《初中数学期中压轴易错题19大专题》7下(苏科)

期中易错题压轴题专项复习【19大题型】（考试范围：第7~9章）【苏科版2024】TOC\o"1-3"\h\u8082【易错篇】 110635【考点1幂的运算】 19735【考点2单项式乘单项式】 223055【考点3单项式乘多项式】 26002【考点4多项式乘多项式】 34363【考点5完全平方公式】 45222【考点6平方差公式】 427021【考点7平移】 532099【考点8轴对称与轴对称图形】 613619【考点9旋转】 727706【考点10中心对称与中心对称图形】 817010【压轴篇】 1018897【考点11幂的运算的逆用】 1025043【考点12多项式乘积不含某项求字母的值】 1027357【考点13多项式乘多项式与图形面积】 112623【考点14整式乘法中的规律性问题】 1413190【考点15整式乘法中的恒成立问题】 1515514【考点16利用平移、轴对称、旋转设计图案】 16276【考点17多结论类问题】 182357【考点18新定义类问题】 1921011【考点19阅读理解类问题】 20【易错篇】【考点1幂的运算】【例1】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算−452024×1.252023A．4 B．−4 C．5 D．−5【变式1-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（

）A．a5⋅aC．x2+x【变式1-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知4a−3b+1=0，则32×3【变式1-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【考点2单项式乘单项式】【例2】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设xm−1yn+2⋅xA．−18 B．−12 【变式2-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：−2a2b3⋅【变式2-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若am+1bn+2⋅−【变式2-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米．【考点3单项式乘多项式】【例3】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为．【变式3-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若xx+a+3x−2b=x2【变式3-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“−2x2（3x﹣■+1）＝−6x【变式3-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅Wi−Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是【考点4多项式乘多项式】【例4】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（）A．2张 B．3张 C．4张 D．5张【变式4-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为(m+6)米（m为正数），宽为(m+3)米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（

）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定【变式4-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：12b2a−4b−2a+b【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：我们发现，x+px+q=x2+运用规律(1)如果x+3x−5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a−3b−3②求1a【考点5完全平方公式】【例5】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知a2+bA．4 B．−4 C．8 D．−8【变式5-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于x的整式9x2−2m−1x+【变式5-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足x2+y2【变式5-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知(x−2023)2+(x−2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【考点6平方差公式】【例6】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4−1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(4【变式6-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y−x−y D．【变式6-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为ama>4的正方形跳远沙池的一组对边各增加1mA．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定【变式6-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔnmǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为2a+bcm，宽为2a−bcm的长方形，中间凿掉一个边长为acm

【考点7平移】【例7】（24-25七年级·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（

）A． B．C． D．【变式7-1】（24-25七年级·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（

）A．线段BC的长 B．线段BF的长C．线段CE的长 D．线段AD的长【变式7-2】（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acma<5得到三角形DEF，且AC与DE相交于点G，连接【变式7-3】（24-25七年级·广东清远·期末）如图，在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．(1)请你作出平移后的图形△DEF；(2)线段BC与EF的关系是：______【考点8轴对称与轴对称图形】【例8】（24-25七年级·广西河池·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则【变式8-1】（24-25七年级·甘肃陇南·期末）下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（

）A．B．C． D．【变式8-2】（24-25七年级·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．△ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）．(1)画出△ABC关于直线DE对称的△A(2)在直线DE上画出点P，使PB+PC最小．【变式8-3】（24-25七年级·浙江杭州·期末）一张矩形纸片ABCD，若如图（1）翻折，点A的对应点A′恰好落在PB′上，折痕分别为PE，PG，则∠EPG的度数为．若如图（2）翻折，点A的对应点A′落在∠B′PG的内部（不含角的两边），已知∠APE=48°【考点9旋转】【例9】（24-25七年级·安徽合肥·期中）如图，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是（

