九年级数学下册全册教案

第二十六章反比例函数26.1反比例函数26.1.1反比例函数教学目标及重、难点：1.理解并掌握反比例函数的概念.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式.3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.预习导学：自学指导：阅读课本P2-3，完成下列问题.知识探究1.小学里我们知道：如果两个变量x、y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系.例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt=s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系.2.一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数.其中，x是自变量，y是因变量.3.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化.解：v=(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化.解：y=(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位：平方千米/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.解：S=(4)上面三个函数关系式形式上有什么共同点?解：都是y=的形式，其中k是常数,k≠0.4.形如y=(k是常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是因变量.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.5.y=，y=kx-1，xy=k是反比例函数的三种表现形式.其中k是常数，k≠0.自学反馈下列函数中，反比例函数是；每一个反比例函数相应的k值是多少?①y=2x+1;②y=;③y=;④y=;⑤xy=3;⑥2y=x;⑦xy=-1.教师点拨：判断是否是反比例函数，一定根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式.合作探究：活动1小组讨论例1已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.(1)写出y与x的函数关系式;(2)求当x=4时y的值.分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值.解：(1)设y=，因为当x=2时y=6，则有6=.解得：k=12,∴y=.(2)把x=4代入y=，得y==3.例2已知y与x2成反比例，并且当x=-2时，y=2，那么当x=4时，y等于()A.-2B.2C.D.-4分析：已知y与x2成反比例，∴y=(k≠0).将x=-2，y=2代入y=可求得k，从而确定该函数表达式.解：∵y与x2成反比例，∴y=(k≠0).当x=-2时y=2,∴2=.解得：k=8,∴y=.把x=4代入y=得：y=.所以选择C.活动2跟踪训练1.一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别为xcm、ycm,那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？3.当m时，y=3xm-7是反比例函数.4.如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y与x具有怎样的函数关系？课堂小结1.根据反比例函数的意义判断是否是反比例函数.2.求反比例函数的解析式.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈反比例函数是③④⑤⑦③y=中k=；④y=中k=；⑤xy=3中k=3；⑦xy=-1中k=-1.【合作探究】活动2跟踪训练1.表达式：y=；是反比例函数.2.表达式：m=；是反比例函数.3.64.由题意得：y=,z=.y==k1÷=k1·=x.∴y是x的正比例函数.26.1.2反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质教学目标及重、难点1.会画出反比例函数的图象.2.并能说出它的性质.预习导学：自学指导：阅读课本P4-6，完成下列问题.知识探究1.一次函数的表达式是：y=kx+b，它的图象是一条直线.2.一次函数y=kx+b当k>0时，y随x的增大而增大.当k<0时，y随x的增大而减小.3.作函数图象的一般步骤是：列表、描点、连线.自学反馈1.反比例函数的表达式是：.2.类比一次函数的作图象法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：、、.3.反比例函数图象是.4.在反比例函数y=(k≠0,k为常数)中，当k>0时，双曲线位于象限；当k<0时，双曲线位于象限.合作探究：活动1小组讨论例1画出反比例函数y=和y=的函数图象.解:函数图象画法→描点法：列表→描点→连线x…-6-5-4-3-2-1123456…y=…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21…y=…11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1…自学反馈1.作反比例函数图象时应注意哪些问题？列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样即可简化计算，又便于对称描点；列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确的表达函数变化趋势；连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性.2.函数y=的图象在第一、第三象限；每个象限内y随x的增大而减小.3.函数y=的图象在第二、第四象限，每个象限内y随x的增大而增大.教师点拨：(1)列表时自变量取值要均匀和对称.(2)x≠0.(3)选整数较好计算和描点.例2在同一坐标系画出反比例函数y=和y=-的函数图象.解：列表→描点→连线1.观察上图，回答问题：(1)每个反比例函数的图象都是由两支曲线组成的.(2)函数图象分别位于哪几个象限？y随的x变化有怎样的变化？解：y=的图象位于第一、第三象限.每个象限内y随x的增大而减小y=-的图象位于第二、第四象限.每个象限内y随x的增大而增大.2.综合例1和例2可知：当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内,每个象限内y随x的增大而减小.当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内，每个象限内y随x的增大而增大.3.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴有两条：直线y=x和y=-x.对称中心是原点.活动2跟踪训练1.下面给出了反比例函数y=和y=-的图象，你知道哪个是y=-的图象吗？为什么？2.反比例函数y=-的图象大致是()3.(1)函数y=的图象在第象限,在每一象限内，y随x的增大而.(2)函数y=-的图象在第象限,在每一象限内，y随x的增大而.(3)函数y=,当x>0时,图象在第象限,y随x的增大而.4.已知反比例函数y=.(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k;(2)若在每一象限内，y随x增大而增大，则k.5.函数y=kx-k与y=在同一直角坐标系中的图象可能是()6.设x为一切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总是增大的函数是()A.y=-5x-1B.y=C.y=-2x+2D.y=4x教师点拨：牢记函数图象的性质，严格按照函数图象性质判断.