【新教材】人教版（2024）七年级上册数学6.3 角 教案

第第页【新教材】人教版（2024）七年级上册数学\o"6.1几何图形"6.3角教案课题：6.3.1角的概念教学目标1.通过丰富的实例，理解角的有关概念，从运动的观点理解平角、周角.经历运用图形描述现实世界的过程，通过由学生观察实物图形抽象出角的概念，培养学生的抽象概括能力.2.掌握角的表示方法及方位角的相关概念和画法.3.认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算.重点难点角的概念和表示方法，画表示方位角的射线及度、分、秒的换算.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、情境导入在日常生活中，角的实例随处可见.例如，钟面上的时针与分针、棱锥相交的两条棱、三角尺两条相交的边线，等等，都给我们以角的形象.小学的时候我们学习过角，你还记得角的概念是什么吗？观察图形，你能在图中找到角吗？二、合作探究探究点1角的相关概念问题1我们已经了解了生活中角的形象，那么什么样的图形才是角呢？角及其相关概念（静态）：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边问题2角可以怎样表示？试着填一填下面的表格.角的表示方法问题3如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎样表示呢？不能把∠α记作∠O，因为以O为顶点的角不止一个.∠α还可以用∠AOB来表示.问题4（1）角还有其他的定义方法吗？角的概念（动态）：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形（2）射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？如图，射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置成一条直线时，形成平角；继续旋转，OB和OA重合时，形成周角.【对应训练】1.下面的四个图形是角的是④（填序号）.2.下列四个图中，能用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的是（A）探究点2角的度量和单位换算问题1如图，我们常用量角器量角，并且知道角的度量单位是度，除了度，还有别的度量单位吗？还有分、秒这样的度量单位.问题2（1）我们如何理解度、分、秒呢？图形相关概念把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″度、分、秒是常用的角的度量单位.（2）比照上面的定义，若∠α的度数是48度56分37秒，则可记作∠α＝48°56′37″.问题3结合上面度、分、秒的相关定义，填一填下面的空.试一试：借助三角尺，可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角；借助量角器，可以画出任何给定度数（如36°，108°）的角.大家动手画一画！【对应训练】教材P172练习.探究点3方位角问题1在小学我们学过八大方向，它们是如何表示的？学生自由作答.问题2如图中射线OM和射线ON表示的方向，还有些角度不是刚好在八大方向上，这些角度我们如何更为准确地表示其方向呢？学生自由发言即可.知识引入：方位角概念用角度和方向表示方位的角形成以第一个方向（正北或正南）为角的始边向第二个方向（正东或正西）转动所形成的角表示规则（1）一般以正北或正南的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度；（2）习惯上把北或南写在前，把东或西写在后，用两个方向表示，方位角的度数为两条射线的夹角的度数问题3东北、东南、西北、西南四个方向可如何用方位角表示？问题2中射线OM和射线ON表示的方位角是什么？问题2中射线OM表示的方位角为南偏西25°，射线ON表示的方位角为北偏东30°.三、例题分析例（教材P171例1）如图（1），货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.解：如图（2），以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.同样的方法可以画出货轮C和海岛D，如图（2）所示（让学生动手自己完成）.【对应训练】如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上，在图上找到灯塔S的位置.解：灯塔S的位置如图所示.课堂练习1.下列关于角的说法正确的有（）①角是由不共端点的两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.A.1个B.2个C.3个D.4个2.钟表是我们日常生活中常用的计时工具.如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格.据此回答下列问题：（1）分针每分钟转°，时针每分钟转°；当时间为3：30时，时针和分针的夹角为°.（2）从2：00开始，几分钟后分针第一次追上时针？课堂总结回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.对角的概念有哪两种描述？2.如何表示一个角，有哪些注意事项？3.常用的角的度量单位有哪些，它们之间如何换算？4.如何画表示方位角的射线？（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：6.3.2角的比较与运算第1课时角的比较与运算教学目标1.能比较两个角的大小，会计算角的和、差.2.会利用三角尺拼角，锻炼动手动脑能力，培养合作交流意识.重点难点学会比较角的大小的方法，并且能够进行简单的角度加减运算.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、情境导入有一天李明和王芳各带了一把折扇（状态如下）.同学们有办法帮他们进行判断吗？学习完今天这节课，大家就能轻松找到答案了！合作探究探究点1角的大小比较问题我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？