的能力。第三，在解决现实生活问题（如折扣、涨跌、增产、节约）的过程中，体会百分数在决策中的价值，养成规范检验、自觉回顾的学习习惯。教学重点为：分析稍复杂百分数问题的数量关系，确定合理算法。教学难点为：正确判断单位“1”是否已知，并在两步问题中找准每一步的对应关系。四、教学准备与课时安排本课安排1课时，40分钟。教学媒体准备：多媒体课件（含动态线段图、百分数条形示意图）、纸质学习单（每人一张）、彩色粉笔（红、黄、白三色）。学习单上预印了三组线段图框架，供学生作图使用。课堂练习设计为三个层次，基础层（模仿练习）、提高层（变式练习）、拓展层（开放题），分别对应不同的学力水平。五、教学过程设计与意图说明（一）激活经验，冲突导入（约5分钟）上课伊始，教师利用PPT呈现学校食堂的采购数据：上个月食堂用去大米800千克，这个月比上个月多用了25%。教师请学生口头列式，并追问：“这里是谁的25%？”学生已有经验可以回答出“是上个月的25%”，并快速计算出这个月用去1000千克。教师肯定学生的回答，然后在原题基础上进行加工：出示变式题——“食堂这个月用去大米1000千克，比上个月多用了25%。上个月用去大米多少千克？”此时学生中会出现两类反应：一类是机械地列式1000×25%＝250千克，再求1000－250＝750千克；另一类是利用已有方程经验设上个月为x千克，列出方程x＋25%x＝1000。教师并不急于否定第一种做法，而是请不同思路的学生分别展示解法，并组织全班讨论：为什么同样的“比上个月多25%”，两道题的做法不同？问题究竟出在哪里？此环节的设计意图在于制造“熟悉的陌生感”，利用一道变式题打破学生原有的“单位‘1’已知就乘、未知就除”的简单二分法，激发认知冲突。教师将学生暴露出的两种典型方法呈现在黑板两侧，为后续对比分析提供真实素材。（二）自主探究，建构模型（约15分钟）1.依托线段图，明确数量关系教师引导学生回到例题，完整出示例题：“某工厂去年实际用煤360吨，比计划节约了10%。计划用煤多少吨？”教师先要求学生默读两遍题目，随后抛出三个层层递进的自学提示问题：谁是单位“1”？“节约了10%”是从哪里节约的？要求计划用煤，能直接列式计算吗？接着，学生在学习单上独立画出线段图。教师在巡视中发现多数学生已经能够画出表示计划用煤的整条线段，但在表示“实际比计划节约10%”这一部分时，许多学生不知道应该在实际线段还是计划线段上截取。此时教师邀请一名学生利用实物投影展示自己的线段图，并用红色粉笔重点标注出单位“1”，再用黄色粉笔标注出节约的10%部分，最后标注剩余的实际部分。在线段图完整呈现之后，教师引导学生观察并口述等量关系：计划用煤量减去计划用煤量的10%等于实际用煤量，也就是计划用煤量的（1－10%）等于360吨。教师将这一等量关系书写于黑板中央，并用彩色粉笔将“1－10%”圈出，强调这个括号内的结果表示“实际占计划的百分之几”。2.对比算法，沟通解法联系教师在引导学生列出方程并解出结果后，并不急于强调算术方法，而是再次回到先前导入环节的两道变式题，将三道题放到同一个结构框架里进行对比。板书呈现三组关系式：第一题（直接乘）：800×（1＋25%）＝1000千克第二题（未知单位“1”）：x×（1＋25%）＝1000，解得x＝800千克第三题（节约型）：x×（1－10%）＝360，解得x＝400吨教师请学生横向观察三个式子，找出共同的数学表达：都是“单位‘1’的量乘一个百分数等于对应量”。教师随即问出关键性问题：“什么情况下直接乘？什么情况下需要设未知数列方程解答？”学生经过讨论后逐渐明确：当单位“1”已知时，直接用乘法求出对应量；当单位“1”未知时，需要设单位“1”为x，利用等量关系列方程求解，或者用除法“对应量除以对应百分数”来求。这一环节是整堂课的核心部分。教师以三道题的横向对比，帮助学生将“已知乘、未知除”这一朴素经验提升为“百分数乘除法模型”的系统认知，同时沟通了方程思维与算术思维的联系，体现了解法多样化与优化的统一。3.即时巩固，内化建模教师呈现两道即时练习，要求学生先画出线段图再解答。练习一：一件毛衣现价186元，比原价降低22%。原价是多少元？练习二：某农场去年收小麦480吨，今年比去年增产15%。今年收小麦多少吨？两道题分别对应“降低”和“增产”两种常见情境，且一为未知单位“1”、一为已知单位“1”，形成鲜明的结构对比。学生在独立完成后，同桌交换检查线段图和等量关系式，教师请两名学生上台展演，重点检查线段图中对“降低22%”和“增产15%”的标注是否准确。