）A． B．C． D．【变式9-1】（24-25七年级·广东广州·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【变式9-2】（24-25七年级·广东潮州·期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠DBC的度数为（

）A．120° B．135° C．150° D．160°【变式9-3】（24-25七年级·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转n°后第一次与自身重合，则n的值为．【考点10中心对称与中心对称图形】【例10】（24-25七年级·山东临沂·期末）未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式10-1】（24-25七年级·新疆阿克苏·期中）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称．下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有．（只填序号）【变式10-2】（24-25七年级·江苏南通·假期作业）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是cm2．【变式10-3】（24-25七年级·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A(2,4)，B(1,0)，C(5,1)．(1)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1(2)画出△ABC关于点O成中心对称的△A【压轴篇】【考点11幂的运算的逆用】【例11】（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则m+nmn=【变式11-1】（24-25七年级·四川巴中·期中）已知2x+2⋅3x+2=【变式11-2】（24-25七年级·安徽滁州·期中）已知x=2（1）若x=m2，则自然数m=（2）若x+2n是一个完全平方数，则自然数n=【变式11-3】（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且【考点12多项式乘积不含某项求字母的值】【例12】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为S1，S2，两个小正方形，面积分别为S3，S4，若2S1－S2的值与AB的长度无关，则S3与S4之间的关系是.【变式12-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）对于多项式x−a，x−b，x−c，x−d（a，b，c，d是常数），若x−a与x−b的积减去x−c与x−d的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（

）A．a+b=−c−d B．a−b=c−dC．a+b=c+d D．ab=cd【变式12-2】（24-25七年级·四川巴中·期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x【变式12-3】（24-25七年级·安徽淮北·期中）［知识回顾]有这样一类题：代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x−6y+5，所以a+3=0，即［理解应用](1)若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x(2)已知3(2x+1)(x−1)−x(1−3y)+6(−x2+xy−1)(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1-S【考点13多项式乘多项式与图形面积】【例13】（24-25七年级·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．(1)【知识探究】如图1，是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到(a−b)2、(a+b)2、(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若a+b=6，ab=7，求a3(3)【拓展探究】如图4，两个正方形ABCD、CEFG的边长分别为x，yx>y若这两个正方形的面积之和为34，且BE=8【变式13-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户ABCD（如图1），是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．(1)求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG=23AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=25【变式13-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；情境一

情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；情境二

情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．【变式13-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；框1(_______)(_______)=2(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；______+______=2(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知a+b2+a−b【考点14整式乘法中的规律性问题】【例14】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式：(x−1)(x+1)=x(x−1)(x(x−1)(x…根据规律计算：22022−2A．22023−23 B．2【变式14-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x−1x(1)【观察】①x−1x+1②x−1x③x−1x(2)【猜想】由此可得：x−1x(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024【变式14-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：131313(1)续写等式：13(2)我们已经知道1+2+3+⋅⋅⋅+n=12n(n+1)(3)利用（2）中得到的结论计算：33【变式14-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7×20−6×21=________，11×16−9×18=________，不难发现，结果都是________．2025年1月(1)完成上面的填空．(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【考点15整式乘法中的恒成立问题】【例15】（24-25七年级·上海·期中）m、n为正整数，如果−amnA．m必为奇数 B．n必为奇数C．m、n必同为奇数 D．m、n必同为偶数【变式15-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论x为何值时，等式x2x+a+4x−3b=2x2+5x+6恒成立，则a=【变式15-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作a,b．即：若ac=b，则a,b=c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为3（1）计算(4,2)+(4,3)=()；（2）在正整数指数幂的范围内，若(42x−4,54k)≥(4,5)恒成立，且【变式15-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(−1,0)=3m．当F(1,−1)=−8，F(1,2)=13，则F(x,y)=；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是【考点16利用平移、轴对称、旋转设计图案】【例16】（24-25七年级·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画）(1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形；(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案）【变式16-1】（24-25七年级·贵州安顺·期中）如图，图2中的图案可以看作是由图1中的基本图案通过一定的图形变换形成的，这个图形变换不可能是（

