工程应用数学 高职

第1章多元函数微分学1.1空间解析几何基本知识1.2二元函数的基本概念1.3偏导数1.4多元复合函数的求导法则1.5全微分1.6多元函数的极值与最值返回1.1空间解析几何基本知识在实际生活中有很多问题与多种因素有关，反映到数学上就是多元函数问题，本章主要讨论多元函数的微分及其应用.

学习多元函数导数、微分的概念和方法，要与一元函数导数、微分进行类比，注意它们的异同之处.1.1空间解析几何基本知识「先行问题]多元函数的概念、图像等，还是要以空间直角坐标系为基础，相应还有多元函数的图像，如空间平面、曲面以及用向量工具来表示等问题.1.1.1空间解析几何的有关概念

我们在学习空间解析几何时，应该与平面解析几何进行类比，找到相同点和不同点，加深理解，提高学习效率.下一页返回1.1空间解析几何基本知识1.空间直角坐标系在空间任取一点O，以O为原点作三条互相垂直的数轴，这三条坐标轴分别称为x轴(横轴),y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，z轴则是垂直线;按照右手定则规定Ox、Oy、Oz轴的正方向，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以π/2的角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向(图1.1),这样的三条坐标轴就组成一个空间直角坐标系.空间直角坐标系中任意两条坐标轴都可以确定一个平面，称为坐标平面.由x轴和y轴所确定的平面称为xOy平面;由y轴和z轴所确定的平面称为yOz平面;由x轴和z轴所确定的平面称为xOz平面.三个坐标平面把整个空间分成八个部分，依次称为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识

Ⅷ卦限(图1.2),坐标平面不属于任何卦限.建立空间直角坐标系后，如果点M的横坐标、纵坐标和竖坐标分别为x,y,z(图1.3)，则记作M(x,y,z).这样可以建立起空间的点与有序实数组(x,y,z)之间的对应关系.显然，原点的坐标为。O(0,0,0);x轴、y轴和z轴上的点的坐标分别为(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z);xOy、yOz、zOx三个坐标面上的点的坐标分别为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).[课堂练习]在空间直角坐标系中，求点P(1,-2,3)关于x轴，原点，xOz平面的对称点.上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识2.空间两点间的距离设为空间两点，

我们可用这两个点的坐标来表达它们之间的距离d.假设线段在xOy坐标面上的投影是.如(图1.4)所示，过点在平面内作

//AB得直角三角形.由勾股定理，有又由图示关系可得,即有上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识即空间两点间的距离公式.特别地，点M（x，y，z）到原点O（0，0，0，）的距离上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识1.1.

2空间向量概念及运算「先行问题]与空间解析几何和平面解析几何的关系类似，在高中学过的平面向量知识基础上，我们介绍一些空间向量的基础知识，请大家注意异同点，进行类比学习.1.向量的概念在空间以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记为，有时也用一个粗体字母表示向量，例如，向量a、b等.若A、B的坐标分别为和，则规定向量的坐标为,向量的大小称为向量的模，向量的模记为若向量a的坐标为a=(x，y，z)则上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识2.向量的加法与减法以及向量与数量的乘积利用向量的坐标，可得向量的加、减法及向量与数量乘积的运算法则:设

，，则（1）;（2）.3.两向量的数量积（1）向量的数量积的定义和性质.

定义1.1设向量a、b的夹角为θ(0≤θ≤π)，则称

为向量a、b的数量积，一也称为内积.（2）数量积的坐标计算式.

设a、b的坐标分别为

、

，可经推导(本书上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识不推导)，把数量积写成坐标形式：而

，于是当a、b不是零向量时，可得由此可得

，即

例1-1已知向量a={1,1,-4},b={1,-2,2}，求向量a与b的内积及夹角<a，b>.解由公式得上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识

，所以.4.两向量的向量积（1）向量积的定义及其性质定义设有两向量a、b，若向量c满足:① ;②c垂直于向量a、b所决定的平面，它的正方向由右手法则确定.则称向量c为a与b的向量积，记为a×b,即c=a×b.由向量积的定义可知:上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识两个非零向量a、b相互平行的充分必要条件是ab=0.（2）向量积的坐标计算式设 , ，可经推导(本书不推导)，把向量积写成坐标形式:由于两个非零向量a、b平行的充要条件是a×b=0，因此，可将a×b平行的充要条件表示为上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识1.1.3平面1.平面方程的一般式一般地，在空间直角坐标系中，关于x，y，z的一次方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不全为零)表示空间平面，一也就是说满足方程Ax+By+Cz+D=0的点在平面上，平面上的点的坐标满足方程.(1)当D=0时，方程Ax+By+Cz=0表示过原点的平面.(2)当C=0时，方程Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面.

类似地，方程Ax+Cz+D=0和By+Cz+D=o分别表示平行于y轴和z轴的平面.(3)当A=B=O时，方程Cz+D=0表示平行于xOy面的平面.

类似地，方程Ax+D=0和By+D=0分别表示平行于yOz平面和上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识 xOz平面的方程.

特别地，当D=0时，z=0,x=0和y=0分别表示xOy为平面，yOz平面和xOz平面.2.平面方程的点法式在空间直角坐标系中，方程Ax+By+Cz+D=0(其中A,B,C不全为0)称为平面的一般式.