课堂小结反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是双曲线；当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小.当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈1.y=(k≠0,k为常数)2.列表描点连线3.双曲线4.第一、第三第二、第四【合作探究】活动2跟踪训练1.第二个是y=-的图象.因为y=-中的k<0,图象在第二、四象限.2.D3.(1)一、三减小(2)二、四增大(3)一减小4.(1)<4(2)>45.D6.C第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用教学目标及重、难点：1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力. 预习导学：自学指导：阅读课本P7-8，完成下列问题.知识探究1.填表分析正比例函数和反比例函数的区别.函数正比例函数反比例函数解析式y=kx(k≠0)y=（k≠0）图象形状直线双曲线k>0位置一、三象限一、三象限增减性y随x的增大而增大每个象限内y随x的增大而减小k<0位置二、四象限二、四象限增减性y随x的增大而减小每个象限内y随x的增大而增大合作探究：活动1小组讨论例1已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(-2，-4)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：(1)设这个反比例函数为y=，∵图象过点A(2，6)，∴6=.解得k=12.∴这个反比例函数的表达式为y=.∵k>0,∴这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.（2）把点B、C、D的坐标代入y=，可知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上.例2如图是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a，b)和B(a′，b′)，如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？解：(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限.∵函数的图象在第一、第三象限，∴m-5＞0.解得m＞5.(2)∵m-5＞0，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，∴当a＞a′>0和0>a>a′时b＜b′；当a>0>a′时b>b′.活动2跟踪训练1.反比例函数y=的图象经过(2，-1)，则k的值为.2.反比例函数y=的图象经过点(2，5)，若点(1，n)在反比例函数图象上，则n等于()A.10B.5C.2D.-63.下列各点在反比例函数y=-的图象上的是()A.(-，-)B.(-，)C.(，)D.(，)4.在反比例函数y=的图象上有三点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是()A.y3>y1>y2B.y3>y2>y1C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2教师点拨：因为k<0，所以图象在二、四象限；y随x的增大而增大.又x1>x2>0>x3，所以y1、y2在第四象限且0>y1>y2；y3在第二象限且y3>0，所以y3>y1>y2.5.如图,点P是反比例函数y=图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.教师点拨：因为点P在图象上，所以n=，即mn=2；故S△ABC=OD·PD=mn=1.6.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是.教师点拨：设函数为y=，而P在图象上，所以k=mn,又阴影部分面积是|mn|=3，函数图象在第二象限，所以k<0,即k=-3,所以函数关系是为y=-.课堂小结反比例函数图象和性质的综合运用.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【合作探究】活动2跟踪训练1.-22.A3.B4.A5.16.y=-26.2实际问题与反比例函数教学目标及重、难点：1.运用反比例函数解决实际问题.2.把实际问题转化为反比例函数.预习导学：自学指导：阅读课本P12-15，完成下列问题.知识探究复习回顾：(1)反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是双曲线；(2)当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；(3)当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；(4)画函数图象的方法：列表→描点→连线.自学反馈1.地下室的体积V一定，那么底面积S和深度h的关系是；表达式是.2.运货物的路程s一定，那么运货物的速度v和时间t是；表达式是.3.电学知识告诉我们，用电器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻R有如下关系：PR=U2.这个关系式还可以写成P=,或R=.合作探究：活动1小组讨论例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘进多深？(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两为小数)？解：(1)根据圆柱体的体积公式，有S·d=104.变形得S=即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数(2)把S=500代入S=得：d=20如果把储存室的底面积定为500m2，施工时应向地下掘进20m深.(3)根据题意，把d=15代入S=得：S=≈666.67当储存室的深为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要.例2近视眼镜的度数y(度)与焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m.(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；(2)求1000度近视眼镜镜片的焦距.解：(1)设y=，把x=0.25，y=400代入，得：400=，所以，k=400×0.25=100即所求的函数关系式为y=.(2)当y=1000时，1000=，解得：x=0.1m例3如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象.(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；(2)写出此函数的解析式；(3)若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？解：(1)因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4000×12=48000(m3).(2)因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=.(3)若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V==8000(m3)例4制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作.