2025年广东省北师大版高中数学选修第二册第7章函数性质习题

2025年广东省北师大版高中数学选修第二册第7章函数性质习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值是（）A.2√3B.4C.0D.-4解析：本题考查函数极值与最值的判断。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=4，故最大值为4。选项A为f(-1)的值，选项C为f(0)的值，选项D为f(-2)的值，均不符合题意。2.若函数g(x)=ln(x+a)在x=1处取得拐点，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：函数g(x)的拐点需满足二阶导数变号。g′(x)=1/x+a，g′′(x)=-1/(x+a)²。令x=1时g′′(1)=0，解得a=-1。验证当a=-1时，g′′(x)在x=1两侧异号，故a=-1正确。3.函数h(x)=e^x-ax在x→+∞时单调递增，则a的取值范围是（）A.a>1B.a<1C.a=1D.a∈R解析：h′(x)=e^x-a，若h(x)单调递增，需h′(x)≥0恒成立。当x→+∞时e^x→+∞，故a≤e^x对任意x成立，即a≤0。选项中仅B符合。4.函数m(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π/2]上的最小值是（）A.-1B.-√2/2C.0D.-1/2解析：m(x)=sin(x)+1-2sin²(x)=-2sin²(x)+sin(x)+1。令t=sin(x)，x∈[0,π/2]则t∈[0,1]，转化为二次函数z=-2t²+t+1在[0,1]上的最小值。对称轴t=1/4，计算z(0)=1，z(1/4)=9/8，z(1)=0，故最小值为0。5.函数n(x)=x/(x²-1)的渐近线共有（）条A.1B.2C.3D.4解析：水平渐近线x→±∞时y→0；垂直渐近线x=±1；无斜渐近线。故共有3条。6.若函数p(x)=x³+bx²+cx+d在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，则b+c的值为（）A.-1B.1C.3D.-3解析：p′(x)=3x²+2bx+c，由极值条件得p′(1)=3+2b+c=0，p′(-1)=3-2b+c=0。联立解得b=0，c=-3，故b+c=-3。7.函数q(x)=√(x²+1)-ax在x→0时无穷小阶数最高，则a的值为（）A.1B.√2C.0D.-1解析：q(x)=x²/√(x²+1)+1-ax。当x→0时，x²/√(x²+1)为x²阶无穷小，需1-ax为x阶无穷小，即a=1。8.函数r(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称，则k的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：若图象关于(1,0)对称，则r(1-x)+r(1+x)=0。代入r(x)得(1-x)³-3(1-x)+1+(1+x)³-3(1+x)+1=0，化简得k=3。9.函数s(x)=ln(1+x)-x在x∈[0,1]上的最大值是（）A.0B.ln2C.1-ln2D.1解析：s′(x)=1/(1+x)-1=(1-x)/(1+x)，x∈[0,1]时s′(x)≤0，故s(x)单调递减。最大值为s(0)=0。10.函数t(x)=x²e^(-x²)在x∈(-∞,+∞)上的最大值是（）A.1B.eC.1/eD.2解析：t′(x)=2xe^(-x²)(1-x²)，令t′(x)=0得x=±1。计算t(±1)=1/e，t(0)=0，故最大值为1/e。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数u(x)=x³-6x²+9x+1的拐点坐标是_________。解：u′(x)=3x²-12x+9，u′′(x)=6x-12，令u′′(x)=0得x=2，代入u(x)得(2,3)。2.函数v(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上的最小值是_________。解：v′(x)=e^x-e^(-x)，x∈[0,1]时v′(x)≥0，故v(x)单调递增。最小值为v(0)=2。3.函数w(x)=sin²(x)+cos²(2x)的周期是_________。解：周期T=LCM(π/2,π)=π。4.函数x(x)=1/(x²-2x+3)的值域是_________。解：x²-2x+3=(x-1)²+2，故1/(x²-2x+3)∈(0,1/2]。5.函数y(x)=x³-3x+a在x=1处取得拐点，则a的值是_________。解：y′(x)=3x²-3，y′′(x)=6x，令x=1时y′′(1)=6≠0，故a任意。6.函数z(x)=ln(x+1)-ln(x)的单调递减区间是_________。解：z′(x)=(-1)/(x(x+1))，x>0时z′(x)<0，故(0,+∞)。7.函数p(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,k)对称，则k的值是_________。解：p(1-x)+p(1+x)=2k，代入得0=2k，故k=0。8.函数q(x)=e^x-ax在x→+∞时为无穷大，则a的取值范围是_________。解：需e^x-ax→+∞，即a≤e^x对任意x成立，故a≤0。9.函数r(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π/2]上的最大值是_________。解：r(x)=-2sin²(x)+sin(x)+1，对称轴x=π/8，计算r(0)=1，r(π/8)=9√2/16+1，r(π/2)=0，故最大值为9√2/16+1。