如果非零向量n垂直于平面π，则称n为平面π的法向量，设M(x，y，z)为平面π上的任一点，平面π过点

,n={A,B,C}为其一法向量，因为 ,即，所以称此方程为平面方程的点法式.上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识1.1.4简单的二次曲面1.球面方程空间中一动点到定点的距离为定值的点的轨迹称为球面.例1-2求以点

为球心，R为半径的球面的方程.解设M(x，y，z)为球面上任意一点，依题意，有

由空间两点间距离公式，有

即

此即为所求之球面方程，其图形如图1.5所示.上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识特别地，如果球心就是坐标原点，则球面方程为可见，球面方程是关于x、y、z的二次方程.2.柱面方程设有一动直线l沿一定曲线c移动，移动时始终保持与定直线l′平行，则由l形成的曲面称为柱面，而动直线l称为该柱面的母线，定曲线c称为该柱面的准线.

现在来建立母线平行于z轴的柱面方程(见图1.6).设柱面的准线c是xOy为面上的曲线，其方程为F(x，y)=0设M(x，y，z)为柱面上任意一点，过M作柱面的母线MM′，这时母上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识线上全部点在xOy面上的投影都是准线c上的点M′，所以柱面上点的竖坐标是任意的，而x、y坐标则满足准线方程，从而点M的坐标x、y、z也满足准线方程.以xOy面上的曲线F(x，y}=0为准线，母线平行于z轴的柱面方程，就是不含变量z的准线方程F(x，y}=0，也就是说，在空间直角坐标系中，不含z的方程F(x，y}=0表示母线平行于z轴的柱面.同理，在空间直角坐标系中，不含y(或不含x)的方程G(x，y)=0或H(y，z)=0表示母线平行于y轴(或x轴)的柱面.现在写出几个母线平行于z轴的柱面方程:圆柱面方程:椭圆柱面方程:

(见图1.7)上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识抛物柱面方程:双曲柱面方程:在空间解析几何中，如果曲面方程F(x，y，z)=0的x、y、z都是一次的，则它对应的曲面就是一个平面;如果方程是二次的，则它所对应的曲面称为二次曲面.3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程一条平面曲线c绕着同一平面内的一条直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面(简称旋转面)，曲线c称为旋转面的母线，直线l称为旋转面的轴.设平面x=0上的曲线c:f(x,y)=o，绕z轴旋转一周，现在来建立这个旋转面的方程(见图1.8).上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识在旋转面上任取一点M(x，y，x)，设M是由曲线c上的点

绕z轴旋转而得到，容易看出，点M与点具有相同的竖坐标，点M与点与转轴等远(同在一个圆周上).即已知母线c在yOz面上的方程为f(y，z)=0，点在曲线c上，将其代入上式，即得由此可见，要求平面X=0上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转所形成的旋转面的方程，只需在母线方程中把y换成

即可.同理，平面x=0上的曲线f(y,z)=0绕y轴旋转所形成的旋转面的方程为上一页下一页返回1.1空间解析几何基本知识例1-3求yOz面上的直线z=ky,绕z轴旋转而成的图形(圆锥面)的方程.解在方程z=ky中，把y换成

，得到以z轴为旋转轴的圆

锥面的方程

，即 .上一页返回1.2二元函数的基本概念1.2.1

多元函数概念【先行问题】在生产实践和科学试验中，所研究的问题常常要考虑多种因素，它反映到数学上就是一个变量依赖于多个变量的问题，这就是多元函数.引例1圆柱体的体积V与它的半径r，高h之间的关系为V=，其中，体积V是随r、h的变化而变化的，当r、h在一定范围(r>0，h>0)内取定一对值时，V的值就随之而定.引例2物体运动的动能W与物体的质量m和运动的速度v两个量有关系.其中，动能W是随m、v的变化而变化的，m、v取定一对值，就由W= 对应着唯一一个动能W.下一页返回1.2二元函数的基本概念分析:上面两个例子的具体意义虽然各不相同，但它们具有共性:对于某一范围内的一对数，按照一定的对应规律，都有确定的数值与之对应.1.多元函数概念定义1.3设有三个变量x、y、z.如果当变量x、y在一定范围内任意取定一对值时，变量z按照一定的规律，总有确定的值与之对应，则称变量z为变量x、y的二元函数，记为z=f(x,y)或z=z(x,y).其中，变量x和y称为自变量，而变量z称为因变量;自变量x和y的变化范围称为函数的定义域.类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)，以及三元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数.上一页下一页返回1.2二元函数的基本概念求二元函数定义域的方法与求一元函数的类似:对于用解析式z=f(x,y)表达的二元函数，使这个解析式有确定值的自变量x、y的变化范围就是这个函数的定义域.

例如，函数z=In(x+y)只在x+y>0(或y>-x)时有定义.它的定义域是位于直线y=-x上方的半平面而不包括这直线在内的平面点集.例1-4求函数z= 的定义域.解要使函数有意义，则必须使

即 .

所以函数的定义域为{(x,y)I }.它的定义域是以原点为圆心，半径为4的圆内和圆上的点在内的平面点集.1.2.2二元函数的极限定义1.4设函数z=f(x,y)在点

的附近有定义(点

可除外)，上一页下一页返回1.2二元函数的基本概念如果当点P(x,y}以任何方式趋近于点

时，函数f(x，y)

无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数z=f(x，y)当 ,

时的极限，记为

，也可记为f(x，y).

