波的反射与折射课件

波的反射與折射

當平面電磁波穿過兩種理想的非導體媒質分界面時的情況。我們將對電場和磁場中兩種均勻、各向同性、絕緣介質的分界面建立一組邊界條件,此外,還會進一步豐富電磁波的數學描述,以便改換一個視角來對電磁波進行研究而又不額外增加數學知識。

重點一、電磁波傳播的邊界條件二、平面邊界的反射與透射三、全折射與全反射

四、反射波的相位9.1電磁波傳播的邊界條件邊界和電磁波的傳播方向如圖所示電磁波的入射、反射與透射

只考慮介質1和介質2之間邊界為平面的情況。假定入射電磁波從介質1穿過邊界，並將邊界置於y-z平面上,於是x軸便垂直於邊界。這樣要歷經的邊界必須沿x方向行進。邊界可以看成是從介質1到介質2連續變化的一個社區域。麥克斯韋方程適用於折射率分別為n1和n2的不同介質,自然也適用於邊界區域。回顧各向同性絕緣介質中的麥克斯韋方程只存在由於介質極化產生的電荷和電流假定僅在x方向才會有邊界的變化,沿著y和z方向沒有邊界可以看出，在穿過邊界時,這一項的大小並不改變即

對於各向同性的絕緣介質，可以利用和之間的關係，簡化電場在x方向分量的邊界條件。電場在x方向上分量的邊界條件為結論下麵考慮麥克斯韋第二方程令右邊為零與x無關的所有項的導數均應為零結論：全部的電場邊界條件為全部的磁場邊界條件為磁場的任何分量在穿過邊界時都不改變。9.2傳播向量回顧下麵我們採用一種比較靈活的方法來確定波的傳播方向,首先考慮一個位置向量(描述場點的向量)與向量的標量積

描述了一個沿Z方向

傳播的單色平面波，其中是一個常向量，其大小確定了電場的幅值，而其方向則給定了電場的極化方向，式中的常數k為

現在將定義為傳播向量，並把平面單色波的方程寫為

則只需要改變的分量就可以達到表示波的傳播方向的目的。利用傳播向量來描述波還有一個好處：可以很容易得到場量關於時間和空間的導數。對於空間座標的導數則為這時可將上式寫為由於由向量分析可知並且9.3平面邊界的反射與透射平面單色波在兩種理想絕緣介質交界面上的入射、反射和透射

利用傳播向量來對平面單色波在兩種理想的絕緣介質(假定為均勻,各向同性和無損耗)之間平面邊界上的反射和透射問題重新討論。如右圖示：入射波：反射波：透射波：顯然，必須首先明確地給出入射平面單色波的描述式，這裏代表傳播方向，常向量則表示入射電場的方向。此外,波的傳播方向可以是任意的。

第7章中曾經指出：當平面線性極化波穿過各向同性絕緣介質時，場的方向不會產生旋轉變化，這樣,在假定介質1、介質2和邊界區域均為各向同性的情況下，就可以認為電場方向是不會發生旋轉變化的。如果用代表入射波的方向，那麼反射波和透射波將與同方向。下麵我們就來分別考慮這兩種極端的情況然而,按照對於所要解決問題的考慮,的方向可能會出現兩種極端的情況，即它或與X-Y平面平行或垂直於X-Y平面，的其他全部可能的取向可以用這兩個相互垂直的方向的向量和來表示。

第一種情況:在這種情況下,電場只有Z分量,邊界上介質1一邊的電場是入射場和反射場的向量和，而介質2這一邊的情況則比較簡單，電場就是透射場電場的極化平面垂直於X-Y平面（入射面）即由於這些場都只存在Z分量，而且電場在Z分量上的邊界條件為現在假定入射波的傳播方向在x-y平面上，有對於反射波傳播方向有

對於透射波傳播方向有因而有即上式在邊界上，即x=0處成立，因而有

如果要求該方程必須在邊界上的每一點,即對於任何y和z值都成立，而且在任何時刻也必須成立，則應有對入射波有對反射波有由或所以上式中的正根表明入射波和反射波的傳播向量具有相同的分量，即入射波和反射波的傳播方向是相同的，因此在這種情況下應取又知則由圖可知說明入射角等於反射角，這就是斯涅爾反射定律。對於透射波則有比較可知，對於入射角和反射角有由於所以有此關係式稱為斯涅爾折射定理結論

上面所得到的結果表明一、在透射和反射過程中波的頻率是不變的，入射、反射、透射三種波均平行於X-Y平面（入射平面），入射角等於反射角；二、斯涅爾折射定理則反映了入射角和透射角之間的關係。於是可得

