2026年10月自考13175线性代数（工）押题及答案

2026年10月自考13175线性代数（工）押题及答案（第一套）一、单项选择题1．非齐次方程组任意两个解之差是（A）的解A．导出组Ax=0B．Aᵀx=0C．A*x=0D．Ax=b2．n阶方阵A可逆的充要条件是（B）A．A为对角阵B．|A|≠0C．|A|=0D．A≠O3．两向量内积(α,β)等于（C）A．对应分量之和B．分量之差C．对应分量乘积之和D．分量平方和4．设A、B为同阶方阵，则(AB)ᵀ=（C）A．(AB)⁻¹B．AᵀBᵀC．BᵀAᵀD．AB5．设A、B均可逆，则(AB)⁻¹=（B）A．A⁻¹B⁻¹B．B⁻¹A⁻¹C．(BA)⁻¹D．AB二、填空题6．自由未知量的个数等于n−r(A)。7．存在可逆C使CᵀAC=B，称A与B合同。8．由AB=O不能（能/不能）推出A=O或B=O。9．设A为n阶方阵、k为常数，则|kA|=kⁿ|A|。10．若λ=3是可逆阵A的特征值，则(¼A)⁻¹的特征值为4/3。11．f=x₁²+2x₁x₂+x₂²+x₃²的秩为2。12．二次型f=(x₁+x₂+x₃)²的秩为1。13．解线性方程组只对增广矩阵作初等行变换。14．实对称矩阵不同特征值的特征向量互相正交。15．把行列式某一行的k倍加到另一行，行列式的值不变。三、计算题16．计算四阶行列式D，其中主对角线上的元素均为4，其余元素均为1。解：把第2、3、4行都加到第1行，提出公因子7，再将第i行减去第1行（i=2,3,4），得上三角行列式：17．已知矩阵A、B如下，求2A−B与AB。解：按矩阵数乘、加减、乘法法则直接计算：18．用初等行变换求矩阵A的逆矩阵。解：作(A|E)只作初等行变换化为(E|A⁻¹)：19．求向量组α₁=(1,1,1)ᵀ，α₂=(1,2,1)ᵀ，α₃=(2,0,2)ᵀ，α₄=(3,2,3)ᵀ的一个极大无关组，并用它表示其余向量。解：把向量按列拼阵，只作初等行变换化为行最简形：主元在第1、2列，故α₁,α₂为一个极大无关组（秩为2）；α₃=4α₁−2α₂，α₄=4α₁−α₂。20．求下列非齐次线性方程组的通解（方程组见下行矩阵，最后一列为常数项）。解：对增广矩阵作初等行变换化为行最简形：r(A)=r(A|b)=3<4，有无穷多解，x₄为自由未知量，特解η*=(1,−2,1,0)ᵀ，基础解系ξ=(2,−1,0,1)ᵀ。21．求矩阵A的特征值与特征向量。解：（不同特征值对应的特征向量线性无关。）22．用正交变换化二次型f=2x₁²+2x₂²+6x₁x₂为标准形，并写出所用正交变换。解：对称阵A=[[2,3],[3,2]]，特征值λ₁=−1（特征向量(−1,1)ᵀ）、λ₂=5（特征向量(1,1)ᵀ），单位化后作正交变换：四、证明题23．已知α₁,α₂,α₃线性无关，且β1=α1+2α2；β2=2α2+3α3；β3=α1+3α3。证明β₁,β₂,β₃线性无关。证：由已知(β₁,β₂,β₃)=(α₁,α₂,α₃)C，其中过渡矩阵因|C|≠0，C可逆，故r(β₁,β₂,β₃)=r(α₁,α₂,α₃)=3，等于向量个数，所以β₁,β₂,β₃线性无关。▢

（第二套）一、单项选择题1．二次型的矩阵一定是（D）矩阵A．对角B．正交C．可逆D．对称2．二阶行列式|21；34|的值为（D）A．11B．−5C．8D．53．非齐次方程组当r(A)≠r(A|b)时（C）A．有唯一解B．有无穷多解C．无解D．有零解4．n元齐次方程组Ax=0的系数矩阵秩为r，则基础解系含解向量（A）个A．n−rB．n+rC．rD．n5．两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的（D）相同A．秩B．