应该指出:二元函数的极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋近于

时，函数都无限接近于A.因此，如果P(x,y)以某一特定方式(如沿着一条定直线或定曲线)趋近于

时,即使函数无限接近于某一确定值，也不能确定函数此时的极限存在.如果当P(x,y)以不同方式趋近于

时，函数无限接近于不同的值，则可确定函数此时的极限不存在.上一页下一页返回1.2二元函数的基本概念例1-5求

当

时的极限.

解函数f(x,y）在点(0,0)处没有定义，记

，当

时，

于是

例1-6讨论极限

是否存在.解因为当点P(x，y）沿直线y=0趋近于点(0,0)时，有

，而当点P(x，y)沿直线y=x趋近于点(0,0)时，有上一页下一页返回1.2二元函数的基本概念

，所以，极限

不存在.上一页下一页返回1.2二元函数的基本概念1.2.3二元函数的连续性定义1.5设函数z=f(x，y)在点

附近有定义，P(x，y)是该邻域内任一点，如果

则称函数z=f（x，y）在点

处连续.如果f（x，y）在区域D的每一点都连续，那么就称函数在区域D内连续.与一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数在其定义区域内仍是连续的.上一页返回1.3偏导数1.3.1偏导数的定义「先行问题]某工厂生产甲、乙两种不同的产品，当每月产量分别是x，y时，总成本为.我们想知道:当产量分别为

时，以后每月乙产品产量保持稳定，甲产品产量发生变化，这时总成本对甲产品产量的变化率是什么?分析当甲、乙产品产量分别为

时，以后每月乙产品产量保持稳定，即每月乙产品产量不会发生改变.若甲产品产量的增量为△x，那么总成本的增量下一页返回1.3偏导数于是，总成本对甲产品产量的变化率为

（1）这个问题就是二元函数的偏导数问题，式(1)的极限值称为C=C(x，y)在点

对x的偏导数.定义1.6设函数z=f(x,y)在点

的某邻域内有定义，当y固定在且x在处有增量△x时，相应地函数有增量(称为对x的偏增量)如果极限上一页下一页返回1.3偏导数

存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点

处对x的偏导数,记为

或

，即类似地，函数z=f(x,y)在点

处对y的偏导数定义为记为

或

，.上一页下一页返回1.3偏导数我们这里用字符∂代替d，以区别于一元函数的导数.如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，则这个偏导数就是x、y的函数，称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记为

或类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记为

或像一元函数的导函数一样，我们以后在不至于混淆的地方一也把偏导函数简称为偏导数.上一页下一页返回1.3偏导数由偏导数的定义可知，求多元函数一个自变量的偏导数时，只需将其他自变量看成常数，用一元函数求导法即可求得.例1-7求

在点(1,2)处的偏导数.解将x=1,y=2代入上式得

上一页下一页返回1.3偏导数

上一页下一页返回1.3偏导数应当指出，在一元函数y=f（x）中，导数可看做函数的微分dy与自变量微分dx之商，但对二元函数z=f（x，y）（多元函数）来说，，

是一个整体记号，不能看做分子与分母之商.1.3.2高阶偏导数如果二元函数z=f（x，y）的偏导数

仍然可导，那么它们的偏导数称为函数z=f(x，y)的二阶偏导数.相对于二阶偏导数，就称

为一阶偏导数.依照对变量求导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数.上一页下一页返回1.3偏导数其中第三、第四两个偏导数称为混合偏导数.这里

与

的区别在于前一个是先对x、后对y求导，而后一个是先对y、后对x求导.一般说来，这样两个偏导数当然是有区别的.但是我们可以证明(从略):当

与

都连续时，求导的结果与先后次序无关，即.例1-10求函数

的二阶偏导数.

解

，上一页下一页返回1.3偏导数根据二阶偏导数的定义，可以定义更高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.上一页返回1.4多元复合函数的求导法则「先行问题]例如

等较复杂的多元复合函数的

偏导数如何求解?多元复合函数的求导法则是一元复合函数的求导法则的推广.下面先就二元函数的复合函数进行讨论.设函数z=f(u，v), 为x，y的复合函数

我们给出一个类似于一元函数那样的复合函数的求导公式(证略):定理1.1如果函数

在点(x，y)处有偏导数，函数z=f(u,v)在对应的点（u，v）处有连续偏导数，则复合函数

在对（x，y）处有对x和y的偏导数，下一页返回1.4多元复合函数的求导法则且这个公式称为求复合函数偏导数的链式法则.例1-11设z=e“sinv，而u=xy，v=x+y，求解上一页下一页返回1.4多元复合函数的求导法则

以上定理中的链式法则可以推广到中间变量或自变量不只两个的情

形.例如:设z=f（u，v，w）具有连续偏导数，且

，w=w（x，y）都具有偏导数，则复合函数

有对自变量x，y的偏导数，且又如，只有一个中间变量的情形：z=f（u，x，y），上一页下一页返回1.4多元复合函数的求导法则它们都满足所需的条件，则复合函数

有对自变量x和y的偏导数，且应当指出，这里

是不同的，是把

中的y看做常量而对x的偏导数，是把f（u，x，y）中的u，y看做

常量而对x的偏导数. 也有类似区别。上一页下一页返回1.4多元复合函数的求导法则更特别地，在只有一个自变量的情形下，例如:

设z=f(u，v，w)且

，

，

，则复合函数

是只有一个变量t的函数，这个复

合函数对t的导数称为全导数·若各函数都满足所需要的条件，

则全导数存在，

并且例1-12设 , ，求解上一页下一页返回1.4多元复合函数的求导法则例1-13设 ,而x=sint，y=cost，求全导数.