）A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转【变式16-2】（2024·四川广安·中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【变式16-3】（24-25七年级·江苏南京·期末）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上．(1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）；(2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形Ⅳ经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______．【考点17多结论类问题】【例17】（24-25七年级·重庆·阶段练习）已知a、b、c、d均为常数，e、f均为非零常数，若有两个整式A=x2+ex+f，B=5①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；②当多项式A⋅B乘积不含x4时，则e=6③a+b+c=19；④当A能被x−2整除时，2e+f=−4；⑤若x=2m或m−2时，无论e和f取何值，A值总相等，则m=−2．A．4 B．3 C．2 D．1【变式17-1】（24-25七年级·山东济南·期中）定义：如果2m=n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m=Dn．例如：因为21=2，所以D2=1；因为24=16，所以DA．DB．若C．若D．若【变式17-2】（24-25七年级·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了a+bnn=1,2,3,4,5,6的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应a+b2有如下两个结论：①a+b5②当a=−2，b=1时，代数式a3+3a上述结论中，正确的有（写出序号即可）．【变式17-3】（24-25七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．①将多项式(a②将多项式(a③将多项式(a2+2a+1)④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【考点18新定义类问题】【例18】（24-25七年级·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数a，b，a△b=a2+b−3，例如：2△1=(1)设A=x△m−2x（①已知关于x的方程A=m−1x②已知A与B为关于x的多项式，B=2△x，n的值满足2n+2−2n+1=8(2)如果数对a,b满足a△b=2b△2a，我们称数对a,b为“嘉幸数”，已知数对2,m与1,n均为“嘉幸数”，求代数式4m+n【变式18-1】（24-25七年级·浙江台州·期末）规定两正数a,b之间的一种运算，记作a,b：如果ac=b，那么a,b=c．例如：因为34=81，所以3,81=4．小慧在研究这种运算时发现：a,b+a,c=a,bc，例如：5,6+5,7=（1）4,2+4,32的值为（2）2×mn,2mn+mn,【变式18-2】（24-25七年级·湖南长沙·期中）阅读以下材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如43×68=34×86=2924，所以43和68与34和86都是“幸福数对”.解决如下问题：(1)请判断24与63是否是“幸福数对”？并说明理由：(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程；(3)若有一个两位数，十位数字为x2+x+1，个位数字为2x2+x+3【变式18-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(−1,0)=3m．当F(1,−1)=−8，F(1,2)=13，则F(x,y)=；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，【考点19阅读理解类问题】【例19】（24-25七年级·上海闵行·期中）阅读理解题阅读材料：

两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．

比如47×43，它们乘积的前两位是4×4+1=20，它们乘积的后两位是7×3=21，所以

再如62×68，它们乘积的前两位是6×6+1=42，它们乘积的后两位是2×8=16，所以

又如21×29，2×2+1=6，不足两位，就将6写在百位：1×9=9

该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；

设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数），则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+10−b

两数相乘可得：(10a+b)[10a+(10−b)]=100=100=100=100a(a+1)+b(10−b).（注：其中aa+1表示计算结果的前两位，b问题：