设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(分钟).据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图所示).已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃.(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？解：（1）当0≤x≤5时，设y=k1x+b,由得∴y=9x+15.当x≥5时，设y=，由x=5时，y=60知k2=300.∴y=.(2)当y=15时，由y=300x，得x=20.故从开始加热到停止操作，共经历了20min.活动2跟踪训练1.A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.(1)火车的速度v(千米/时)和行驶的时间t(时)之间的函数关系是.(2)若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于.2.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是.3.已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为()4.下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是()A.小明完成100m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系B.菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系C.一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系D.压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系5.面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是()6.为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示).现测得药物8分钟燃毕，此室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为：y=34x，自变量的取值范围是：；药物燃烧后y与x的函数关系式为：y=；(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？课堂小结利用反比例函数解决实际问题.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈1.反比例函数S=2.反比例函数v=3.【合作探究】活动2跟踪训练1.(1)v=(2)240千米/小时2.y=3.A4.C5.C6.(1)0≤x≤8(2)30(3)有效，因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克，当到第16分钟含药量开始低于3毫克，这样含药量不低于3毫克的时间共有16-4=12分钟，故有效.第二十七章相似27.1图形的相似第1课时相似图形教学目标及重、难点1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.预习导学：阅读教材P24-25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；自学反馈学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？教师点拨：研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.合作探究：活动1小组讨论例下列各图中哪组图形是相似图形(C)教师点拨：观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.下列说法中，不正确的是()A.两幅比例不同的中国行政地图是相似图形B.两个图形相似与形状有关而与位置无关C.哈哈镜中人的形象与本人是相似的D.同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的2.下列各组多边形每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是.①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形.活动3课堂小结本节课学习的数学知识:形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.本节学习的数学方法:观察类比法.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①形状相同的图形②放大缩小③相似④不相似⑤相似⑥略【合作探究】活动2跟踪训练1.C2.②⑥第2课时相似多边形与比例线段教学目标及重、难点1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.预习导学：阅读教材P26-27，自学“例”，掌握相似多边形的概念及性质，理解并掌握“相似比”的概念，能运用相似多边形的性质进行相关的计算.自学反馈学生独立完成后集体订正①对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于,如=(即ad=bc),那么我们就说这四条线段是.②相似多边形的相等，对应边.③相似多边形的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形.④用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是()A.角A是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对⑤五边形ABCDE的五边长分别为5cm、20cm、30cm、35cm、40cm.另一个和它相似的五边形的最短边长是10cm，则这个五边形的最长边为.教师点拨：第④题注意相似多边形的角的度数相等，对应边成比例；第⑤题注意对对应的理解.合作探究：活动1小组讨论例1在两个相似的五边形中，一个边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？解：设1、2、3、4对应边长为a、b、c、d，根据相似多边形对应边的比相等，则有====，解得a=,b=,c=,d=.∴另一个五边形的周长为：a+b+c+d+8=++++8=24.教师点拨：相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字，最长边对应最长边.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.已知相似的两个矩形中，一个矩形的长和面积分别为4和12，另一个矩形的宽为6，求这两个矩形的面积的比.教师点拨：解决问题要从题中的需要入手，因为矩形的面积等于长与宽的积，而题中已知另一矩形的宽，应求出长.2.下列各组线段中，成比例线段的是()A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、33.已知A、B两地的实际距离AB=5km，画在地图上的距离CD=2cm，则这张地图的比例尺是.教师点拨：图上距离与实际距离的比叫做比例尺.4.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm，那么这次复印的放缩比例为.5.把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为.6.已知三个数，1、2，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是.