2026年四川省人教版高中数学第6章三角函数应用题库

2026年四川省人教版高中数学第6章三角函数应用题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=10，则边AC的长度为（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3解析：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin45°/10=sin60°/AC，解得AC=10×sin60°/sin45°=5√6/√2=5√3。2.某港口的潮汐变化规律可近似看作正弦函数y=Asin(ωx+φ)+B，其中A=1.5米，周期T=12小时，当x=0时，潮高y=1米。则函数的解析式为（）A.y=1.5sin(π/6x+π/4)+1B.y=1.5sin(π/6x-π/4)+1C.y=1.5sin(π/12x+π/3)+1D.y=1.5sin(π/12x-π/3)+1解析：周期T=12小时，ω=2π/T=π/6，当x=0时，y=1.5sin(π/6×0+φ)+1=1，解得sinφ=0，φ=kπ，取φ=0，解析式为y=1.5sin(π/6x)+1。3.已知函数y=2sin(3x+π/4)的图像向右平移φ个单位后，得到函数y=2sin3x的图像，则φ的最小正值是（）A.π/12B.π/6C.π/4D.π/3解析：平移后函数为y=2sin[3(x-φ)+π/4]，即2sin(3x-3φ+π/4)，令-3φ+π/4=kπ，k=0，得φ=π/12。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=√3，b=2，C=30°，则cosA的值为（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√3/4解析：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，即c²=3+4-4√3cosC，又cosC=1/2，解得c=1，由余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(4+1-3)/(2×2×1)=1/2。5.函数y=3cos(2x-π/3)在区间[0,π]上的最小值是（）A.-3B.-√3C.-1D.0解析：当2x-π/3=π时，函数取得最小值-3。6.某城市某天的温度变化规律近似满足函数y=10+8sin(π/12x)，其中y为温度（℃），x为时间（小时），0≤x≤24。则这天温度最高和最低的时间分别为（）A.6时、18时B.12时、18时C.6时、12时D.12时、6时解析：当x=6时，sin(π/12×6)=1，y最大为18℃；当x=18时，sin(π/12×18)=-1，y最小为2℃。7.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=√2，则△ABC的面积为（）A.1/2B.√2/2C.1D.√3/2解析：由正弦定理，sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°，面积S=1/2×AC×BC×sinB=1/2×√2×BC×√2/2=1/2，解得BC=1。8.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像关于（）对称A.(π/6,-1)B.(π/3,-1)C.(π/2,-1)D.(2π/3,-1)解析：当x=π/3时，y=2sin(π/3+π/6)-1=0，图像过点(π/3,-1)，且为对称中心。9.已知点P(x,y)在函数y=4sin(πx/3)的图像上，且x为整数，若OP=2√3，则x的取值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：OP²=x²+y²=4sin²(πx/3)=4sin²(πx/3)，当sin(πx/3)=±√3/2时，x=3k±1，k为整数，在整数范围内有2个解。10.在△ABC中，角A=30°，角B=45°，则cosC的值为（）A.√3/2B.√2/2C.1/2D.-1/2解析：C=180°-30°-45°=105°，cosC=-cos(75°)=-√6/4-√2/4=-√2/2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，若a=3，b=√7，C=60°，则cosA的值为______。解析：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=9+7-2×3×√7×1/2=1，c=1，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(7+1-9)/(2×√7×1)=1/2√7。2.函数y=5sin(2x+π/4)的最小正周期是______。解析：周期T=2π/ω=2π/2=π。3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=2，则边AC的长度是______。解析：由正弦定理，AC/BC=sinB/sinA，AC=2×sin45°/sin60°=√6/√3=√2。4.函数y=3cos(π/3-x)+2的图像可由函数y=3cos(π/3x)的图像经过______变换得到。解析：令π/3-x=t，则y=3cos(π/3-t)+2=3cos(π/3x)+2，需将y=3cos(π/3x)的图像向右平移1个单位。5.