行列式C．迹D．正、负惯性指数二、填空题6．齐次方程组基础解系所含解向量的个数为n−r(A)。7．若λ是A的特征值，则A^m的特征值为λᵐ。8．若A的特征值为1,2,3，则A²的特征值为1,4,9。9．AA*=A*A=|A|E。10．P、Q可逆时，r(PAQ)=r(A)。11．二次型f=2x₁²+2x₂²+6x₁x₂经正交变换的标准形为−y₁²+5y₂²。12．向量α的长度‖α‖=√((α,α))。13．三阶反对称行列式的值等于0。14．惯性定理指出，可逆线性变换下正、负惯性指数不变。15．正交矩阵的行列式|Q|=±1。三、计算题16．计算四阶行列式D，其中主对角线上的元素均为5，其余元素均为1。解：各行加到第1行提出公因子8，再各行减去第1行，化为上三角：17．已知矩阵A、B如下，求A+3B与BA。解：按矩阵数乘、加减、乘法法则直接计算：18．求矩阵A的逆矩阵A⁻¹。解：|A|=3≠0，A可逆；经(A|E)初等行变换得19．求向量组α₁=(1,0,1)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(1,1,2)ᵀ，α₄=(1,2,3)ᵀ的极大无关组并表示其余向量。解：按列拼阵作初等行变换：主元在第1、2列，α₁,α₂为极大无关组（秩为2）；α₃=α₁+α₂，α₄=α₁+2α₂。20．求下列非齐次线性方程组的通解（最后一列为常数项）。解：增广矩阵行最简形为：r=3<4，x₄自由，特解η*=(2,0,0,0)ᵀ，基础解系ξ=(−5,−2,1,1)ᵀ。21．求矩阵A的特征值与特征向量，并判断A能否对角化。解：22．用正交变换化二次型f=6x₁²+6x₂²−2x₁x₂为标准形。解：A=[[6,−1],[−1,6]]，特征值λ₁=5（(1,1)ᵀ）、λ₂=7（(−1,1)ᵀ），正交变换后：四、证明题23．已知α₁,α₂,α₃线性无关，且β1=α1+α2；β2=α2+α3；β3=α1+α3。证明β₁,β₂,β₃线性无关。证：由已知(β₁,β₂,β₃)=(α₁,α₂,α₃)C，其中过渡矩阵因|C|≠0，C可逆，故r(β₁,β₂,β₃)=r(α₁,α₂,α₃)=3，等于向量个数，所以β₁,β₂,β₃线性无关。▢

（第三套）一、单项选择题1．初等矩阵（A）A．都是可逆的B．行列式为0C．都不可逆D．都是对角阵2．实二次型正定的充要条件是其各阶顺序主子式（D）A．之和为0B．全小于0C．相等D．全大于03．对任意n阶方阵A，AA*=（B）A．EB．|A|EC．OD．A4．n阶方阵A可逆的充要条件是其特征值（B）A．全相等B．全不为0C．之和为0D．全为正数5．含有零向量的向量组一定线性（A）A．相关B．无关C．等价D．正交二、填空题6．两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例。7．A为m×s、B为s×n矩阵，则AB为m×n矩阵。8．对A作一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应初等矩阵。9．四元齐次方程组r(A)=2，则基础解系含2个解向量。10．可逆线性变换x=Cy下，二次型新矩阵为CᵀAC。11．若λ是A的特征值，则kA的特征值为kλ。12．若三阶|A|=2、λ是A的特征值，则A*的特征值为2/λ。13．(AB)ᵀ=BᵀAᵀ。14．D=|132；012；213|中元素a₂₃的余子式M₂₃=−5。15．矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。三、计算题16．计算爪形（箭形）行列式D。