活动3课堂小结本节学习的数学知识:1.比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如=(即ad=bc)，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段.2.相似多边形的性质:相似多边形对应角相等，对应边的比相等.3.相似比:相似多边形对应边的比.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①另两条线段的比比例线段②对应角成比例③对应边全等④B⑤12米⑥80cm【合作探究】活动2跟踪训练1.1∶42.B3.1∶2500004.4∶15.∶16.略27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学目标及重、难点1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.预习导学：阅读教材P29-31，自学“探究”与“思考”，弄懂相似三角形的概念，掌握平行线分线段成比例定理，理解相似三角形判定的预备定理.自学反馈学生独立完成后集体订正①如果△ABC∽△A1B1C1的相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC的相似比为.②如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；=，=，==.③如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是()A.=B.=C.=D.=④平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形.教师点拨：找准对应线段是关键.合作探究：活动1小组讨论例1如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3,BC∶CD=2∶1,则试求AE∶EC的值.解:∵l1∥l2，∴△AGF∽△BDF，△AGE∽△CDE.∴==，∴AG=BD.又∵=,BC+CD=BD，∴CD=BD.∴==2.即AE∶EC=2.教师点拨：可从AE∶EC出发，只需要证得他们所在的两个三角形相似及他们的相似比即可，而AF与FB所在的两个三角形相似，两个相似关系可以得到线段AG、CD与线段BD的数量关系，从而就可以得出AG与CD的比，即△AGE与△CDE的相似比.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，ED∥BC，EC、BD相交于点A，过A的直线交ED、BC分别于点M、N，则图中有相似三角形()A.1对B.2对C.3对D.4对2.如图，DE∥BC，则下面比例式不成立的是()A.=B.=C.=D.=3.如图，在ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是()A.∠AEF=∠DECB.FA∶CD=AE∶BCC.FA∶AB=FE∶ECD.AB=DC教师点拨：本题除运用相似三角形对应边的比相等外，还应根据图形对比例式进行适当的变形.活动3课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学1】自学反馈①②DEEFAC==③A④相似【合作探究1】活动2跟踪训练1.C2.B3.B第2课时相似三角形的判定定理1,2教学目标及重、难点掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.预习导学：阅读教材P32-34，自学“探究2”、“探究3”、“思考”与“例1”，掌握相似三角形判定定理1与判定定理2.自学反馈学生独立完成后集体订正①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学:这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，≠≠，所以他们不相似.乙同学:这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.教师点拨：注意对应关系，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.合作探究：活动1小组讨论例2如图，DE与△ABC的边AB、AC分别相交于D、E两点，若AE=2cm,AC=3cm,AD=2.4cm，AB=3.6cm，DE=cm，则BC的长为多少？解:∵AE=2cm,AC=3cm,AD=2.4cm,AB=3.6cm,∴==,而∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC.∴=.又∵DE=cm，∴=,∴BC=2cm.教师点拨：运用相似三角形可以进行边的计算.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，在□ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF和△CDE相似，则BF长为多少？教师点拨：在要使判断的两个三角形相似时，有一个角相等的情况下，夹这角的两边的比相等时有两种情形，不要只考虑一种情形，而忽视了另一种情形.2.如图所示，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形()A.1对B.2对C.3对D.4对教师点拨：按照一定的顺序去寻找相似三角形.活动3课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学2】自学反馈①相似②所夹的角③略【合作探究2】活动2跟踪训练1.1.82.C第3课时相似三角形的判定定理3教学目标及重、难点1.掌握相似三角形的判定定理3.2.了解两个直角三角形相似的判定方法.3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.预习导学：阅读教材P35-36，自学“例2”与“思考”，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.自学反馈学生独立完成后集体订正①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相似.②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE=∠B,则△AED∽.理由是.⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？教师点拨：要根据已知条件选择适当的方法.综合探究1：活动1小组讨论例1如图，在△ABC中，∠C=60°,BE⊥AC于E,AD⊥BC于D.求证:△CDE∽△CAB.证明:∵∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE.又∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBE.∴=.又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB.教师点拨：在寻求不到另一个角相等的情况下，寻求夹相等的角的两边的比相等，是解本类题型的有效方法.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点.①求证:△BCF∽△DCE；②若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG∶GC的值.教师点拨：求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似.2.如图所示，在⊙O中，AB=AC，则△ABD∽，若AC=12，AE=8，则AD=.3.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.