已知函数y=2sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，则φ的取值可以是______（写出一个满足条件的值）。解析：2sin(ωπ/4+φ)=√2，即sin(ωπ/4+φ)=√2/2，ωπ/4+φ=kπ+π/4或kπ-π/4，取φ=π/4。6.在△ABC中，若a=4，b=3，cosC=1/2，则sinA的值为______。解析：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=16+9-12=13，c=√13，由正弦定理，sinA=a/b×sinB=a/b×sin(180°-A-C)，又sinB=3/√13，sinA=4/3×3/√13=4√13/13。7.函数y=4sin(x-π/6)+1在区间[-π/2,π/2]上的最大值是______。解析：当x=π/3时，y最大为4×1/2+1=3。8.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，则sinC的值为______。解析：C=180°-30°-60°=90°，sinC=1。9.函数y=2sin(3x-π/4)的图像关于______对称。解析：令3x-π/4=kπ+π/2，x=kπ/3+3π/16，取k=0，对称轴为x=3π/16。10.已知点P(x,y)在函数y=3sin(π/2x)的图像上，且x为整数，若OP=3，则x的取值是______。解析：OP²=x²+y²=9，y=3sin(π/2x)，当sin(π/2x)=±1时，x=2k±1，k为整数，取x=1或x=-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA=4/5。（×）解析：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(16+25-9)/(2×4×5)=17/20。2.函数y=cos(2x+π/3)的最小正周期是π。（√）解析：周期T=2π/ω=2π/2=π。3.若sinα=sinβ，则α=β。（×）解析：sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k为整数。4.在△ABC中，若a²=b²+c²，则cosA=0。（√）解析：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=0。5.函数y=2sin(x+π/6)的图像与y=2cos(x-π/3)的图像完全重合。（√）解析：2cos(x-π/3)=2cos(π/3-x)=2sin(x+π/6)。6.函数y=3sin(2x-π/4)在区间[0,π]上的值域是[-3,3]。（×）解析：当x=π/8时，函数取得最小值-3√2/2；当x=3π/8时，函数取得最大值3√2/2，值域为[-3√2/2,3√2/2]。7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则边BC与边AC的比是√2:1。（√）解析：由正弦定理，BC/AC=sinA/sinB=sin60°/sin45°=√3/√2=√6/2，BC/AC=√2/1。8.函数y=4sin(π/2x)+1的图像关于点(1,1)中心对称。（√）解析：当x=1时，y=4sin(π/2)+1=5，图像过点(1,1)，且为对称中心。9.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosB=(8²+5²-7²)/(2×8×5)=11/20。（√）解析：由余弦定理，cosB=(8²+5²-7²)/(2×8×5)=11/20。10.函数y=2sin(3x+π/6)的图像向左平移π/3个单位后，得到函数y=2sin3x的图像。（×）解析：平移后函数为y=2sin[3(x+π/3)+π/6]=2sin(3x+π+π/6)，图像不重合。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=6，求边AC的长度。解：由正弦定理，AC/BC=sinB/sinA，AC=6×sin60°/sin45°=6×√3/√2=3√6。2.函数y=3sin(2x-π/4)的最小正周期是多少？解：周期T=2π/ω=2π/2=π。3.在△ABC中，若a=3，b=5，C=120°，求cosA的值。解：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=9+25-30×(-1/2)=34，c=√34，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(25+34-9)/(2×5×√34)=14√34/85。4.函数y=4cos(π/3-x)+1的图像可由函数y=4cos(π/3x)的图像经过怎样的变换得到？解：令π/3-x=t，则y=4cos(π/3-t)+1=4cos(π/3x)+1，需将y=4cos(π/3x)的图像向右平移1个单位。5.已知函数y=2sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为π，求φ的取值。解：ω=2π/π=2，2sin(2π/4+φ)=√2，即sin(π/2+φ)=√2/2，φ=kπ-π/4，取φ=-π/4。6.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边BC=4，求△ABC的面积。解：C=90°，面积S=1/2×BC×AC×sinB=1/2×4×4×√3/2=4√3。