10.函数s(x)=x/(x²-1)的水平渐近线方程是_________。解：x→±∞时y→0，故y=0。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值。（×）解：f′(1)=0但f′′(1)=6≠0，故非极值点。2.函数g(x)=ln(1-x)在x∈(-1,1)上单调递减。（√）解：g′(x)=-1/(1-x)<0。3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的周期是π。（×）解：周期T=2π。4.函数m(x)=1/x在x→0时为无穷小量。（×）解：为无穷大量。5.函数n(x)=x³-3x+2的图象关于原点对称。（×）解：需n(-x)=-n(x)，但n(-x)=x³+3x+2≠-n(x)。6.函数p(x)=e^x-ax在x→+∞时单调递增，则a必须小于e。（√）解：需e^x-ax≥0，即a≤e^x，故a≤e。7.函数q(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π/2]上取得最大值时，sin(x)=1/2。（×）解：最大值时sin(x)=√2/2。8.函数r(x)=x/(x²-1)在x=2处有垂直渐近线。（√）解：分母x=±1时为垂直渐近线。9.函数s(x)=ln(1+x)-x在x∈[0,1]上恒小于0。（√）解：s′(x)<0，故s(x)单调递减，s(0)=0。10.函数t(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称。（√）解：t(1-x)+t(1+x)=0。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明函数f(x)=x³-3x在(-∞,+∞)上存在唯一一个极小值点。解：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f′′(x)=6x，x=-1时f′′(-1)=-6<0（极大值），x=1时f′′(1)=6>0（极小值）。故唯一极小值点为x=1。2.求函数g(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上的最大值和最小值。解：g′(x)=e^x-e^(-x)，x∈[0,1]时g′(x)≥0，故g(x)单调递增。最小值为g(0)=2，最大值为g(1)=e+1/e。3.判断函数h(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π/2]上是否单调，并说明理由。解：h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令h′(x)=0得x=π/2或sin(x)=1/4。在[0,π/2]上h′(x)在(π/6,π/2)内小于0，故非单调函数。4.求函数m(x)=x/(x²-1)的渐近线方程。解：水平渐近线：x→±∞时y→0，即y=0；垂直渐近线：x=±1；无斜渐近线。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值。解：（1）f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。当x∈(-∞,1-√3/3)时f′(x)>0，单调递增；当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时f′(x)<0，单调递减；当x∈(1+√3/3,+∞)时f′(x)>0，单调递增。（2）f(-2)=-1，f(-1)=0，f(1)=3，f(2)=3。最大值为3，最小值为-1。2.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax，（1）求g(x)的单调递增区间；（2）若g(x)在x=1处取得极小值，求a的值。解：（1）g′(x)=1/(x+1)-a，需1/(x+1)-a≥0，即a≤1/(x+1)。当a≤0时，x∈(-1,+∞)单调递增；当a>0时，x∈(-1,-1/a)单调递增。（2）g′(1)=1/2-a=0，解得a=1/2。3.已知函数h(x)=sin(x)+cos(2x)，（1）求h(x)的周期；（2）求h(x)在[0,π/2]上的最大值。解：（1）周期T=LCM(2π,π)=2π。（2）h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令h′(x)=0得x=π/2或sin(x)=1/4。h(0)=1，h(π/6)=√3/2+3√3/4，h(π/2)=1，最大值为h(π/6)=√3/2+3√3/4。4.已知函数m(x)=x/(x²-1)，（1）求m(x)的渐近线方程；（2）若m(x)在x=x₀处取得极值，求x₀的值。解：（1）水平渐近线：x→±∞时y→0，即y=0；垂直渐近线：x=±1；无斜渐近线。（2）m′(x)=(x²-1)-2x²/(x²-1)²=(x²-1-2x²)/(x²-1)²=-x²-1/(x²-1)²，令m′(x)=0得x²=-1无解，故无极值点。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.C3.B4.C5.C6.D7.A8.C9.A10.C二、填空题1.(2,3)2.23.π4.(0,1/2]5.任意6.(0,+∞)7.08.a≤09.9√2/16+110.y=0三、判断题1.×2.√3.×4.×5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题1.证明：f′(x)=3x²-3，f′′(x)=6x。x=-1时f′′(-1)<0，x=1时f′′(1)>0，故x=1为极小值点。2.最小值：g(0)=2；最大值