為了獲得三種波的振幅之間的關係，我們來看一下磁場的邊界條件由於入射面一邊的磁場由入射磁場和反射磁場合成，而在邊界另一邊則僅有透射磁場,所以邊界條件可以寫成因為所以向量方程對應的各分量應分別相等,所以對於分量有可得由於並且每一個電場僅有Z方向的分量,於是上式又變為由

三個電場都沿z方向因為所以即有乘上後再減去得對於方向分量則可以得到上式是在電場的切向分量是連續()的這一前提下得出的，根據第三章中關於邊界條件的討論可知，在介質1和介質2的交界面上,當介質的交界面上無面電流分佈時，磁場的切向分量也應是連續的，即，於是有根據阻抗關係，引入本征阻抗後有其中

通過以上分析可得入射、反射和折射這三個電場振幅之間的另一種描述關係為——稱為垂直極化波電場反射係數——稱為垂直極化波電場折射係數式中定義入射、反射和折射這三個電場振幅之間還有一種描述關係這樣便得將乘上後再減去可得即

於是得到第二種情況:電場的極化平面平行於X-Y平面（入射面）

在這種情況下,入射波在x-y平面傳播,僅有x分量和y分量，所以其傳播向量中不存在Z分量,可以表示為入射場的方向是由常向量來確定的，即有入射波中的磁場可以表示為式中磁場的方向為反射波中的磁場可以表示為式中對於透射波則有式中現在就可以來應用磁場的邊界條件,即

由於整個區域中的介質都是各向同性的，所以波在傳播過程中其方向不會發生變化，那麼邊界條件就可以寫成即該方程僅在x=0的邊界上成立，這就是說對於邊界上所有y和z的點,它在任意時刻都必須成立，因而有對於入射波和反射波，其傳播向量的幅值的平方分別為顯然這裏若取正根,則反射波和入射波的傳播方向是相同的，所以應該取負根,即有——斯涅爾反射定理於是得到對於入射波和透射波,有如下結論這表明，在這種情況下斯涅爾折射定理也成立。各種波的幅值之間的關係已知，相對介電常數於是麥克斯韋方程變為並且因此有類似地可得已知，電場的邊界條件是應用x邊界的邊界條件並注意到由於三個磁場的方向都相同，所以可將上式寫成向量方程於是得到類似地,應用y邊界的邊界條件可得

又由於三個磁場的方向相同，所以可將上式也寫成向量方程，即有乘以方程再減去上式，可得其中於是便得出透射場與入射場之間的關係為所以得或或磁場的上述結果也可以直接用於表示對應的電場幅值之間的關係反射波的電場幅值之間的關係為於是從方程便可以得出入射波與與透射波的電場幅值之間的關係為而由式又可得到入射波

上述關係也可仿照第一種情況中那樣用反射係數和折射係數來表示。由於式中定義——稱為平行極化波的電場反射係數——稱為平行極化波的電場折射係數所以有9.4反射波的極化反射波電場的幅值可以由下麵兩式求得，即當平行於入射平面時:從以上兩式我們可以得出結論：一般來講，任何角度入射的波都存在部分極化的情況，但滿足的波被反射後會產生完全極化現象。如果，由於這時只有垂直於入射平面的電場分量會被反射,所以它就是被邊界所反射的極化波。當垂直於入射平面時:將代入斯涅爾定理,可以定義出一個特殊的入射角，稱為布儒斯特角，此時兩種介質邊界上所反射的波將會被完全極化，並且有9.5法向入射當電場的方向平行於入射平面時可得如果，利用斯涅爾定理有在法向入射的情況下，反射波幅值與入射波幅值兩者比值的表示形式特別簡單。根據斯涅爾定理可知，對於法向入射,有並且有類似地,對於垂直於入射平面的有再根據斯涅爾定理，如果，則可得因此在法向入射的情況下，對於與入射面垂直和平行的來說,其反射波幅值與入射波幅值兩者比值的結果相同。波的能量或是強度與或的模的平方成正比，並且反射強度與入射強度之比為在法向入射的情況下，反射係數和折射係數變為它們滿足和的關係。即入射波在邊界上完全反射。這時若介質1是理想介質，介質2是理想導體則為了方便討論，一般可將垂直入射問題都視為垂直極化，並將反射係數簡記為R，那麼，這時在介質1的區域內，總的電場和總的磁場將是入射場和反射場的疊加