解：将第j列（j=2,3,4）的适当倍数加到第1列，使第1列除首元素外全化为0，再按上三角计算：17．已知矩阵A、B如下，求A−2B与A²。解：按矩阵数乘、加减、乘法法则直接计算：18．解矩阵方程AX=B，其中解：A可逆，X=A⁻¹B，对(A|B)作初等行变换化为(E|A⁻¹B)，得19．求向量组α₁=(1,1,0)ᵀ，α₂=(1,0,1)ᵀ，α₃=(0,1,1)ᵀ，α₄=(2,1,1)ᵀ的极大无关组并表示其余向量。解：按列拼阵作初等行变换：主元在第1、2、3列，α₁,α₂,α₃为极大无关组（秩为3）；α₄=α₁+α₂。20．求下列非齐次线性方程组的通解（最后一列为常数项）。解：增广矩阵行最简形为：r=3<4，x₄自由，特解η*=(−2,−5,1,0)ᵀ，基础解系ξ=(−3,−3,−1,1)ᵀ。21．求实对称矩阵A的特征值与特征向量，并写出正交矩阵Q使QᵀAQ为对角阵。解：22．问参数t取何值时，二次型f=2x₁²+2x₂²+3x₃²+2tx₁x₂是正定的。解：四、证明题23．已知α₁,α₂,α₃线性无关，且β1=α1；β2=α1+α2；β3=α1+α2+α3。证明β₁,β₂,β₃线性无关。证：由已知(β₁,β₂,β₃)=(α₁,α₂,α₃)C，其中过渡矩阵因|C|≠0，C可逆，故r(β₁,β₂,β₃)=r(α₁,α₂,α₃)=3，等于向量个数，所以β₁,β₂,β₃线性无关。▢

（第四套）一、单项选择题1．矩阵A全部特征值之和等于（A）A．trA（主对角元之和）B．|A|C．r(A)D．02．矩阵A的秩等于其行阶梯形中（D）A．行数B．主对角线元素个数C．非零列的列数D．非零行的行数3．非齐次方程组满足r(A)=r(A|b)<n时（B）A．有唯一解B．有无穷多解C．只有零解D．无解4．元素a_ij的代数余子式A_ij等于（C）A．M_ijB．−M_ijC．(−1)^{i+j}M_ijD．(−1)^{i−j}M_ij5．交换行列式的两行，行列式的值（C）A．变为0B．不变C．变号D．变为原来的2倍二、填空题6．向量组线性相关当且仅当所拼矩阵的秩r<向量个数m。7．r(A)=r(A|b)=n时，方程组有唯一解。8．r(A)≠r(A|b)时，方程组无解。9．某行元素与另一行对应代数余子式乘积之和等于0。10．上三角行列式的值等于主对角线元素之积。11．n个方程n个未知量的齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式D=0。12．(AB)⁻¹=B⁻¹·A⁻¹。13．行列式按第i行展开为D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+a_inA_in。14．求极大无关组时，向量应按列摆放，只作初等行变换。15．三阶A的特征值为1,−1,2，则|A|=−2。三、计算题16．计算行列式D（范德蒙德型）。解：这是x=1,2,3,4的范德蒙德行列式，D=∏_{j>i}(x_j−x_i)：17．已知矩阵A、B如下，求3A+B与AB。解：按矩阵数乘、加减、乘法法则直接计算：18．解矩阵方程AX=B，其中解：X=A⁻¹B，由(A|B)初等行变换得19．求向量组α₁=(1,2,1)ᵀ，α₂=(2,4,2)ᵀ，α₃=(1,0,1)ᵀ，α₄=(2,2,2)ᵀ的极大无关组并表示其余向量。解：按列拼阵作初等行变换：主元在第1、3列，α₁,α₃为极大无关组（秩为2）；α₂=2α₁，α₄=α₁+α₃。20．求下列非齐次线性方程组的通解（最后一列为常数项）。解：增广矩阵行最简形为：主元在第1、2、4列，x₃为自由未知量，特解η*=(3,−3,0,1)ᵀ，基础解系ξ=(−3,4,1,0)ᵀ。21．求矩阵A的特征值与特征向量。