解例1-14设

，而y=sinx，求全导数. 解上一页下一页返回1.4多元复合函数的求导法则例1-15设

，且f具有一阶连续偏导数，

求.解设，则u=f（s，t），于是上一页返回1.5全微分「先行问题]我们知道一元函数微分为，那么多元函数的微分如何定义?1.5.1全微分的概念「先行问题]若x表示边长分别是x与y的矩形面积，即z=xy.如果边长x与y分别取得增量△x与△y,则面积z相应地有全增量：如果设

则当ρ→0时，△x△y是P的高阶无穷小，即△x△y=o(ρ).于是面积的全增量可以表示为下一页返回1.5全微分分析在一元函数的微分学中，函数的微分是函数增量的线性主部，用函数的微分来近似地代替函数的增量，其误差是一个较△x高阶的无穷小，对于多元函数，一也有类似的情况.定义1.7设函数z=f(x，y)在点p(x，y)及其附近有定义，分别给自变量x，Y的增量△x、△y，函数在点p处对应的全增量为如果

，其中A、B与△x、△Y无关，而o(ρ)是ρ= 趋于0的高阶无穷小，则称函数z=f(x,y)在p(x，y)是可微的.并将dz=Adx+Bdy称为二元函数z=f(x，y)在点p(x，y)的全微分.事实上，可以证明上一页下一页返回1.5全微分若将△x、△y分别记为dx、dy，于是函数z=f(x，y)在点p(x，y)的全微分可写成注意:对一元函数来说，函数在某点可导与可微是等价的，但对多元函数来说，就不是这样了·当函数z=f(x,y)的各偏导数存在时，虽然形

式上可以写成

，但它与△z之差并不一定是ρ的高

阶无穷小，即它不一定存在全微分，这就是说，各偏导数存在只是全微分存在的必要条件，不是它的充分条件.上一页下一页返回1.5全微分

所以

上一页下一页返回1.5全微分1.5.2全微分在近似计算中的应用在一元函数中，可以用函数的微分作为函数增量的近似值，在多元函数中也有类似的公式，以二元函数z=f(x,y)为例，设它的两个偏导数

连续，并且

都较小时，由全微分的定义，可得下面近似公式:例1-18有一金属制成的圆柱体，受热后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm，高由50cm增加到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积分别为r、h和V，它们的增量分别记为△r、△h和△V，于是有上一页下一页返回1.5全微分其中，r=20,h=50,△r=0.05,△h=0.09，运用公式得上一页返回1.6多元函数的极值与最值1.6.1二元函数的极值的定义定义1.8设函数z=f(x,y)在点

及其附近有定义，对于点

附近的不同于的点P(x，y):如果总有f(x，y)≤ 则称函数在点

处有极大值 ;如总有f(x，y)≥ 则称函数在点

处有极小值 .极大值和极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例如，函数

，在点(0,0)处有极大值z=a，由图1.9(a).可见，点(0,0,a)是半球

的最高点.又如，函数

在点(0,0)处有极小值，因为在点(0,0)的任下一页返回1.6多元函数的极值与最值一邻域内异于点(0,0)的点的函数值都为正，而点(0,0)处函数值为零.从几何图形上看是显然的，因为点(0,0)是开口向上的旋转抛物面

的顶点(如图1.9(b)).1.6.2二元函数极值存在的必要条件定理1.2(必要条件)设函数z=f(x,y)在点

可微分，且在点

处有极值，则若点

能使函数z=f(x,y)的偏导数

同时为零，则称点

为函数z=f(x,y)上的驻点.由定理1.2知，可微函数的极值点必是驻点，但驻点不一定是极值点.定理1.3(充分条件)设函数z=f(x,y)在点

及其附近有一阶及上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值二阶连续偏导数，

是它的驻点，令

则:(1)当

时，函数z=f(x,y)具有极值，当A＜0时，有极大值

，当A>0时，有极小值 ;(2)当

时，函数z=f(x,y)没有极值;(3)当

时，

是否为极值，需另行判别.(证明从略)由定理1.2,1.3可得，求具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的步骤如下:(1)确定函数z=f(x,y)的定义域D;上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值(2)求使

同时成立的全部实数解，即得全部驻点;(3)对于每一个驻点

，求出二阶偏导数，即A,B和C,的值;(4)定出

的符号，并按定理1.3判定

是否为极值，是极大值还是极小值.

上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值

1.6.3多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用二元函数极值来求函数的最大值和最小值.在实际应用中，如果知道函数的最大值(或最小值)一定在区域的内部取得，而函数在区域内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在区域上的最大值(或最小值).例1-20某公司通过电视台和报纸两种方式做产品销售)’一告，根据统计资料分析可知，销售收人R(万元)与电视台广告费x(万元)，报纸广告费y(万元)有如下经验公式

上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值求在广告费不限的情况下，使收益最大的广告策略.