两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．

如44×73、77×28、55×64等．（1）探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤；（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为___________．设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为___________．（a、b表示1~9的正整数）（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：100aa+1【变式19-1】（24-25七年级·湖北十堰·期中）阅读材料：31的末尾数字是3，32的末尾数字是9，33的末尾数字是7，34的末尾数字是1，35的末尾数字是3，，观察规律，34n+1=(34)(1)32021的末尾数字是，142022的末尾数字是(2)求22022(3)求证：122024【变式19-2】（24-25七年级·福建龙岩·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6⋯)的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着(a+b)2=a2+2ab+b（1）写出(a+b)4（2）利用整式的乘法验证你的结论．【变式19-3】（24-25七年级·山东济南·期末）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．【特例感知】代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是对称式．而交换式子m−n中字母m，n的位置，得到代数式n−m，因为m−n≠n−m，所以m−n不是对称式．【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：(1)下列代数式中是对称式的有_____(填序号)①2②−2③−2④m−n(2)若关于m，n的代数式km−n2+k(3)在(2)的条件下，已知上述对称式km−n2+km2期中易错题压轴题专项复习【19大题型】（考试范围：第7~9章）【苏科版2024】TOC\o"1-3"\h\u8082【易错篇】 110635【考点1幂的运算】 19735【考点2单项式乘单项式】 323055【考点3单项式乘多项式】 56002【考点4多项式乘多项式】 74363【考点5完全平方公式】 105222【考点6平方差公式】 1227021【考点7平移】 1432099【考点8轴对称与轴对称图形】 1613619【考点9旋转】 2027706【考点10中心对称与中心对称图形】 2217010【压轴篇】 2518897【考点11幂的运算的逆用】 2525043【考点12多项式乘积不含某项求字母的值】 2727357【考点13多项式乘多项式与图形面积】 312623【考点14整式乘法中的规律性问题】 3813190【考点15整式乘法中的恒成立问题】 4315514【考点16利用平移、轴对称、旋转设计图案】 45276【考点17多结论类问题】 492357【考点18新定义类问题】 5421011【考点19阅读理解类问题】 59【易错篇】【考点1幂的运算】【例1】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算−452024A．4 B．−4 C．5 D．−5【答案】A【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先逆用同底数幂相乘将−452024【详解】解：−===1×=1×=4．故选：A．【变式1-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（

）A．a5⋅aC．x2+x【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一运算判断即可．【详解】解：A：a5B：−5aC：x2D：−m故选：D．【变式1-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知4a−3b+1=0，则32×3【答案】3【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂乘除法，幂的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可得4a−3b=−1，再将32×3【详解】解：∵4a−3b+1=0，∴4a−3b=−1，∴3故答案为：3．【变式1-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【答案】9【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算可得24a−3b【详解】解：24a−3b故答案为：94【考点2单项式乘单项式】【例2】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设xm−1yn+2⋅xA．−18 B．−12 【答案】A【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可．【详解】解：∵xm−1∴6m−1=5,n+4=7，解得：m=1,n=3，∴−1故选：A．【变式2-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：−2a2b3⋅【答案】−a【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．【详解】解：原式=−2a当a=2，b=1时，原式=−a【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．【变式2-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若am+1bn+2⋅−【答案】2【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入m+n计算即可.【详解】∵am+1∴−a∴m+2n=32m+n+2=5解之得m=1n=1∴m+n=1+1=2.【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解答本题的关键.【变式2-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米．【答案】480【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可；（2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可．【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为2×2=4（厘米），故答案为：4；（2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则ab=40，由图知，②长方形纸片的长为13a，宽为∴②号长方形纸片的面积是13故答案为：803【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键．【考点3单项式乘多项式】【例3】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为．【答案】1：3【分析】根据题意和图形，设BC的长为x，则可以表示出左上角与右下角的阴影部分的面积的差，然后再根据左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，即可得到b：a的值．【详解】设BC的长为x，左上角与右下角的阴影部分的面积的差为：（x﹣a）•3b﹣（x﹣4b）•a＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab＝（3b﹣a）x+ab，∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，∴3b﹣a＝0，解得a=3b，∴b：a=1：3故答案为：1：3．【点睛】本题考查整式的加减，关键是表示出两个阴影部分的面积，并能正确进行整式的加减运算．【变式3-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若xx+a+3x−2b=x2【答案】0【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a，b的值，代入求值即可求出答案．【详解】解：根据题意可得：∵等式左边=x∴x2∴a+3=5,−2b=4，解得：a=2,b=−2，∴a+b=2+−2故答案为：0【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键．【变式3-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“−2x2（3x﹣■+1）＝−6x【答案】2y【分析】利用多项式除以单项式法则计算−6x【详解】解：∵−6=−6=3x−2y即−2x∴“■”中的一项是2y．故答案为：2y．【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式3-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅Wi−Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是【答案】70【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为a,b,c，则ab=28，ac=42，据此求出ab+c【详解】解：由第1个等式可知，15=5×3，10=5×2，25=5×3+2由第2个等式可知，18=9×2，36=9×4，54=9×2+4由第3个等式可知，48=8×6，24=8×3，72=8×6+3由第4个等式可知，14=7×2，35=7×5，49=7×2+5设等式左边三个数分别为a,b,c，则ab=28，ac=42，所以被隐藏的两位数是ab+c故答案为：70．【考点4多项式乘多项式】【例4】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（）A．2张 B．3张 C．4张 D．5张【答案】D【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得．【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为：2a+b=2=2a∵1张B类卡片的面积为ab，∴需要B类卡片的张数为5ab÷ab故选：D．【变式4-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为(m+6)米（m为正数），宽为(m+3)米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（