解：22．用正交变换化二次型f=2x₁²+4x₁x₂−4x₁x₃为标准形，并指出正、负惯性指数。解：对称阵A=[[2,2,−2],[2,0,0],[−2,0,0]]，特征值λ=4（(−2,−1,1)ᵀ）、λ=−2（(1,−1,1)ᵀ）、λ=0（(0,1,1)ᵀ），三向量已两两正交，单位化作正交变换：四、证明题23．已知α₁,α₂,α₃线性无关，且β1=2α1+α2；β2=α1+2α2+α3；β3=α2+2α3。证明β₁,β₂,β₃线性无关。证：由已知(β₁,β₂,β₃)=(α₁,α₂,α₃)C，其中过渡矩阵因|C|≠0，C可逆，故r(β₁,β₂,β₃)=r(α₁,α₂,α₃)=3，等于向量个数，所以β₁,β₂,β₃线性无关。▢

（第五套）一、单项选择题1．实对称矩阵一定可以（A）A．正交对角化B．化为零矩阵C．等于单位阵D．不可逆2．两两正交的非零向量组一定线性（D）A．相关B．成比例C．等价D．无关3．上（下）三角行列式的值等于（A）A．主对角线元素之积B．主对角线元素之和C．副对角线元素之积D．零4．经正交变换化二次型为标准形，各平方项的系数就是A的（B）A．行列式B．特征值C．迹D．秩5．设A是3×2矩阵、B是2×4矩阵，则AB是（A）矩阵A．3×4B．4×3C．3×2D．2×2二、填空题6．行列式某一行元素全为0，则该行列式的值为0。7．互换行列式两行（列），行列式的值变号。8．极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。9．非齐次方程组的通解=特解+导出组（齐次方程组）的通解。10．克莱姆法则中，当D≠0时x_j=D_j/D（用D_j、D表示）。11．非齐次方程组两个解之差是其导出组的解。12．二阶矩阵[[a,b],[c,d]]的伴随矩阵A*=[[d,−b],[−c,a]]。13．二次型矩阵A=[[2,3],[3,2]]的特征值为−1和5。14．矩阵乘法一般不满足交换律和消去律。15．施密特（Schmidt）方法用于把线性无关向量组化成正交（标准正交）向量组。三、计算题16．计算四阶行列式D，其中主对角线上的元素均为6，其余元素均为1。解：各行加到第1行提出公因子9，再各行减去第1行化为上三角：17．已知矩阵A、B如下，求2A+B与BA。解：按矩阵数乘、加减、乘法法则直接计算：18．解矩阵方程XA=B，其中A=[[1,3],[1,4]]，B=[[2,1],[3,0]]。解：注意是右乘，X=BA⁻¹，先求A⁻¹再右乘：19．求向量组α₁=(1,0,2)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(1,1,3)ᵀ，α₄=(2,1,5)ᵀ的极大无关组并表示其余向量。解：按列拼阵作初等行变换：主元在第1、2列，α₁,α₂为极大无关组（秩为2）；α₃=α₁+α₂，α₄=2α₁+α₂。20．求下列非齐次线性方程组的通解（最后一列为常数项）。解：增广矩阵行最简形为：r=2<4，x₃、x₄自由，特解η*=(1,1,0,0)ᵀ，基础解系ξ₁=(0,1,1,0)ᵀ、ξ₂=(−1,0,0,1)ᵀ。21．求矩阵A的特征值与特征向量，并判断A是否可以对角化。解：22．问t取何值时，二次型f=x₁²+x₂²+5x₃²+2tx₁x₂−2x₁x₃+4x₂x₃正定。解：四、证明题23．已知α₁,α₂,α₃线性无关，且β1=α1+α3；β2=α1+α2；β3=α2+α3。证明β₁,β₂,β₃线性无关。证：由已知(β₁,β₂,β₃)=(α₁,α₂,α₃)C，其中过渡矩阵因|C|≠0，C可逆，故r(β₁,β₂,β₃)=r(α₁,α₂,α₃)=3，等于向量个数，所以β₁,β₂,β₃线性无关。▢