由极值存在的充分条件可知，(1.5.1)是极大值点，且驻点唯一，所以当电视台广告费为1.5(万元)，报纸广告费为1(万元)时，可使收益最大.上面所讨论的极值，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值以外，并无其他条件，这种极值称为无条件极值;如果自变量之间还要附加一定的条件(称为约束条件)，这种极值称为条件极值.下面介绍求条件极值的拉格朗日乘数法.

拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的可能极值点，可先构造函数

其中，λ为某一常数(称为拉格朗日乘数).然后求其对x和y的一阶偏导数，并使之为零.由方程组上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值消去λ，解出x，y，则得函数z=f(x,y)的可能极值点的坐标.

这个方法还可以推广到多于两个自变量和多于一个约束条件的情形.例如，要求函数=f(x，y，z)在条件下的极值，可先构造函数

其中，

为常数.求其一阶偏导数，并使之为零，然后再与

联立求解，消去

，解出x，y，z，即得可能极值点的坐标(x，y,z}，最后判别是否为极值点.上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值例1-21要造一容积为4m³的无盖长方形水箱，问这水箱的长、宽、高各为多少时，所用材料最省?解设水箱底面长为x，宽为y，高为z，则表面积为A=xy+2xz+2yz.因此该问题就是求函数A=xy+2xz+2yz在条件xyz-4=0下的极值.于是，作函数

F(x，y，z)=xy+2xz+2yz+λ(xyz-4).对其求偏导数并使之为零，得上一页下一页返回1.6多元函数的极值与最值与条件xyy-4=0联立，解得x=y=2,z=1.

根据题意，最小值必存在，所以水箱的正方形底面边长为2m，高为lm时，用料12m²最省.上一页返回图1.1返回图1.2返回图1.3返回图1.4返回图1.5返回图1.6返回图1.7返回图1.8返回图1.9返回第2章多元函数积分学2.1二重积分的概念和性质2.2二重积分的计算方法2.3二重积分的应用返回2.1二重积分的概念和性质在一元函数积分学中，定积分是一种和式的极限，若被积函数由一元函数推广到多元函数，积分区间推广到区域、曲线或曲面上，便得到重积分、曲线积分和曲面积分，这就是多元函数积分学.限于本课程的要求，我们在这里仅介绍二重积分的概念、性质、计算及应用.「先行问题」我们知道一元函数定积分

几何意义是曲线ƒ(x)在区间「a，b」上的曲边梯形的面积，推广到多元函数的重积分

其几何意义是曲、ƒ(x，y)在平面区域D上的“曲顶柱体”的体积，具体的定义见下面的分析.下一页返回2.1二重积分的概念和性质2.1.1二重积分的概念「先行问题」对于定积分，我们通过微积分的学习知道它的几何意义是表示一个一元函数y=ƒ(x)在某个区间「a，b」内与x轴所围成图形的面积(见图2.1),同时我们用微元法分析了其计算方法，而实际上该图形的面积可以认为是边线x=a两端分别沿着y=ƒ(x)和x轴移动到边线x=b所经过的平面部分，因此是对曲线进行的积分，那么若在空间坐标系中，给定一个曲面，如

(见图2.2

)，它是一个曲面，若在平面xoy为给定一个方形区域，当它从下至上移动经过曲面时，将与曲面相交形成一个闭区域的立体图形，我们称为曲顶柱体，那么根据一重定积分可以求平面闭区域图形的面积的思想，空间中立体闭区域所形成的立体图形是否一也可以用积分来诊释?上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质下面我们仍然用微元法的思想来解决这个问题.1.求曲顶柱体的体积设在空间直角坐标系中有一由闭合曲面所组成的立体，它的底是xoy面上的有界区域D(简称区域)，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=ƒ(x,y),设ƒ(x,y)≥0且在D上连续，这种立体称为曲顶柱体，如图2.3所示.我们知道，平顶柱体的体积可用公式:体积=底面积X高来计算.但曲顶柱体的高度ƒ(x，y)(x，y)∈D)是个变量，它的体积不能直接用上述公式计算.为了解决这个矛盾，我们用类似于定积分中求曲边梯形面积的方法.用一组曲线网将区域D分成n个小区域:△σ1，△σ2，…,△σn，且用上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质△σi表示第i个小区域△i的面积，分别以这些小区域的边界为准线，作平行于z轴的柱面，这些柱面把原先的曲顶体分成n个小的曲顶柱体:△V1,△V2,...,△Vn.当这些小区域的直径(△σi的直径为△σi中两点间距离的最大者)很小时，由于ƒ(x，y)连续，对同一个小区域来说，ƒ(x，y)变化很小，这时可近似地将小曲顶柱体看做平顶柱体.因此,在区域△σi中任取一点

，用以△σi为底、ƒ 为高的平顶小柱体的体积近似地代替小曲顶柱体的体积△Vi,即△Vi≈ƒ △σi(i=1,2,...,n).这n个平顶小柱体体积之和就是整个曲顶柱体体积V的近似值:上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质记n个小区域的直径中的最大值为λ，当λ→0时，就得到曲顶柱体体积的值上面问题把所求量归结为求和式的极限.由于在物理、力学、几何和工程技术中，许多物理量与几何量都可归结为这种和式的极限，所以有必要研究这种和式极限，并抽象出下述二重积分的定义.2.二重积分的定义定义2.1设ƒ(x，y)是闭区域D上的有界函数，把区域D分成n个小区域:

△σ1，△σ2，…，△σn，其中，△σi既表示第i个小区域，又表示它的面积.在每个小区域△σi中任取一点

，作乘积ƒ上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质△σi(i=1,2,...,n)，并作和

，如果当各小区域的直径中最大的直径λ趋于零时，此和的极限存在，则称ƒ(x，Y}在D上可积，

此极限值为函数/(x，y)在区域D上的二重积分，记为即其中:ƒ(x，y)称为被积函数;ƒ(x，y)dσ称为被积表达式;dσ称为面积元素;x与y称为积分变量;D称为积分区域;称为积分和.上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质由定义知，如果函数ƒ(x，y)在区域D上可积，则积分和的极限一定存在，且与D的分法无关.可以证明:如果函数ƒ(x，y)在有界区域D上连续，则函数ƒ(x，y)在D上一定可积，因此，在直角坐标系中，常用平行于x轴和y轴的两组直线分割D，此时除了边缘的一些小区域外，绝大部分小区域;都是以和

为边长的小矩形，即

，因此，在直角坐标系中把面积元素dσ记为dxdy，此时有根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积V是曲面方程ƒ(x，y)≥0在区域D上的二重积分，即上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质3.二重积分的几何意义类似于定积分的几何意义，二重积分的几何意义是明显的:当ƒ(x，y)≥0时二重积分

在几何上表示以D为底、曲面z=ƒ(x,y)为

顶的曲顶柱体的体积;当ƒ(x，y)≤0时，曲顶柱体位于xoy面的下方，二重积分的值是负的，绝对值等于曲顶柱体体积.当ƒ(x，y)在区域D的某些部分上是正的，而在其余部分是负的时，我们把xoy面上方的柱体体积配上正号，xoy面下方的柱体体积配上负号，于是，二重积分的几何意义就是以曲面z=ƒ(x,y)为顶、区域D为底的柱体各部分体积的代数和.上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质

2.1.2二重积分的性质二重积分有着与定积分类似的性质.现将这些性质叙述如下(证明从略).其中D是xoy面上的有界闭区域.性质1被积函数中的常数因子，可以提到二重积分号外面，即性质2有限个函数的代数和的二重积分等于各函数的二重积分的代数和，即上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质性质3如果用闭区域D内有限条曲线把D分为有限个部分区域，则在D上的二重积分等于在各部分区域上的二重积分的和.例如，D分成两个区域D1和D2，则这一性质表示二重积分对于积分区域具有可加性.性质4如果在D上，ƒ(x，y)≡1,σ为D的面积，则这一性质的几何意义是明显的，因为高为1的平顶柱体的体积的值等于柱体的底面积乘以1.上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质性质5如果在D上，ƒ(x，y)≤φ(x，y)，则有不等式性质6设M,n分别是ƒ(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有对于二重积分估计值的不等式再应用性质1和性质4，便得所要证明的不等式.上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质性质7(二重积分的中值定理)设函数ƒ(x，y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)，使得中值定理的几何意义是，在区域D上以曲面ƒ(x，y)为顶的曲顶柱体的体积，等于区域D上以某点(ξ，η)的函数值ƒ(ξ，η)为高的平顶柱体的体积.例2-1根据二重积分性质，比较二重积分上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质的大小，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所围成.解对于区域D上的任意一点(x，y)，有0≤x+y≤1.因此在D上有上一页返回2.2二重积分的计算方法除了一些特殊情形，利用定义来计算二重积分是非常困难的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的.下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法.2.2.1二重积分在直角坐标系中的计算法1.X-型区域上二重积分的计算设D是平血有界闭区域，若穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点(见图2.4)，则称D为X-型区域.由图可知，此时区域D可以用不等式表示为下一页返回2.2二重积分的计算方法我们用几何方法来讨论二重积分的计算问题，假设ƒ(x,y)≥0,此时

等于以D为底、以曲面z=ƒ(x，y)为顶的曲顶柱体的体积V.如图2.5所示，在区间「a,b」上任取一点x,过点x作与x轴垂直的平面，它与曲顶柱体相交的截面是一个以区间

为底的曲边梯形，其曲边是曲线z=ƒ(x,y)(x是固定的)，此截面的面积为由前面介绍的平行截面的面积为已知的物体体积计算方法，知此曲顶柱体的体积为上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法因此由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算.第一次对变量y积分，将x当做常数，积分区间是区域D的下边界的点到对应的上边界的点.第二次对x积分，它的积分限是常数.这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次)积分法.公式是先对y后对x的累次积分公式，通常简记为2.Y-型区域上二重积分的计算上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法设有一平面有界闭区域D，若穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点(见图2.6)，则称D为Y-型区域.由图可知，此时区域D可以用不等式表示为利用与前面相同的方法，可得先对x后对y的累次积分公式:通常简记为上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法3.一般区域上二重积分的计算如果区域D不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(2-2),(2-4)来计算.这时可以考虑将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域或是X-型区域、或是Y-型区域.在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值.解区域D如图2.7所示，可以将它看成一个X-型区域，即D={(x，y)

︱1≤x≤2,1≤y≤x}.所以上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法由上面的例子可以看到计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别，同时还要考虑被积函数.上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法我们一也可以将D看成是两个X-型区域

的并集.其中上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法所以积分可以写为两个二次积分的和.即最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点.所以识别区域很重要.还有一点要注意的是，有的区域尽管既是X-型的，又是Y-型的，但是在计算的时候，可能将它看成其中某一种时，计算不出来.比如下面的例子.

