4.6.1线段垂直平分线的性质和判定-教学教学课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册4.6.1线段垂直平分线的性质和判定专项练习（全文1231字）##核心考点掌握线段垂直平分线定义：垂直且平分一条线段的直线；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；线段垂直平分线判定：到线段两个端点距离相等的点\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)在这条线段的垂直平分线上；理解性质与判定互为逆定理；会结合全等三角形证明性质与判定\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)利用性质求线段长度\(A、D\)证明线段相等；掌握两点确定一条直线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)判定两个点即可确定线段垂直平分线。答题要求：性质：线上点⇒到两端距离相等；判定：到两端距离相等的点⇒在线的垂直平分线上；注意线段垂直平分线是直线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)不是线段或射线；证明一条直线是线段垂直平分线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)需要找到直线上两个到线段端点距离相等的点。##一\(A、D\)知识梳理1.定义：垂直于一条线段\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)并且平分这条线段的直线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)叫作这条线段的垂直平分线。2.性质定理：线段垂直平分线上任意一点\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)到这条线段两个端点的距离相等。几何语言：$\because$直线$l$垂直平分$AB$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)点$P$在直线$l$上\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore\(PA\(=\)PB\)$。3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)在这条线段的垂直平分线上。几何语言：$\because\(PA\(=\)PB\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore$点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。4.定理原理：性质可以用HL证明左右两个直角三角形全等\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)得到对应边相等；判定通过作垂线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)构造直角三角形\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)HL证明全等\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)得到垂足平分线段。5.重要提醒：单独一个点只能说明这个点在垂直平分线上\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)**两个点才能确定一条直线**；性质用来直接转化线段相等\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)不需要再证全等；区分线段垂直平分线与角平分线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)线段垂直平分线是到线段两端点距离相等\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)角平分线是到角两边垂线段距离相等。##二\(A、D\)选择题（每题5分\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)共30分）1.若点$P$在线段$AB$的垂直平分线上\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)则一定有（）A.$\(PA\(=\)PB\)$B.$PA\perpPB$C.$\(PA\(=\)AB\)$D.$\(PB\(=\)AB\)$2.已知$\(PA\(=\)PB\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)则点$P$在（）A.线段$AB$上B.线段$AB$的垂直平分线上C.线段$AB$的上方D.线段$AB$的下方3.下列关于线段垂直平分线说法正确的是（）A.是一条线段B.是一条射线C.是一条直线D.与线段只能相交不垂直4.在$\triangleABC$中\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)直线$DE$垂直平分$AC$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\(AD\(=\)5\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)则$CD$的长为（）A.3B.4C.5D.105.要确定一条线段的垂直平分线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)至少需要找到几个满足$\(PA\(=\)PB\)$的点（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线交点B.三条中线交点C.三条高线交点D.三边垂直平分线交点##三\(A、D\)填空题（每题6分\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)共30分）1.线段垂直平分线上的点\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)到线段两个________的距离相等。2.到线段两个端点距离相等的点\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)在这条线段的________上。3.线段垂直平分线是一条________。4.若直线$MN$垂直平分$AB$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)点$C$在$MN$上\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)则$AC$________$BC$。5.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个________距离相等。##四\(A、D\)解答题（每题10分\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)共40分）1.基础证明：求证线段垂直平分线上的点\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)到线段两端点距离相等。2.计算题：已知$\triangleABC$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$DE$垂直平分$AB$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)垂足为$E$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)交$BC$于点$D$。若$\(AC\(=\)6\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\(BC\(=\)8\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)求$\triangleACD$的周长。3.证明题：已知$AC\(=\)AD\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)BC\(=\)BD$。求证：直线$AB$是线段$CD$的垂直平分线。4.综合证明：已知在$\triangleABC$中\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\(AB\(=\)AC\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)点$D$在$BC$上\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)且$\(DB\(=\)DC\)$。求证：点$A\(A、D\)D$都在$BC$的垂直平分线上。##五\(A、D\)参考答案与解析选择题：1.A；线段垂直平分线性质；2.B；判定定理；3.C；垂直平分线是直线；4.C；垂直平分线上点到端点距离相等；5.B；两点确定一条直线；6.D；外心定义。填空题：1.端点；2.垂直平分线；3.直线；4.$\(=\)$；5.顶点。解答题：1.证明：设直线$l$垂直平分线段$AB$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)垂足为$O$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)点$P$在$l$上。$\thereforeAO\(=\)BO\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)\anglePOA\(=\)\anglePOB\(=\)90^\circ$。在$\trianglePOA$与$\trianglePOB$中$\begin{cases}AO\(=\)BO\\\anglePOA\(=\)\anglePOB\\PO\(=\)PO\end{cases}$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore\trianglePOA\cong\trianglePOB(\text{SAS})$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore\(PA\(=\)PB\)$。2.解：$\becauseDE$垂直平分$AB$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\thereforeAD\(=\)BD$。$C_{\triangleACD}\(=\)AC+CD+AD\(=\)AC+CD+BD\(=\)AC+BC\(=\)6+8\(=\)14$。答：周长为14。3.证明：$\becauseAC\(=\)AD$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore$点$A$在$CD$垂直平分线上；$\becauseBC\(=\)BD$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore$点$B$在$CD$垂直平分线上。两点确定一条直线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\thereforeAB$是线段$CD$的垂直平分线。4.证明：$\because\(AB\(=\)AC\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore$点$A$在$BC$垂直平分线上；$\because\(DB\(=\)DC\)$\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)$\therefore$点$D$在$BC$垂直平分线上。##六\(A、D\)易错点总结线段垂直平分线的性质和判定四类高频丢分点。第一\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)混淆性质与判定：分不清条件是“点在垂直平分线上”还是“到两端距离相等”\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)定理写反。第二\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)忽略“两点确定一条直线”\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)只证明一个点满足距离相等\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)就直接判定直线是垂直平分线。第三\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)概念混淆\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)把垂直平分线说成线段或射线；区分线段垂直平分线（到端点距离相等）和角平分线（到角两边垂线段相等）。第四\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)周长题型不会进行线段代换\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)看到垂直平分线不能快速把$AD$换成$BD$简化计算。本节是几何重要考点\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)常和等腰三角形\(A、D\)尺规作图综合出题。做题固定流程：看到垂直平分线\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)立刻标记线段相等；分清性质和判定；证明直线是垂直平分线必须找两个点；周长计算使用线段等量替换简化式子。（全文：1231字）下一节：**4.6.2三角形三边垂直平分线的性质**\(AC\(=\)AD\(\thereforeAO=BO，\anglePOA=\anglePOB=90^\circ\)BC\(=\)BD\)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.6.1线段垂直平分线的性质和判定授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形学习目标1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；