类比线段长短的比较，你能得出哪些比较方法？度量法和叠合法.（1）现有如图两个角∠1和∠2，请你用量角器量出它们的度数，并比较它们的大小.通过用量角器进行度量，得到∠1＝55°，∠2＝40°.因为55°＞40°，所以∠1＞∠2.下面是用叠合法比较两个角的大小所得到的不同情况，请你结合图形，判断两个角的大小.【对应训练】如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各式错误的是_____（填序号）.①∠AOB＜∠AOD；②∠BOC＜∠AOB；③∠COD＜∠AOD；④∠AOB＜∠AOC.解析：根据用叠合法比较两个角的大小分析可知①②③正确，④错误.探究点2角的和、差运算回顾：问题1（教材P173思考）类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？教师总结：共顶点的几个角，可进行加减.问题2（教材P173探究）参考下图，借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？列表总结：追问画出的角的度数有什么规律吗？教师总结：（1）用三角尺画特殊角，关键在于把它写成30°，45°，60°，90°角的和或差.（2）凡是15°的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角.【对应训练】教材P174练习第1，2题.三、例题分析例（教材P174例2）如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数.分析：AB是直线，∠AOB是平角，∠BOC与∠AOC的和是∠AOB.解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝126°43′.【对应训练】教材P174练习第3题.课堂练习1.计算：（1）52°20′＋39°58′21″；（2）180°－52°18′36″.2.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝（D）A.120°B.135°C.150°D.180°培优点求折叠问题中的角度请仔细观察如图所示的长方形纸片的折叠过程，回答下列问题：（1）∠2的度数为；（2）∠1与∠3的数量关系为；（3）∠1与∠AEC的数量关系为.课堂总结回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.比较两个角大小的方法有哪些？2.借助三角尺利用角的和、差可以画出哪些角？3.如何进行度、分、秒的加、减运算？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：6.3.2角的比较与运算第2课时角的平分线教学目标1.认识角的平分线及角的等分线，能通过折纸法画出一个角的平分线，培养几何直观；2.掌握度、分、秒的乘、除运算，提高运算能力；3.会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.重点难点利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、回顾导入前面的课时，我们就学过：在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的交点就是线段的中点.如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫作线段AB的中点.类似地，我们把一个角折叠，会得到什么呢？就让我们一起进入今天这节课的学习吧！合作探究探究点角的平分线问题1如图，如果∠AOB＝∠BOC，类比线段的中点，∠AOB，∠BOC和∠AOC之间存在什么样的关系？填一填：∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝eq\f(1,2)∠AOC.概念引入：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.教师总结：问题2类似地，如图，OB，OC是∠AOD内的两条射线，当存在下列关系时，OB，OC是∠AOD的三等分线.∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝eq\f(1,3)∠AOD（或∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD）.三、例题分析例2（教材P175例3）把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？解：360°÷7＝51°＋3°÷7＝51°＋180′÷7≈51°26′.答：每份是约51°26′的角.【对应训练】教材P175练习第1，3题.课堂练习（方程思想）如图，已知∠AOC∶∠BOC＝1∶4，OD平分∠AOB，且∠COD＝33°.求∠AOB的度数.解：因为∠AOC∶∠BOC＝1∶4，所以可设∠AOC＝x°，则∠BOC＝（4x）°，所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝（5x）°.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠BOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝（2.5x）°.因为∠COD＝∠AOD－∠AOC＝33°，所以2.5x－x＝33，解得x＝22，所以∠AOB＝（5x）°＝110°.2（整体思想）如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.求∠EOD的度数.解：（1）因为∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（∠BOC＋∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×120°＝60°.课堂总结回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.