上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法分析直接按照这个顺序是计算不出来的尽管

的原函数是存在

的，但是还是无法求出其表达式.我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算.

如图2.9所示的区域，将它看成是X-型区域，有D={(x，y)︱0≤x≤1,0≤y≤x，所以上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法上面例子的方法常称为交换积分次序.可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序，难以计算出结果.设D={(x，y)｜a≤x≤b,c≤y≤d}，如果ƒ(x}和g(y)分别在区域「a,b」和「c,d」上可积，则ƒ(x)g(y)在D上可积，并有读者可以自己验证上面的结论.上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法2.2.2二重积分在极坐标系中的计算法极坐标与直角坐标的关系为其中，r是极径;θ是极角.

由于极坐标的特殊性，以坐标原点O向外发散的区域D，如圆、圆环、扇形等，用极坐标表示是比较方便的.如果二重积分的被积函数也能够用极坐标简单表示(比如被积函数为ƒ 等)，则利用极坐标，计算更方便.上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法

的环行区域上一页下一页返回2.2二重积分的计算方法所以上一页返回2.3二重积分的应用二重积分除了可以应用于计算曲顶柱体的体积外，在物理、经济等其他方面一也有广泛的应用，下面简单介绍其应用.2.3.1曲面的面积设曲面s的方程为z=ƒ(x,y)，它在xoy面上的投影区域为，设曲面s的的面积为A.若函数z=ƒ(x,y)在域从上有一阶连续偏导数，可以证明，曲面s的面积

下一页返回2.3二重积分的应用上一页下一页返回2.3二重积分的应用2.3.2平面薄片的转动惯量如果有一薄片构件，它在xoy面上的投影区域为D，假定面密度函数µ=µ(x,y)在D上连续，如何求该薄片构件对x轴、y轴及对原点o的转动惯量呢?可以证明，它们的转动惯量分别为上一页下一页返回2.3二重积分的应用例2-10求圆心在坐标原点半径为a的均匀圆片对坐标轴和原点的转动惯量.解设均匀圆片的面密度为µ，则上一页下一页返回2.3二重积分的应用2.3.3经济方面例2-11(平均利润)某公司销售商品Ⅰx二个单位，商品Ⅱy个单位的利润为现已知一周内商品Ⅰ的销售数量在150～200个单位之间变化，一周内商品Ⅱ的销售数量在80～100个单位之间变化.求销售这两种商品一周的平均利润.

解由于x，y的变化范围D={(x，y)︱150≤x≤200,80≤y≤100}，所以D的面积σ=50X20=1000.由二重积分的中值定理，该公司销售这两种商品一周的平均利润为上一页下一页返回2.3二重积分的应用上一页返回图2.1返回图2.2返回图2.3返回图2.4返回图2.5返回图2.6返回图2.7返回图2.8返回图2.9返回第3章线性代数3.1矩阵的概念与运算3.2行列式3.3矩阵的秩与矩阵的初等变换3.4逆矩阵3.5线性方程组3.6矩阵的应用返回3.1矩阵的概念与运算「先行问题」在工程技术、经济工作和现实生活中有大量与数据及数表有关的问题，数学上如何表示?3.1.1矩阵的概念引例某公司生产甲，乙，丙三种产品，它们的生产成本由原材料费用，人工费用和其他费用三项构成.表3-1给出了每种产品的每项费用的预算.下一页返回3.1矩阵的概念与运算将上表中主要关心的数据按原来次序排列成矩形数表，并加上括号以表示这些数据(一个整体)，就得到矩阵如果该公司2007年各季度产品的计划生产数如表3-2所示.上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算同样，由这些数据可得到矩阵定义3.1由m×n个数(i=1,2,...,m;j=l,2,...,n)排成m行n列的矩形数表用圆括号或方括号将其括起来，称为m×n，型矩

阵，通常用大写字母A,B,C,...表示，即上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算的第i行第j列处的元素.特殊矩阵:(1)方阵:行数与列数相等的矩阵称为方阵.如:

称为n阶方阵.(2)行矩阵:当矩阵满足m=l,n＞l时，称其为行矩阵.如:A=(2453).上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算(3)列矩阵:当矩阵满足m＞l,n=1时，称其为列矩阵.如:(4)零矩阵:所有元素都是零的矩阵，记作

或O.(5)单位矩阵:满足主对角线上元素全部为i，其余元素全部为零的方阵称为单位矩阵，记作

或E,I.上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算(6)对角矩阵:满足除对角线上元素不全部为零，其余元素全部为零的方阵称为对角矩阵，若其对角线上元素为

则对角矩阵可记作diag( )(7)数量矩阵:主对角线上元素全部不为零的对角矩阵，称为数量矩阵.上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算

(8)三角矩阵:满足沿着对角线以下元素(以上元素)全为零的方阵称为上(下)三角矩阵.上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算3.1.2矩阵的运算1.同型矩阵与矩阵的相等定义3.2如果两个矩阵的行数相同，列数一也相同，就称它们是同型矩阵.定义3.3如果两矩阵

