高考数学考前训练专题六第8讲双变量与极值点偏移

大二轮专题复习专题六

函数与导数第8讲双变量与极值点偏移微点一切割线夹问题微点二代数偏移与几何偏移微点三不对称零点和积最值问题专题强化练内容索引微点一切割线夹问题

例1

解

证明

证明

证明

证明规律方法

跟踪演练1

已知函数f(x)=xlnx.(1)对于任意的x>0，证明：f(x)≥-2x-e-3；令g(x)=f(x)+2x+e-3=xln

x+2x+e-3，g'(x)=ln

x+3，显然g'(x)=0时，x=e-3，当x∈(0，e-3)时，g'(x)<0，∴函数g(x)在(0，e-3)上单调递减；当x∈(e-3，+∞)时，g'(x)>0，∴函数g(x)在(e-3，+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(e-3)=-3e-3+2e-3+e-3=0.∴对于任意的x>0，f(x)≥-2x-e-3.

证明

证明返回微点二代数偏移与几何偏移1.极值点偏移的定义极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性.例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标的两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移.2.从图形角度理解极值点偏移(x0为极值点，且x1<x2)(1)左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2x0.(2)左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0.(3)左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)=f(x2)，则x1+x2<2x0.

例2

解(2)当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，证明：x1+x2>2.方法一(对称化构造法)由(1)可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，在x=1处取得极小值.不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，欲证x1+x2>2，即证x2>2-x1，又2-x1>1，即证f(x2)>f(2-x1)，由f(x1)=f(x2)，即证f(x1)>f(2-x1).证明

证明

证明

证明规律方法

解(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.

证明

证明

证明

证明

证明

证明返回微点三不对称零点和积最值问题

例3

解

证明

证明规律方法

跟踪演练3已知关于x的方程ax-lnx=0有两个不相等的正实根x1和x2，且x1<x2.(1)求实数a的取值范围；

解

解

解若k>1，当t∈(1，k)时，G'(t)<0，则G(t)在(1，k)上单调递减，当t∈(k，+∞)时，G'(t)>0，则G(t)在(k，+∞)上单调递增.又G(1)=0，G(k)<G(1)=0，且当t趋向于+∞时，G(t)趋向于+∞，故存在唯一的t0∈(k，+∞)，使得G(t0)=0.当1<t<t0时，G(t)<0，即g'(t)<0，此时g(t)在(1，t0)上单调递减；解

解

解设u(x)=H'(x)，x>0，u'(x)=xe-x>0，故H'(x)单调递增，H'(x)>H'(0)=0.此时H(x)单调递增，H(x)>H(0)=0，故h'(x)>0，h(x)在(0，+∞)上单调递增，而由h(1)=e知，h(x)=e的唯一解是x=1.故g(t0)=e的唯一解是ln

t0=1，即t0=e.综上所述，k=e2-2e.解返回专题强化练1.

答案12341.答案1234(2)g(x)=a(e3x-ex)-f(x)=e2x(aex-x)，易知e2x>0.令h(x)=aex-x，则h(x)有两个不同的零点x1，x2.求导得h'(x)=aex-1，当a≤0时，h'(x)<0，h(x)在R上单调递减，故h(x)不可能存在两个不同的零点，不满足题意；当a>0时，当x∈(-∞，-ln

a)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(-ln

a，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增.1.答案1234

1.答案1234

1.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

2.答案1234所以p'(m)在(0，1)上单调递减，所以p'(m)>p'(1)=0，所以p(m)在(0，1)上单调递增.所以p(m)<p(1)=0，即(m+1)ln

m-2(m-1)<0成立，故x1x2>e2.2.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

3.答案1234

4.答案1234(1)由f(x)=4x-x4，可得f'(x)=4-4x3.当f'(x)>0，即x<1时，函数f(x)单调递增；当f'(x)<0，即x>1时，函数f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减区间为(1，+∞).4.答案1234

4.答案1234

1.已知函数f(x)=xe2x-aex.(1)若f(x)≥-1，求a的取值范围；1234答案

解1234答案

1234答案g(x)=a(e3x-ex)-f(x)=e2x(aex-x)，易知e2x>0.令h(x)=aex-x，则h(x)有两个不同的零点x1，x2.求导得h'(x)=aex-1，当a≤0时，h'(x)<0，h(x)在R上单调递减，故h(x)不可能存在两个不同的零点，不满足题意；当a>0时，当x∈(-∞，-ln

a)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(-ln

a，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增.证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案

1234答案

解1234答案

解1234答案(2)若f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；1234答案

解1234答案

解1234答案

解1234答案

解1234答案(3)若方程f(x)+g(x)=0有两个不同的根x1，x2，证明：x1x2>e2.1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案所以p'(m)在(0，1)上单调递减，所以p'(m)>p'(1)=0，所以p(m)在(0，1)上单调递增.所以p(m)<p(1)=0，即(m+1)ln

m-2(m-1)<0成立，故x1x2>e2.证明1234答案

证明1234答案3.已知函数f(x)=xlnx-a(x2-1)+x.(1)若f(x)单调递减，求实数a的取值范围；1234答案

解1234答案

1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案

证明1234答案4.已知函数f(x)=4x-x4，x∈R.(1)求f(x)的单调区间；1234答案由f(x)=4x-x4，可得f'(x)=4-4x3.当f'(x)>0，即x<1时，函数f(x)单调递增；当f'(x)<0，即x>1时，函数f(x)