教师点拨：要考虑到线段的对应分两种情况.综合探究:2：活动1小组讨论例2已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?解:∵∠ABC=∠CDB=90°，（1）当=时,△ABC∽△CDB，此时==，即=.∴BD=.即当BD=时,△ABC∽△CDB；（2）当=时,△ABC∽△BDC，此时==，即=.∴=,BD=.∴当BD=时,△ABC∽△BDC.综上所述，即当BD=或BD=时,这两个三角形相似.教师点拨：本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况.活动2跟踪训练（独立完成后展示学习成果）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，4AC-3BC=0，点P从B点出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，若P、Q分别从B、C同时出发，经过多少秒时，△CPQ与△CBA相似？活动3课堂小结1.本节学习的数学知识:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.2.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.3.本节学习的数学思想:数形结合、分类讨论.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①相等②相似③一个锐角④△ACB略⑤相似略【合作探究1】活动2跟踪训练1.①略②4∶32.△AEB183.或【合作探究2】活动2跟踪训练设经过ts时，△CPQ和△CBA相似，此时BP=2tcm，CQ=tcm，则CP=（8-2t)cm，其中0<t<4.又BC=8cm，4AC-3BC=0，求得AC=6cm.（1）当PQ∥AB时，△CPQ∽△CBA,则=，即=,所以t=2.4.（2）当=时，△CPQ∽△CAB,则=，解得t=.故经过2.4s或s时，△CPQ与△CBA相似.27.2.2相似三角形的性质教学目标及重、难点理解并掌握相似三角形周长的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方预习导学：阅读教材P37-38，自学“探究”、“思考”与“例3”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.自学反馈学生独立完成后集体订正如图，△ABC∽△A′B′C′相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？②△ABC与△A′B′C′中，=,=.③相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于.④相似三角形周长的比等于.⑤相似三角形面积的比等于.教师点拨：在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.综合探究1活动1小组讨论例1如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶S四边形ANME的值为多少？解:连接DC.∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC.∴△ADE∽△ABC,△NDM∽△NBC.∴==,=()2=,=()2=()2=()2=.设S△EMC=a,则S△DMC=S△EMC=a，∴S△EDC=2S△EMC=2a.又∵==2,∴S△BDC=2S△EDC=4a.∴S四边形DBCE=S△BDC+S△EDC=4a+2a=6a,S四边形DBCM=S△BDC+S△DMC=5a.由=,由=,得S△ADE=2a，S△NDM=a.∴S四边形ANME=S△ADE-S△DMN=2a-a=a.∴S△DMN∶S四边形ANME=a∶a=1∶5.教师点拨：解决本题要注意两个方面的问题:一是先求出小三角形与大三角形面积之间的关系；二是运用代数方法来解较好.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(图形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面为1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为.教师点拨：运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.2.如图，在△ABC中，BC=48,高AD=16.它的内接矩形的两邻边EF∶FM=5∶9，长边MF在BC边上，求矩形EFMN的面积.教师点拨：充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.综合探究2活动1小组讨论例2如图，已知:AO为⊙O1的直径，⊙O1与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O上一点G作⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F.①求证:AE是⊙O的切线；②若AB=2,AE=6,求△ODG的周长.解:①证明:连接OE.∵AO是⊙O1的直径，∴∠AEO=90°.∴AE⊥OE.又∵OE是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线，且切点为E.②设⊙O的半径为R，则AO=R+2,OE=R.∵∠AEO=90°,∴AE2+OE2=OA2.∴62+R2=(R+2)2,解得R=8.⊙O1的半径为5，由①可得OE⊥AE.∵FG是⊙O的切线，故OG⊥FG.又∵FG⊥AF,∴OG∥AF.∴∠A=∠GOD.∴Rt△AOE∽Rt△ODG,∴=,即=.∵Rt△AOE的周长为AE+AO+OE=6+10+8=24,∴C△ODC=24×=32.教师点拨：圆中相似的问题一般比较复杂，需要根据题中提供的信息逐步求解，如△ODG的周长，分两个过程:一是寻求与△ODG相似的三角形；再求其周长.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD.①求证:△ABF∽△CEB;②若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积.2.有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，问加式成的铁片的面积为多少cm2?教师点拨：对于本题的两种情形，我们要仔细地进行体会，掌握其区别及计算方法.活动3课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①△ABD∽△A′B′D′△ADC∽△A′D′C′②kk2③相似比相似比④相似比的平方相似比的平方⑤相似比【合作探究1】活动2跟踪训练1.0.81πm22.180【合作探究2】活动2跟踪训练1.①略②242.cm2或18cm227.2.3相似三角形应用举例教学目标及重、难点1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识.2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.预习导学：阅读教材P39-40，自学“例4”，学会运用相似三角性的判定与性质解决实际问题，学会从实际问题中建立数学模型.自学反馈学生独立完成后集体订正①太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成(正比或反比).②太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？