上式中的第1項表示它是向著z方向傳播的平面電磁波，我們稱其為行波；第2項是幅度隨著z按照正弦變化的電磁振盪波，我們稱之為駐波，形成駐波的條件是產生波的全反射，即由入射行波與反射行波疊加而形成駐波。駐波的平均功率流密度為零，沒有電磁場能量的傳輸，只有電場能量與磁場能量的交換。行波與駐波的混合狀態稱為行駐波。忽略中的初始相位常量，令其等於實數則有這樣就可以將駐波理解為向著z方向傳播的一個平面波，它的振幅為前面的模值，即上面這兩個式子是以z為變數，以為週期的週期性函數，其性質分以下兩種情況討論：根據前面的式子，有第一種情況：在，即處，為電場振幅的最大點和磁場振幅的最小點。這時電磁波是由光密媒質入射到光疏媒質上，這時這時在，即處，為電場振幅的最小點和磁場振幅的最大點。這時

場強振幅的最大點處稱為波腹，場強振幅的最小點處稱為波節。可見，當電磁波由光密媒質入射到光疏媒質上時，分界面處為電場的波腹、磁場的波節；而距離分界面處，為電場的波節和磁場的波腹。電場的波腹和波節的位置與上述情況正好相反。第二種情況：這時電磁波是由光疏媒質入射到光密媒質上，這時駐波比和行波係數定義電場或磁場的最大振幅與最小振幅之比被定義為駐波比或駐波係數（VSWR）,記做在行駐波混合狀態下，可以定義行波係數,記做也可用駐波係數表示反射係數也可用行波係數表示反射係數9.6全折射與全反射定義一.全折射當電磁波以某一入射角入射到兩種媒質交界面上時，如果反射係數為0，則全部電磁能量都進入到第二種媒質，這種情況稱為全折射。出現全折射時對應的入射角就是布儒斯特角下麵以垂直極化波和平行極化波兩種情況進行討論。（1）垂直極化波的情況由斯涅爾公式可知，使垂直極化波反射係數的條件是對於一般的非磁性媒質有如果，則上式無解，即不存在這樣的入射角；故垂直極化波只有在兩種不同媒質的介面上才有產生全折射的可能。（2）平行極化波的情況由斯涅爾公式可知，使平行極化波反射係數的條件是，則成為同一媒質，沒有介面存在,為任意角時都不會使電磁波的傳播性質有所改變。如果對於一般的非磁性媒質，由於所以有因此，布儒斯特角為發生全折射時，折射角與入射角的關係為所以有一個極化在任意方向的均勻平面波，當它以布儒斯特角入射到兩種媒質的分界面上時，其平行分量發生全折射，結果使得反射波成為一個垂直極化波。結論二.全反射定義當電磁波入射到兩種媒質交界面上時，如果反射係數，則投射到介面上的電磁波將全部反射回第一種媒質中，這種情況稱為全反射。根據斯涅爾折射定理有此時，在實數域內不存在確定的折射角，我們說此時發生了全反射。發生全反射的最小入射角是時的角，我們稱其為臨界角，記做此時有當，即電磁波從光密媒質入射到光疏媒質時，入射角若大於一定的數值後，將會出現的情況，對於一般非磁性媒質9.7反射波的相位變化當垂直於入射平面時:當平行於入射平面時:由上式可知，若其中兩正弦項之比值為正,則和方向相同。由於角度（）只能在0和π弧度之間，故總是正值。然而,角度（）在0和-π/2之間，所以當時將為負值。於是,根據斯涅爾定理，條件和可以看作是等價的。與入射平面相垂直的電場分量的相位變化如圖入射波從折射率較大的介質被反射時，對於與入射平面相垂直的電場分量而，入射場與反射場的方向在邊界處是相反的，即如果則電場的垂直分量的相位將會發生的變化。磁場之間的關係又如何呢？

入射角等於布儒斯特角時的相位突變如果磁場的相位發生變化，那麼[]的符號肯定是負的。當時，為正值；若這時又有，則[]也為正值，所以，當並且時，磁場的相位不會發生變化。

在入射角大於布儒斯特角的情況下，就有，那麼將為負值，這時，入射磁場與反射磁場之間的相位一定會發生變化,兩者相差。

然而,我們並不能說由磁場所得到的結果與在電場中得到的結果是一樣的，為了從磁場得到電場，我們必須利用式電場的方向並不僅僅決定於，還需要考慮由所確定的傳播方向。顯然，入射波與反射波的傳播方向是不同的，這時,若要對入射波與反射波的相位關係進行討論，實際上實際上只需要考慮入射角的兩種極端情況：（a）

（b）

當時，入射波與反射波的傳播方向相反，這樣就有此時有這正好符合當即時相位變化的情況。因此對於法向入射波來說，如果，