（第六套）一、单项选择题1．若行列式有两行元素完全相同，则该行列式的值为（D）A．1B．−1C．不能确定D．02．m个n维向量，当m>n时该向量组必线性（C）A．相等B．无关C．相关D．正交3．设A为三阶方阵且|A|=2，则|2A|=（B）A．12B．16C．4D．84．若λ是可逆阵A的特征值，则A⁻¹的特征值为（C）A．λ²B．λC．1/λD．−λ5．写二次型矩阵时，交叉项x_ix_j的系数应（A）到对称位置A．平分B．乘以2C．删去D．全部放在主对角元二、填空题6．r(A)=r(A|b)<n时，方程组有无穷多解。7．(α,β)=0称两向量正交。8．二阶行列式|31；24|=10。9．二次型标准形中正平方项的个数称为正惯性指数。10．矩阵A的特征方程为|λE−A|=0。11．n阶矩阵可对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量。12．部分组相关，则整体组必线性相关。13．三阶A的特征值为1,−1,2，则trA=2。14．f=6x₁²+6x₂²−2x₁x₂经正交变换的标准形为5y₁²+7y₂²。15．线性无关的向量组增加分量（升维）后仍线性无关。三、计算题16．计算三对角行列式D。解：用递推D_n=2D_{n−1}−D_{n−2}，D_1=2、D_2=3，故D_3=4、D_4=5；也可逐次行变换化上三角得主对角线乘积。17．已知矩阵A、B如下，求A−B与AB。解：按矩阵数乘、加减、乘法法则直接计算：18．设a、b均不为零，求对角矩阵A=diag(a,b)的逆矩阵。解：对角矩阵的逆仍为对角矩阵，对角元取倒数：19．求四维向量组α₁=(1,0,1,1)ᵀ，α₂=(0,1,1,0)ᵀ，α₃=(1,1,0,1)ᵀ，α₄=(0,1,3,0)ᵀ的极大无关组并表示其余向量。解：按列拼阵作初等行变换：主元在第1、2、3列，α₁,α₂,α₃为极大无关组（秩为3）；α₄=α₁+2α₂−α₃。20．求下列非齐次线性方程组的通解（最后一列为常数项）。解：增广矩阵行最简形为：r=2<4，x₃、x₄自由，特解η*=(1,0,0,0)ᵀ，基础解系ξ₁=(−1,1,1,0)ᵀ、ξ₂=(−1,0,0,1)ᵀ。21．求矩阵A的特征值与特征向量，并求可逆矩阵P使P⁻¹AP为对角阵。解：22．用正交变换化二次型f=−2x₂²−2x₃²+4x₁x₂+4x₁x₃为标准形，写出规范形。解：A=[[0,2,2],[2,−2,0],[2,0,−2]]，特征值λ=2（(2,1,1)ᵀ）、λ=−2（(0,−1,1)ᵀ）、λ=−4（(−1,1,1)ᵀ），两两正交，单位化后：四、证明题23．已知α₁,α₂,α₃线性无关，且β1=α1+2α3；β2=2α1+α2；β3=2α2+α3。证明β₁,β₂,β₃线性无关。证：由已知(β₁,β₂,β₃)=(α₁,α₂,α₃)C，其中过渡矩阵因|C|≠0，C可逆，故r(β₁,β₂,β₃)=r(α₁,α₂,α₃)=3，等于向量个数，所以β₁,β₂,β₃线性无关。▢

（第七套）一、单项选择题1．矩阵不同特征值所对应的特征向量一定线性（D）A．相等B．相关C．成比例D．无关2．矩阵A全部特征值之积等于（B）A．0B．|A|C．trAD．13．正交矩阵Q满足（C）A．Q=OB．Q²=EC．QᵀQ=ED．|Q|=04．n个n维向量线性无关的充要条件是它们所成行列式（C）A．等于1B．等于0C．不等于0D．大于05．n个方程n个未知量的齐次方程组当|A|≠0时（B）A．有无穷多解B．只有零解C．有非零解D．无解二、填空题6．齐次方程组Ax=0总有零解。7．|AB|=|A|·|B|。8．二次型规范形中负平方项的个数称为