综合探究1：活动1小组讨论例1小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21m，当他与镜子的距离CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC=1.6m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m.(注意:根据光的反射定律，反射角等于入射角)解:根据反射角等于入射角，则有∠DEF=∠BEF，而FE⊥AC，∴∠DEC=∠BEA.又∵∠DCE=∠BAE=90°,∴△DEC∽△BEA.∴=.又∵DC=1.6,EC=2.5,EA=21,∴=.∴AB=13.44(m).即建筑物AB的高度为13.44m.教师点拨：从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8m，已知网高为0.8m，要使球恰好能打过网，而且落在离网4m米的位置，则球拍球时的高度h为m.教师点拨：确定相似三角形，再根据相似三角形的性质求出线段的长.2.一束平行的太阳光从教室窗户射入的平面示意图如图，光线与地面所成角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下沿到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上沿到教室地面的距离AC为米.教师点拨：应从实际问题中建立相似的数学模型，将实际问题转化为数学问题.预习导学2：阅读教材P40，自学“例5”，学会运用相似三角性的判定与性质解决实际问题，学会从实际问题中建立数学模型.综合探究:2：活动1小组讨论例2如图，测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求河宽.解:由题意,可得∠B=∠C=90°,∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC.∴=.即AB===100(m).答:河宽AB为100m.教师点拨：证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，求这段河的河宽是多少米？教师点拨：先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ADE∽△ACB,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段DC的长.预习导学3：阅读教材P40-41，自学“例6”，学会从实际问题中建立数学模型，熟练解角度问题.综合探究::3：活动1小组讨论例3如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m.（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值？若为定值，请说明理由；若不是请叙述您的探究方法.解：(1)由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC.∴=，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴=.∴解得AC=.(2)∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC.∴==，即=，即=.∴AC=·OA.同理可得：DA=·O′A.∴DA+AC=(OA+O′A)=是定值.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法:如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m(C、D、N在一条直线上)，颖颖的BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？教师点拨：过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.活动3课堂小结学生试述:这节课学到了些什么？当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学1】自学反馈①正比②相似【合作探究1】活动2跟踪训练1.2.4m2.3m【合作探究2】活动2跟踪训练24m【合作探究3】活动2跟踪训练20.8m27.3位似第1课时位似图形的概念及画法教学目标及重、难点1.正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心.2.在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情.预习导学：阅读教材P47-48，自学“思考”与“探究”，理解位似的概念，会找出位似图形的位似中心，并能按要求将图形进行放大或缩小的位似变换.自学反馈学生独立完成后集体订正①两个多边形不仅，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.②下列说法正确的是()A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似③用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在()A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置教师点拨：位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质.综合探究1：活动1小组讨论例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.解:1.在原图形上取A、B、C、D、E、F、G，在图形外任取一点P；2.作射线AP、BP、CP、DP、EP、FP、GP；3.在这些射线上依次取A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PE′=2PE,PF′=2PF,PG′=2PG；4.顺次连接点A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′、A′.所得到的图形就是符合要求的图形.教师点拨：在作位似图形时，按要求作出各点的对应点后，注意对应点之间的连线，不要错连.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.例1中的位似中心为点,如果把位似中心选在原图形的内部，那么所得图形是怎样的？如果点A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′取在AP、BP、CP、DP、EP、FP、GP的延长线上时，所得的图形又是怎样的？(试着画一画)教师点拨：当位似中心在原图形的外部时，两个图形可能在位似中心的两侧或同侧.2.如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？3.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍.教师点拨：第2小题可根据位似的三要素得出对应线段平行；第3小题可有两种情况，画出其中一种即可.4.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△ABC=8,则S△A′B′C′=.综合探究2：活动1小组讨论例2请画出如图所示两个图形的位似中心.解:如图所示的点O1,就是图1的位似中心.如图所示的点O2，就是图2的位似中心.教师点拨：正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.①画出位似中心点O；②求出△ABC与△A1B1C1的相似比；③以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5.活动3课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①相似平行位似中心②D③D【合作探究1】活动2跟踪训练1.P略2.