7.函数y=5sin(π/4x-π/6)的图像关于哪个点中心对称？解：令π/4x-π/6=kπ+π/2，x=4kπ+4π/3，取k=0，对称中心为(4π/3,0)。8.在△ABC中，若a=2，b=3，cosC=1/2，求sinA的值。解：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=4+9-6=7，c=√7，由正弦定理，sinA=a/b×sinB=a/b×sin(180°-A-C)，sinB=3√7/14，sinA=2/3×3√7/14=√7/7。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某港口的潮汐变化规律可近似看作函数y=Asin(ωx+φ)+B，其中A=1.5米，周期T=12小时，当x=0时，潮高y=1米。求函数的解析式，并求当x=6时，潮高是多少？解：ω=2π/12=π/6，y=1.5sin(π/6x+φ)+1，当x=0时，1.5sinφ+1=1，sinφ=0，φ=kπ，取φ=0，y=1.5sin(π/6x)+1，当x=6时，y=1.5sin(π)+1=1米。2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC=10，求边AC和边AB的长度。解：由正弦定理，AC/BC=sinB/sinA，AC=10×sin45°/sin60°=10×√2/√3=10√6/3，AB/BC=sinC/sinA，AB=10×sin75°/sin45°=10×(√6+√2)/4√2=5(√3+1)/2。3.函数y=2sin(3x+π/4)的图像向右平移多少个单位后，得到函数y=2sin3x的图像？解：令3(x-φ)+π/4=3x，φ=π/12，需向右平移π/12个单位。4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值。解：由余弦定理，cosB=(3²+5²-4²)/(2×3×5)=7/15，sinB=√(1-cos²B)=√(1-49/225)=√176/15=4√11/15。5.函数y=4sin(x-π/3)+2的图像经过点P(a,6)，求a的值。解：6=4sin(a-π/3)+2，sin(a-π/3)=1，a-π/3=π/2+2kπ，a=5π/6+2kπ，取a=5π/6。6.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边BC=6，求△ABC的面积。解：C=105°，面积S=1/2×BC×AC×sinB=1/2×6×6×√2/2=9√2。7.函数y=3cos(2x-π/4)的最小值是多少？取得最小值时，x的取值范围是什么？解：最小值为-3，当2x-π/4=π+2kπ，x=kπ+3π/8，k为整数。8.某城市某天的温度变化规律近似满足函数y=10+8sin(π/12x)，其中y为温度（℃），x为时间（小时），0≤x≤24。求这天温度最高和最低的时间及温度值。解：当x=6时，sin(π/12×6)=1，y最大为18℃；当x=18时，sin(π/12×18)=-1，y最小为2℃。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A7.C8.B9.B10.B二、填空题1.1/2√72.π3.√24.向右平移1个单位5.π/46.4√13/137.38.19.x=3π/1610.x=1或x=-1三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题1.3√62.π3.14√34/854.向右平移1个单位5.φ=-π/46.4√37.(4π/3,0)8.√7/7五、应用题1.y=1.5sin(π/6x)+1，6米2.AC=10√6/3，AB=5(√3+1)/23.π/124.sinB=4√11/155.a=5π/62.9√27.最小值-3，x=kπ+3π/8，k为整数8.最高温18℃（6时），最低温2℃（18时）【解析】一、单项选择题1.正弦定理应用，sinA/BC=sinB/AC，解得AC=5√3。2.周期T=12小时，ω=2π/T=π/6，φ=0，解析式为y=1.5sin(π/6x)+1。3.平移后函数为y=2sin[3(x-φ)+π/4]，令-3φ+π/4=kπ，φ=π/12。4.余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入数据解得cosA=√3/2。5.当x=π/2时，sin(2x-π/4)=1，y最大为3。二、填空题1.余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入数据解得cosA=1/2√7。2.周期T=2π/ω=2π/2=π。3.正弦定理AC/BC=sinB/sinA，AC=2×sin45°/sin60°=√2。4.平移后函数为y=4cos(π/3-t)+1=4cos(π/3x)+1，需向右平移1个单位。5.sin(π/2+φ)=√2/2，φ=kπ-π/4，取φ=-π/4。三、判断题1.余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入数据解得cosA=17/20≠4/5。2.周期T=2π/ω=2π/2=π。3.sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，不一定相等。4.余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=0。5.2cos(x-π/