教师根据展演情况，引导学生归纳出两个关键结论：第一，找单位“1”要看“比”字后面的量；第二，解题前先判断“1−百分之几”或“1＋百分之几”所代表的含义。（三）变式深化，突破难点（约10分钟）4.连续变化问题引入教师出示一个更复杂的情境：“一款手机原价2000元，先降价10%，再涨价10%，现在的价格比原价高还是低？”这个问题具有很强的迷惑性，不少学生凭直觉认为“降10%再涨10%肯定回到原价”。教师组织学生独立计算，再进行小组交流。计算过程呈现如下：降价后的价格为2000×（1−10%）＝1800元，再涨价后的价格为1800×（1＋10%）＝1980元，最终比原价少了20元。学生在计算结果面前十分惊讶，教师顺势追问：“为什么看起来涨的和降的一样多，结果却不同？”引导学生体会到：两次变化的单位“1”不同，第一次的单位“1”是原价2000元，第二次的单位“1”是降价后的1800元，所以涨价的10%比降价的10%要少。此问题的设计意图在于打破学生对百分数“对称增减”的直觉错误，深化对单位“1”相对性的理解。教师同时将这一规律的实质板书为：a×（1−10%）×（1＋10%）＝a×（1−10%×10%）＝a×0.99，帮助学生感悟百分数连乘中单位“1”变化带来的非线性影响。5.对比结构训练教师呈现下面两道题目，让学生口述解题思路，不要求笔算。题目一：一本书已经看了45%，还剩110页未看。这本书共有多少页？题目二：一本书共200页，第一天看了全书的30%，第二天看了全书的25%。还剩多少页未看？先让学生独立完成，然后进行同桌交流。教师重点帮助学生对比发现：题目一是单步骤逆向题，关键是将“剩下55%”转化为对应110页；题目二虽然是两步题，但因为单位“1”始终都是全书总页数200页，所以可以将两个百分数连续相乘或先相加再乘，本质上是乘法分配律在百分数中的应用。这一对比揭示了“稍复杂”问题的两种基本类型：一类是“单一单位‘1’的连续运算”，另一类是“单位‘1’未知的逆向归一”。（四）分层练习，综合应用（约7分钟）本环节设置三个层次的闯关练习，学生根据自身学力选择完成。第一层（基础题）：一台冰箱原价3200元，现打八五折出售，现价比原价便宜多少元？此题直接考察单位“1”已知时，连续求两个量之差的简单两步计算。第二层（提高题）：某工厂五月份用水240吨，六月份比五月份节约了15%。七月份因天气炎热，用水量比六月份增加了25%。七月份用水多少吨？此题需要先求出六月份用水量，再在此基础上增加25%，两步运算的单位“1”不同，属于易错题。第三层（开放题）：王阿姨买了一套衣服，上衣和裤子的总价是360元，其中裤子的价格是上衣的80%。上衣和裤子各多少钱？此题允许学生用方程、算术或按比例分配求解，鼓励一题多解，重点检查学生对“上衣价格＋80%上衣价格＝360”这一等量关系的构建能力。学生完成练习后，教师投影展示不同层次学生的解法，重点点评第二题的易错环节：部分学生直接列式240×（1−15%＋25%）＝240×110%，忽略了两次百分比的单位“1”不同，不能直接相加减。教师利用这个典型错误强化认知：“百分数只有面对同一个单位‘1’时才能直接相加减。”（五）课堂回顾，结构梳理（约3分钟）教师引导学生围绕三个问题回顾本课：今天学的百分数问题和以前有什么不同？用什么方法来分析这类问题最可靠？列方程和列除法算式之间有什么联系？学生自由发言后，教师用结构化语言总结：凡是稍复杂百分数问题，都可以通过“一找（找单位‘1’）、二画（画线段图）、三列（列等量关系式）、四解（列式解答）”四步流程解决。其中最关键的一步永远是“一找”，因为单位“1”决定了运算方向和每一步的对应关系。最后，教师布置家庭作业，作业分为必做题和选做题两类。必做题是课本练习中的基础应用内容，内容包括求增减幅度、已知部分求整体；选做题则要求学生利用周末调查本地超市某种商品连续两次调价的实际数据，计算出最终价格变化率，并以书面形式记录分析过程。这项作业将数学学习延伸到社会实践，既巩固建模能力，又培育数据意识。六、教学评价设计本课评价采取过程性评价与终结性评价相结合的方式。过程性评价重点关注学生课堂上的线段图绘制质量、数量关系表述的准确性以及小组交流中的参与度。教师设计一张简便的评价观察表，从“是否能准确找出单位‘1’”“是否能正确画出线段图”“是否能独立构建等量关系”“是否能清晰说明每一步的算理”四个维度进行等级