专题21 导数及其应用解答题（一）（切线方程、单调性及极值与最值）（五大考点71题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题21导数及其应用解答题（一）（切线方程、单调性及极值与最值）（五大考点，71题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01求切线方程2026全国二卷、2026天津、2026北京、2026上海、2025天津、2024天津、2024新课标Ⅱ、2023北京、2023全国乙、2023天津、2023上海、2022天津、2022全国甲、2022全国乙、2022北京、2021天津、2021北京、2020天津、2020北京、2020全国Ⅲ、2019北京、2018北京、2018全国Ⅲ、2017山东、2017北京1.导数大题开篇基础问，全国各卷高频必考，难度偏低。2.核心考法：根据切线条件求函数参数、求定点处切线方程、切线相关几何面积最值。3.常作为题干铺垫，后续衔接单调性、零点、不等式证明，函数涵盖多项式、指数、对数、三角函数。考点02切线及切点的应用2025北京、2024北京、2022浙江、2021全国乙、2018天津、2017天津1.切线拔高综合题型，多为大题第二、三小问，区分度更高。2.核心考法：多条切线共点、两条曲线公切线、切线与曲线位置证明、切线衍生面积问题。3.解题关键设切点建立方程，结合判别式、数形结合判断切点数量。考点03利用导数研究函数的单调性2025全国二卷、2024全国甲、2023全国甲、2023新课标Ⅰ、2022新高考Ⅱ、2021新高考Ⅰ、2021新高考Ⅱ、2021浙江、2021全国甲、2020全国Ⅰ、2020全国Ⅱ、2019天津、2018全国Ⅰ、2018全国Ⅱ、2017全国Ⅰ、2017全国Ⅱ、2017全国Ⅲ、2017天津1.导数解答题核心主干考点，所有导数大题基本都会涉及。2.核心考法：含参函数单调区间分类讨论、单调性恒成立求参数、结合零点与不等式综合证明。3.主流函数载体为指数、对数复合函数，重点考查分类讨论逻辑。考点04函数的极值及极值点2025上海、2024全国甲、2023新课标Ⅱ、2021全国乙、2019江苏、2019全国Ⅱ、2018全国Ⅲ、2017江苏、2017全国卷1.导数中档难点，衔接单调性、零点、不等式证明。2.核心考法：求函数极值、由极值条件反求参数、极值点唯一性证明、极值范围约束。3.高频易错点：导数值为0仅是极值必要条件，需验证左右导数符号变化。考点05函数的最值2025全国一卷、2022全国乙、2022新高考Ⅰ、2017全国Ⅲ、2017浙江1.常规综合考点，常搭配区间限制、恒成立、整数约束出题。2.核心考法：闭区间最值、函数全局最值、满足恒成立的参数最值、数列相关最值约束。3.常借助最值完成不等式放缩与恒成立证明。考点01求切线方程（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，；(2)当时，，求的取值范围；(3)当时，，求的最小值．（2026·天津·高考真题）已知．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明；(3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求的极值点个数；(3)求与交点个数．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．(1)已知，求的解集；(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．（2026·上海·高考真题）已知函数.(1)当，，求函数在处的切线方程；(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.（2025·天津·高考真题）已知函数(1)时，求在点处的切线方程；(2)有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．（2024·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意成立，求实数的值；(3)若，求证：．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．(1)若正整数，证明；(2)若正整数，试比较与大小；(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)若曲线和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．（2020·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．（2020·全国III卷·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．（2019·北京·高考真题）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．（2018·北京·高考真题）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.（2018·全国III卷·高考真题）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．（2017·山东·高考真题）已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.（2017·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．考点02切线及切点的应用（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．(1)求的最大值；(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.(2)求证：不经过点.(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明：；（III）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.考点03利用导数研究函数的单调性（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数.证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.（2020·全国I卷·高考真题）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.（2020·全国II卷·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．（2020·全国II卷·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：；（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.（2019·天津·高考真题）设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.（2018·全国II卷·高考真题）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.（2017·天津·高考真题）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.（2017·全国III卷·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.（2017·全国II卷·高考真题）设函数.（I）讨论函数的单调性；（II）当时，，求实数的取值范围.考点04函数的极值及极值点（2025·上海·高考真题）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．（2019·江苏·高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（