2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第17讲　第2课时　导数与不等式恒成立(能成立)问题

第三章第17讲导数的综合应用一元函数的导数及其应用第2课时导数与不等式恒成立(能成立)问题题型突破·思维拓展目标1f(x)＜g(x)型

(2026·太原期初)已知函数f(x)＝xln(2－x)－x2＋3x－1．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；1【解答】

(2026·太原期初)已知函数f(x)＝xln(2－x)－x2＋3x－1．(2)求f(x)的单调区间；1【解答】

(2026·太原期初)已知函数f(x)＝xln(2－x)－x2＋3x－1．(3)若f(x)＜ax－x2，求实数a的取值范围．1【解答】(1)若a＞f(x)对∀x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；(2)若a＜f(x)对∀x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min；(3)∃x∈D，使得a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min；(4)∃x∈D，使得a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max．目标2f(x1)＜g(x2)型(1)讨论f(x)的单调性；2【解答】若a＝0，当x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)若对任意x1∈(0，＋∞)和任意x2∈(0，＋∞)，都有x2f(x1)－ln(ax2)≥0，求实数a的取值范围．2【解答】目标3f(x1，x2)＜g(x1，x2)型3【解答】微探究洛必达法则在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则．(2)在点a处函数f(x)和g(x)的图象是连续的，即函数f(x)和g(x)在点a处存在导数，且g(x)≠0；若函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，则实数a的取值范围为____．4【解析】【答案】(－∞，1]变式4若∀x∈(0，＋∞)，ex－1－x－ax2≥0恒成立，则实数a的取值范围为________.【解析】配套精练一、单项选择题1．若对任意正实数x，不等式x－lnx＋1＞a恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，1)

B．(－∞，2)C．(1，＋∞)

D．(2，＋∞)【解析】B2．已知函数f(x)＝lnx－mx＋1，若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≥0有解，则实数m的取值范围为

(

)A．(－∞，1]

B．(－∞，2] C．[1，＋∞)

D．[2，＋∞)【解析】令g′(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1．故实数m的取值范围为(－∞，1]．A【解析】【答案】CA．(0，2)

B．(2，＋∞)C．(0，2]

D．[2，＋∞)【解析】【答案】C【解析】【答案】[3－3ln3，＋∞)6．已知函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若∀x1∈[－1，5]，∃x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是______________．【解析】

由f(x)＝x3－12x＋3，所以f′(x)＝3x2－12．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2．又x∈[－1，5]，当－1≤x＜2时，f′(x)＜0；当2＜x≤5时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在[－1，2)上单调递减，在(2，5]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝－13．又g(x)＝3x－m在x∈[0，2]上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1－m．根据题意，f(x)min≥g(x)min，所以－13≥1－m⇒m≥14，即m的取值范围为[14，＋∞)．[14，＋∞)7．(2026·邯郸期初节选)设函数f(x)＝2x－ln(x－a)，a∈R．若f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为__________．【解析】8．已知函数f(x)＝x2lnx－a(x2－1)，a∈R．若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为______．【解析】三、解答题【解答】(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，0)处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值；【解答】(2)若f(x)图象恒在g(x)图象的上方，求a的取值范围．设y＝x－xlnx，y′＝－lnx，当0＜x＜1时，y′＞0，y＝x－xlnx在(0，1)上单调递增；当x＞1时，y′＜0，y＝x－xlnx在(1，＋∞)上单调递减，所以ymax＝1－1×ln1＝1，故a＞1，即a的取值范围为(1，＋∞)．10．(2026·新乡期初)已知函数f(x)＝xlnx．【解答】(1)若关于x的方程f(x)＝λx3－x2(λ＞0)有唯一实数根，求实数λ的值；令m(x)＝1－2lnx－x，则m(x)在(0，＋∞)上单调递减，又m(1)＝1－2ln1－1＝0，故当0＜x＜1时，m(x)＞0，即h′(x)＞0，所以h(x)在(0，1)上单调递增；当x＞1时，m(x)＜0，即h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，故h(x)max＝h(1)＝1，且当x→0时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)＞0且h(x)→0，作出h(x)的大致图象如图所示．由于λ＞0，且h(x)＝λ有唯一的实数根，所以λ＝1．10．(2026·新乡期初)已知函数f(x)＝xlnx．【解答】当a＞0时，令y＝－ax2＋2x－a，x≥1，则Δ＝4－4a2，当Δ≤0，即