平行因为位似的两个图形的对应边平行3.略4.2【合作探究2】活动2跟踪训练①略②③略第2课时平面直角坐标系中的位似教学目标及重、难点1.使学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形.2.让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用.预习导学：阅读教材P48-50，自学“探究”与“例”，掌握以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律.自学反馈学生独立完成后集体订正①如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？②在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点坐标的比为.③△ABC和△A1B1C1关于原点位似且点A(-3，4)，它的对应点A1(6，-８)，则△ABC和△A1B1C1的相似比是.④已知△ABC三顶点的坐标分别为A(1,2),B(1,0),C(3,3),以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABC放大得到其位似图形△A1B1C1，则△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1,B1,C1.教师点拨：注意分两种情况.综合探究1：活动1小组讨论例1将图形中的△ABC作下列移动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化.①向上平移4个单位；②关于y轴成轴对称；③以点A为位似中心，放大到2倍.解:①平移后得△A1B1C1，横坐标不变，纵坐标都加4；②△ABC关于y轴成轴对称的图形为△A2B2C2，纵坐标不变，横坐标为对应点横坐标的相反数；③放大后得△AB3C3，A的坐标不变，B3在B的基础上纵坐标不变，横坐标加AB的长，C3的横坐标在C的横坐标的基础上加AB的长，纵坐标在C的纵坐标系的基础上加BC的长.教师点拨：考虑图形在平面直角坐标系中作何种变换，弄清点的坐标的变化情况；作位似变换时，求出顶点坐标即可.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的，连接各点所得图形与原图形相比()A.完全没有变化B.扩大成原来的2倍C.面积缩小为原来的D.关于纵轴成轴对称2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和８，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个综合探究2：活动1小组讨论例2如图所示的△ABC，以A点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标.解:根据题意，图中的△AB1C1就是满足题意的三角形，其中A点的坐标不变，仍是(-3，-1)，B1、C1的坐标分别为(3，-3)，(1，3).教师点拨：解决本题的关键就是要作出正确的图形，否则求出的点的坐标就会发生错误.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)在平面直角坐标系中，将坐标为(0，0)、(2，4)、(2，0)、(4，4)、(6，0)的点用线段顺次连结起来形成一个图案.①将这五个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，求上述点的坐标，将所得的五个点用线段顺次连接起来，所得图案与原图案相比有什么变化？②横坐标不变，纵坐标分别减去3呢？③横坐标都加上3，纵坐标不变呢？④横、纵坐标都乘以-1呢？⑤横、纵坐标分别变成原来的2倍呢？面积如何变化？活动3课堂小结1.本节学习的数学知识:以原点为位似中心，位似图形对应点之间的坐标的关系.2.本节学习的数学方法:运用数形结合的方法解题.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①略②k或-k③④A1（2,4）或（-2,-4）、B2（2,0）或（-2,0）、C1（6,6）或（-6，-6）【合作探究1】活动2跟踪训练1.C2.B【合作探究2】活动2跟踪训练①横向缩小②向下平移3个单位长度③向右平移3个单位长度④关于原点作中心对称变换⑤以原点为位似中心作位似变换，相似比为2，面积扩大4倍第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第1课时正弦教学目标及重、难点1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律.2.理解并掌握锐角的正弦的定义.3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.预习导学：阅读教材P61-63页，自学两个“思考”、“探究”及“例1”.自学反馈学生独立完成后集体订正①在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c;∠A的对边与斜边的比叫做∠A的，即sinA=.②在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则sinB=.③在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA==.④在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA==.⑤在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则sinA==.教师点拨：正弦值的讨论前提是在直角三角形中，当锐角度数一定时，它的对边与斜边的比是一个定值.综合探究1：活动1小组讨论例1如图，求sinA和sinB的值.解:在Rt△ABC中，AB===，∴sinA===.∴sinB===.教师点拨：正弦值是锐角的对边与斜边的比，所以应该先用勾股定理求出斜边，再求正弦值.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是.2.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,sinA=,则求AC的长.教师点拨：第2小题可以在方格内构造直角三角形，体会在直角三角形内，锐角度数一定时，其对边与斜边的比也是定值，即是此锐角的正弦值；第5小题连结OA，构造直角三角形.综合探究2：活动1小组内讨论交流并展示解题思路和解题要点例2在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a∶b∶c=3∶4∶5，求证:sinA+sinB=.证明:设a=3k,b=4k,c=5k，∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，∴a2+b2=c2.∴∠C=90°.∴sinA===,sinB===.∴sinA+sinB=+=.教师点拨：此题并没有直角，所以不能直接用正弦来做，需要先用勾股定理的逆定理证得直角，再用正弦的知识来做.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？2.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2.5米，则倾斜角∠CAB为多少度？3.点P(2，4)与x轴的夹角为α，则sinα=.4.在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，∠C是直角，求证:sin2A+sin2B=1.活动3课堂小结1.求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形前提中去，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形.2.