角的平分线是什么？其中有哪些数量关系？2.什么是角的等分线？其中有哪些数量关系？3.如何进行度、分、秒的乘除运算？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：6.3.3余角和补角教学目标1.理解余角、补角的概念；2.探索并掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等；3.通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理.重点难点角的互余、互补关系及其性质.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、情景引入意大利著名建筑比萨斜塔的塔身与地面、塔身与垂直于地面的方向会形成夹角.图中的∠1和∠2、∠3和∠4分别有怎样的数量关系呢？经测量可知：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°.学完本节课，你就知道啦！下面我们一起走进本节课的学习.二、合作探究探究点1余角和补角的概念问题1（1）在一副三角尺中，大家观察一下每个三角尺的度数有什么特点？每个三角尺都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°（30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°）.知识引入：（2）钝角有余角吗？钝角没有余角，只有锐角有余角.问题2类似地，如果两个角的和等于180°（平角），这两个角有什么数量关系？知识引入：追问改变问题1，2中∠1与∠2（或∠3与∠4）的位置关系，它们仍然互余（互补）吗？因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，所以∠1和∠2仍互余，∠3和∠4仍互补.例1（教材P177例4）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.图中哪些角互为余角？分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以所以∠COD和∠COE互为余角.同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角.【对应训练】教材P177练习第1，2，4题.探究点2余角和补角的性质问题1已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3的大小有什么关系？请说明理由.因为∠1与∠2互为余角，所以∠2＝90°－∠1.因为∠1与∠3互为余角，所以∠3＝90°－∠1，所以∠2＝∠3.教师归纳：同角（等角）的余角相等.问题2已知∠1与∠2互为补角，∠1与∠3互为补角，那么∠2与∠3的大小有什么关系？请说明理由.因为∠1与∠2互为补角，所以∠2＝180°－∠1.因为∠1与∠3互为补角，所以∠3＝180°－∠1，所以∠2＝∠3.教师归纳：同角（等角）的补角相等.例题讲解例2如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1与∠2有什么数量关系？为什么？解：∠1=∠2.理由：因为∠AOB＝∠COD＝90°，所以∠1＋∠BOC＝90°，∠2＋∠BOC＝90°，所以∠1＝∠2.【对应训练】3.如图，点C，O，E在同一条直线上，∠AOB＝∠EOD＝90°.比较∠1与∠3的大小，并说明理由.解：∠1=∠3.理由：因为∠DOE＝90°，所以∠DOC＝180°－∠DOE＝90°.因为∠DOC＝∠AOB＝90°，所以∠DOC－∠2＝∠AOB－∠2，所以∠1＝∠3.例3一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数.解：设这个角的度数为x°.根据题意得90－x＋3x＝180.解得x＝45.所以这个角的度数是45°.【对应训练】教材P177练习第3题.四、课堂总结回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.余角和补角的概念是什么？2.余角和补角的性质是什么？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：综合与实践设计学校田径运动会比赛场地教学目标1.了解环形跑道的基本结构，能用数学的思维分析要素之间的关系并发现规律，能综合运用几何、代数知识来计算并确定不同情况下环形跑道的起跑线位置；2.了解田赛各项目比赛中的各项要求，提高学生的应用意识，培养学生跨学科运用知识的能力.重点难点1.了解400m标准跑道各项特征及各赛程比赛跑道起点的情况.2.了解田赛各项目比赛对于场地的各项要求.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、情景导入在400m比赛中，为什么运动员站在不同的起跑线上？二、合作探究任务1径赛项目跑道的设计任务准备标准跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成，两个半圆形跑道合起来就是一个圆.三条重要的跑道数据如下：任务解决问题1（1）上面给出了一个标准的400m跑道的直道长，说一说第一分道的总长度是多少米（π取3.14159）？第一分道的总长度：圆的周长＝πd＝3.14159×72.6≈228.08（m），跑道全长＝圆的周长＋直道长×2≈228.08＋85.96×2＝400（m）.（2）弯道中各分道的长度是多少米？（填写下面表格，第1分道的数据已经给出）你能找到其中蕴含的规律吗？分析：弯道中各分道的长度就是求圆的周长.规律：每一个外侧的弯道都比与其相邻的内侧弯道长约7.85m.问题2在一个标准的400m跑道内，100m，200m，400m，800m，1500m等比赛跑道的起点相同吗？为什么会出现这种情况？不相同.因为各赛程所经过的弯道数有差异.问题3如何在学校400m跑道内划定400m跑比赛的起跑线？4×100m接力跑比赛的起跑线又该如何划定？画出它们的示意图.4×100m接力跑比赛可类比进行，示意图略.问题4若学校只有300m跑道，如何划定200m跑比赛的起跑线？画出示意图.参考数据：直道