3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.02新知导入回顾：轴对称的性质是什么？轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.02新知导入填空△ABC与△DEF关于直线l对称，点A的对应点为______,点B的对应点为______,点D的对应点为______,由轴对称的性质可知线段AD、BE、CF被直线l____________.点D点E点F垂直平分03新知探究线段的垂直平分线的概念:垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）.直线

l就是线段PP'的垂直平分线.

线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.注意l

甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?03新知探究03新知探究探究如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？相等可用全等三角形的性质进行证明03新知探究

思考：当点P在线段AB上时，结论还成立吗?03新知探究线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.几何语言∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线的性质定理).03新知探究说一说线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论是：这个点到这条线段两端的距离相等.它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.03新知探究思考线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题吗？如图，当点M不在线段AB上时，连接MA，MB，由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形.取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线.因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上.当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上.03新知探究线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言∵MA=MB，∴点M在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).03新知探究如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接例1证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理）.同理可得OB=OC.于是OA=OC.所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理）.OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.

B

返回2．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE＝6，EF＝8，FC＝10，则△ABC的面积是________．72返回04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（）A．40° B．50° C．55° D．60°A04课堂练习【知识技能类作业】必做题：2.已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为(

)个.A．1 B．2 C．3 D．4C04课堂练习【知识技能类作业】必做题：3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°A新知应用基础巩固题2.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()A．11B．10C．9D．8B1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.3B.4C.5D.6CPABCD线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.新知应用基础巩固题3.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是