互余的两个锐角的正弦值的平方和等于1.3.在直角三角形中，可根据锐角度数求出直角边与斜边的比值，也可以通过直角边与斜边的比值求出直角边所对的角的度数.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①正弦②③④⑤【合作探究1】活动2跟踪训练1.2.不变3.【合作探究2】活动2跟踪训练1.5·sin50°米2.60°3.4.提示：∵sin2A+sin2B=,a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1第2课时锐角三角函数教学目标及重、难点1.掌握余弦、正切的定义.2.了解锐角∠A的三角函数的定义.3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.预习导学：阅读教材P64-65,自学“探究”与“例2”.自学反馈学生独立完成后集体订正①在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c;∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的，即cosA=；∠A的对边与邻边的比叫做∠A的，即tanA=.②锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的.③在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则cosB=，tanB=.④在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA==，cosA==,tanA==.⑤在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA==，cosA==，tanA==.⑥在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则sinA==，cosA==，tanA==.教师点拨：锐角三角函数是在直角三角形的前提下.综合探究1：活动1小组讨论例1分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.解:在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC===5,∴sinA=cosB==,cosA=sinB==,tanA==,tanB==.教师点拨：利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.活动2跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若CD=BC，则tanA=.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=13，a=12，那么sinA=，cosA=，tanA=.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，sinB=，则a=，b=,S△ABC=.教师点拨：均可先求出直角三角形的边长，再用锐角三角函数的关系来做.综合探究2：活动1小组讨论例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA和cosB的值.解:∵tanA=,∴BC=AC×tanA=8×=6.∵AB===10,∴sinA===,cosB===.教师点拨：先求Rt△ABC的边长，再求sinA、cosB的值.例3如图，在△ABC中，AB=15，AC=13，S△ABC=84，求sinA的值.解:过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC=AB·CD,∴CD===.在Rt△ACD中，sinA===.教师点拨：求sinA的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题中又提供了三角形的面积及边AB的长，故可通过C作高CD.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.在△ABC中，∠C=90°，且tanA=,则cosB的值是.2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB∶BC=2∶5，S△ABC=10，求tanC的值.活动3课堂小结1.本节学习的数学知识，锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.2.本节还学到了类比的思想.当堂训练：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.答案提示：【预习导学】自学反馈①余弦正切②锐角三角函数③④⑤⑥略【合作探究1】活动2跟踪训练1.2.3.1【合作探究2】活动2跟踪训练1.2.第3课时特殊角的锐角三角函数教学目标及重、难点1.掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能够用它们进行计算.2.能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.预习导学：阅读教材P65-67页，自习“探究”、“例3”与“例4”.自学反馈学生独立完成后集体订正①sin30°=，cos30°=，tan30°=，sin45°=，cos45°=，tan45°=，sin60°=，cos60°=，tan60°=.②sinα的值随着角α的增大而，cosα的值随着角α的增大而，tanα的值随着角α的增大而.教师点拨：这些常用的锐角三角函数值之间也是有规律的，互余的两个锐角的正弦值的平方和为1，互余的两个锐角的余弦值的平方和为1，它们的正切值的积为1.综合探究1：活动1小组讨论例1求下列各式的值：①cos230°+sin230°；②-tan60°.解:①cos230°+sin230°=()2+()2=1.②-tan60°=÷-3=1-3.教师点拨：sin230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.活动2跟踪训练(学生独立完成后展示学习成果)1.计算:①|3-|+()0+cos230°-4sin60°；②(2cos45°-sin60°)＋;③(sin30°)-1-20100+|-4|-tan60°.2.直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k的值为.教师点拨：第1题的计算，注意理清运算顺利；第2题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况.综合探究2：活动1小组讨论例2如图，在高为2m，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2m，共需地毯的面积为(4+4)m2,则α为多少度？解:由题意可得，BC+AC==2+2,∴AC=2.在Rt△ABC中,∵tana===,∴∠α=30°.答:α为30度.教师点拨：此题应该先理解BC+AC的长就是地毯的长度，所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长，再求出AC的长，然后根据tanA的值得知α的度数.活动2跟踪训练(小组内讨论完成并展示小组学习成果)1.已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值()A.m>1B.m=1C.m<1D.m≥1教师点拨：运用三角形的两边之和大于第三边，可得出分子大于分母，其商必大于1.2.求下列锐角α的大小:①4cos2α-3sin45°=0；②tan2α-(+1)tanα+=0.教师点拨：先求出α的三角函数值，再根据其值求角的度数.3.在△ABC中，∠C=90°，设sinB=n,当∠B是最小的内角时，n的取值范围