和

是同型矩阵，且它们对应的元素相等，即

则称矩阵A与B相等，记为A=B.2.矩阵的加法、减法与数乘定义3.4如果两矩阵

和

是同型矩阵，k为常数.规定A与B的加法:上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算不难验证，上述运算满足下面八条运算律:设A,B,C为同型矩阵，k,l为常数，则有(1)A+B=B+A(5)1·A=A(2(A+B)+C=A+(B+C);(6)(kl)A=k(lA);(3)A+O=A;(7)(k+l)A=kA+IA;(4)A+(-A)=O;(8)k(A+B)=kA+kB.上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算3.矩阵乘法先看一个实例，设有甲、乙、丙三种产品，其中2001年，2002年两年的销售量用矩阵A表示，其成本、销售价用矩阵B表示.即上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算分别求两年成本总额和销售总额:2001年成本总额为=1000X3X4000X4X3000X6=37000;2001年销售总额为=1000X3.5X4000X4.4X3000X6.8=41500;2002年成本总额为=700X3X3550X4X4000X6=40300;2002年销售总额为=700X3.5+3550X4.4X4000X6.8=45270.上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算用矩阵C表达上述计算结果，即上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算注意:A的列数=B的行数;AB的行数=A的行数;AB的列数=B的列数.上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算BA无意义上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算从上面的例子可以看出:C1)矩阵乘法不满足交换律，即AB笋BA;C2)含零因子，即A≠O,B≠O，但是BA=O或AB=O;(3)消去律不成立，即AB=AC且A≠0，但B≠C.

不难验证，下面的运算律成立.(1)(AB)C=A(BC)(乘法结合律);上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算(2)A(B+C)=AB+AC(左分配律);(A+B)C=AC+BC(右分配律);(3)k(AB)=(kA)B=A(kB);(4)EA=A,AE=A(单位1).利用矩阵可将线性方程组表示成矩阵方程，设n元线性方程组上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算常数项矩阵为

则线性方程组(3-1)的矩阵形式为AX=B

(3一2)上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算例3-6设有A,B,C三国，它们的城市

之间的交通连接情况(不考虑国内交通)如图:求A,C两国城市之间的交通连接条数.解根据上图，A国和B国城市之间交通连接情况可用矩阵M=上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算同样，B国和C国城市之间的交通情况可用矩阵表示为用P来表示矩阵M与N的乘积，那么可算出上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算矩阵P正是A,C两国城市之间的交通连接条数矩阵.4.方阵的幂设A为n阶方阵，k,l为正整数，定义A的方幂如下:可以证明（1）

（2）上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算 (缺省位置为零元

素，下同.)上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算5.矩阵的转置将矩阵A的所有行换

成相应的列上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算容易看出，若矩阵A为n×m矩阵，则为m×n，矩阵;矩阵A的第i行第j列处的元素

，在中则为第j行第i列处的元素.可以证明，转置矩阵具有以下性质:上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算上一页下一页返回3.1矩阵的概念与运算上一页返回3.2行列式行列式是一种数学工具，行列式与矩阵密切联系.3.2.1行列式的概念1.二阶、三阶行列式的定义一阶行列式定义为 =a,二阶行列式定义为

下一页返回|a|3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式

上一页下一页返回3.2行列式2.余子式与代数余子式为了定义n阶行列式的数值，我们先来看行列式的余子式与代数余子式的概念.定义3.7n阶矩阵A(行列式|A|)中，划去元素所在的行和列，余下的元素按原来的顺序组成的n-1阶行列式叫做元素

的余子式，记为

叫做元素

的代数余子式.对于二阶行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式3.n阶行列式的定义上一页下一页返回3.2行列式这是n阶行列式的递归定义.二阶行列式显然满足这个定义，三阶行列式由二阶行列式定义上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式如此下去，由4阶行列式定义5阶行列式，…，由n一1阶行列式定义n阶行列式.上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式3.2.2行列式的性质上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式性质4满足下列条件之一的行列式的值为0.(1)行列式中有一行(列)的元素全为0;(2)行列式中有两行(列)元素对应相等;(3)行列式中有两行(列)元素对应成比例.性质5如果行列式的某一行(列)的元素都可写成两项之和，则此行列式可以拆分为两个行列式之和，这两个行列式分别以这两项为所在行(列)对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同.上一页下一页返回3.2行列式性质6把行列式的某一行(列)的元素都乘以k加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.上一页下一页返回3.2行列式上述性质在计算行列式中可以简化行列式，提高运算的准确性，应用非常广泛，证明从略.上一页下一页返回3.2行列式3.2.3行列式的计算定理3.1行列式的值等于它的任一行(列)所有元素与其代数余子式的乘积之和.即上一页下一页返回3.2行列式定理3.2若A,B均为n阶方阵，则|AB|=|A||B|.上述定理3.1称为行列式按一行(列)展开法则，定理3.2为矩阵的行列式的乘法法则，是很重要的结论，证明从略，但要注意掌握应用.对于一个n阶行列式，通常是利用性质，将其化简为三角行列式，或将其化简为某行(列)元素多数为零，再用展开法则降阶，直至化到二、三阶行列式求值.下面我们结合实例，介绍一些行列式的计算方法.上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式3.2.4行列式的应用用行列式可以将方程个数与未知量的个数相等的线性方程组公式化求解.定理3.3(Cramer法则)对于n元线性方程组上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页下一页返回3.2行列式上一页返回3.3矩阵的秩与矩阵的初等