大学数学易错题试题及答案

大学数学易错题试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（下列每小题选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。每小题3分，共30分）1.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是(A)-1(B)0(C)1(D)不存在2.下列函数中，在x=0处不可导的是(A)f(x)=x^2(B)f(x)=x^3(C)f(x)=|x|^2(D)f(x)=√|x|3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(1,+∞)上(A)单调递增(B)单调递减(C)先增后减(D)先减后增4.极限lim(x→0)(sinx/x)等于(A)0(B)1(C)-1(D)∞5.函数f(x)=e^x在定义域内(A)有最大值(B)有最小值(C)既无最大值也无最小值(D)是周期函数6.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得(A)f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)(B)f'(ξ)=0(C)f(ξ)是f(x)在[a,b]上的最大值(D)f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(ξ-a)7.级数∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)/n是(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)无法判断8.设A是n阶方阵，若A可逆，则|A|等于(A)0(B)1(C)≠0(D)n9.向量v=(1,2,3)与向量u=(2,-1,k)垂直，则k等于(A)1(B)-1(C)2(D)-210.事件A和B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则P(A∪B)等于(A)0.3(B)0.9(C)0.18(D)0.12二、多项选择题（下列每小题选项中，有二项或三项符合题意，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。多选、错选、漏选均不得分。每小题3分，共30分）1.下列函数中，当x→0时，与x为等价无穷小的是(A)sinx(B)x^2(C)tanx(D)ln(1+x)2.若函数f(x)在点x=x0处可导，则下列说法正确的是(A)f(x)在x=x0处必连续(B)f(x)在x=x0处必可微(C)lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在(D)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处必有切线3.曲线y=x^3-3x^2+2的拐点坐标是(A)(0,2)(B)(1,0)(C)(2,0)(D)(1,-1)4.关于函数f(x)=ax^2+bx+c的说法，正确的是(A)若a>0且Δ=b^2-4ac>0，则f(x)有两个不等实根(B)若a<0且Δ=b^2-4ac<0，则f(x)没有实根(C)函数的凹凸性由a决定(D)函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))5.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵（若存在）是(A)[[4,-2],[-3,1]](B)[[-4,2],[3,-1]](C)[[-1,2],[3/2,-1/2]](D)[[1,-1/2],[3/2,-1]]6.向量空间R^3的基可以是(A){(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}(B){(1,1,1),(1,2,3),(1,3,6)}(C){(1,0,0),(1,1,0)}(D){(1,0,0),(0,0,1)}7.下列命题中，正确的是(A)若P(A)=0，则事件A为不可能事件(B)若P(A|B)=P(A)，则事件A与B独立(C)必然事件的概率为1(D)相互独立的事件一定互斥8.级数∑(n=1to∞)x^n在|x|<1时收敛，其和函数为(A)1/(1-x)(B)1/(1+x)(C)x/(1-x)(D)x/(1+x)9.设A和B是n阶矩阵，则下列运算中可能没有意义的是(A)A+B(B)AB(C)A-B(D)A/B10.概率密度函数f(x)必须满足的条件是(A)f(x)≥0对所有x成立(B)∫(-∞to+∞)f(x)dx=1(C)f(x)是连续函数(D)f(x)的导数存在三、计算题（请写出详细的计算步骤。每小题8分，共40分）1.计算极限lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]2.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)和f''(x)，并求函数的极值和拐点。3.计算不定积分∫(x^2-1)/xdx4.计算定积分∫(from0to1)xe^xdx5.求解线性方程组：x+2y-z=12x+y+z=2x-y+2z=-1四、证明题（请写出详细的证明过程。每小题10分，共20分）1.证明：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则f(x)在[a,b]上是一个常数函数。2.设向量组α1=(1,1,1),α2=(1,1,0),α3=(1,0,0)。证明：α1,α2,α3是R^3的一组基。试卷答案一、单项选择题1.(B)2.(D)3.(A)4.(B)5.(C)6.(A)7.(B)8.(C)9.(A)10.(B)二、多项选择题1.(A),(C),(D)2.(A),(B),(C),(D)3.(B),(D)4.(A),(B),(C),(D)5.(A)6.(A),(B)7.(B),(C)8.(A),(C)9.(D)10.(A),(B)三、计算题1.解：lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]=lim(x→2)[(x+2)(x-2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=2+2=4或使用洛必达法则：lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]=lim(x→2)[2x/1]=2*2=42.解：f'(x)=3x^2-6xf''(x)=6x-6令f'(x)=0，得x=0或x=2f''(0)=-6<0，故x=0为极大值点，极大值为f(0)=2f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，极小值为f(2)=0令f''(x)=0，得x=1当x<1时，f''(x)<0，曲线向下凹；当x>1时，f''(x)>0，曲线向上凹。故拐点为(1,f(1))=(1,0)3.解：∫(x^2-1)/xdx=∫(x-1/x)dx=∫xdx-∫dx/x=x^2/2-ln|x|+C4.解：∫(from0to1)xe^xdx令u=x,dv=e^xdx，则du=dx,v=e^x原式=[xe^x](from0to1)-∫(from0to1)e^xdx=(1*e^1-0*e^0)-[e^x](from0to1)=e-(e^1-e^0)=e-(e-1)=15.解：对方程组第一个方程乘以2减去第二个方程，得-3y-3z=0，即y+z=0再将第一个方程乘以1加上第三个方程，得3y=2，即y=2/3代入y+z=0，得z=-2/3代入第一个方程x+2*(2/3)-(-2/3)=1，得x+4/3+2/3=1，即x=1-2=-1解为x=-1,y=2/3,z=-2/3四、证明题1.证明：任取x1,x2∈[a,b]，不妨设x1<x2。由题设，|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|因为x1<x2，所以|x1-x2|=x2-x1>0。于是|f(x1)-f(x2)|≤x2-x1即f(x1)-f(x2)≤x2-x1，移项得f(x1)≤f(x2)这表明f(x)在[a,b]上是单调递增的。同理，交换x1,x2的位置，可得f(x1)≥f(x2)，即f(x)在[a,b]上是单调递减的。结合单调递增和单调递减，必有f(x1)=f(x2)对所有x1,x2∈[a,b]成立。特别地，取x1=a,x2=b，得f(a)=f(b)。因此，f(x)在[a,b]上是一个常数函数。2.证明：首先证明α1,α2,α3线性无关。设存在常数k1,k2,k3使得k1α1+k2α2+k3α3=0，即k1(1,1,1)+k2(1,1,0)+k3(1,0,0)=(0,0,0)