）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了整式乘法和加减的运用，由题意得，新长方形的长为m+7米，宽为m+2米，分别求出新长方形和原长方形的面积，再用作差法比较即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：由题意得，新长方形的长为m+7米，宽为m+2米，∴新长方形的面积为m+7m+2原长方形的面积为m+6m+3∵m2∴与原来相比，这块土地的面积变小了，故选：C．【变式4-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：12b2a−4b−2a+b【答案】−b2【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得−b2−2a2−2，结合单项式xa+3y与【详解】解：1=ab−2=ab−2=ab−2=−b∵xa+3y与∴a+3=1，b=1，即a=−2，∴−b【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：我们发现，x+px+q=x2+运用规律(1)如果x+3x−5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a−3b−3②求1a【答案】(1)−2，−15(2)①−2；②13【分析】（1）根据多项式的乘法法则计算即可求解；（2）①由多项式的乘法法则可得a+b=3，ab=−2，再把值代入a−3b−3本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：∵x+3x−5∴m=3+−5=−2，故答案为：−2，−15；（2）解：①∵x+ax+b∴a+b=3，ab=−2，∴a−3=ab−3a−3b+9=ab−3=−2−3×3+9=−2；②1=====13【考点5完全平方公式】【例5】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知a2+bA．4 B．−4 C．8 D．−8【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将a2+b2+c2=2a−4b+6c−14变形化为【详解】解：∵a2∴aa−12∵a−12∴a−1=0,b+2=0,c−3=0，解得：a=1,b=−2,c=3，∴abc故选：D．【变式5-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于x的整式9x2−2m−1x+【答案】2或−1【分析】本题考查完全平方式，根据9x2−【详解】解：∵9x∴9x∴2m−1=±2×3×1∴m=2或m=−1；故答案为：2或−1．【变式5-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足x2+y2【答案】2或4【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x，y是自然数讨论即可．【详解】解：∵x2∴x2∴x2∴x−22∵x，y是自然数，∴x−22=0y−12=1或∴x−2=0，y−1=1，或x−2=0，y−1=−1，x−2=1，y−1=0，或x−2=−1，y−1=0，．当x−2=0，y−1=1，时，解得：x=2，y=2，x+y=2+2=4，当x−2=0，y−1=−1，时，解得：x=2，y=0，x+y=2+0=2，当x−2=1，y−1=0，时，解得：x=3，y=1，x+y=3+1=4，当x−2=−1，y−1=0，时，解得：x=1，y=1，x+y=1+1=2，故答案为：2或4．【变式5-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知(x−2023)2+(x−2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【答案】B【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造(x−2024)2【详解】解：已知(x−2023)2则[(x−2024)+1]2那么(x−2024)2整理得：2(x−2024)则(x−2024)2故选：B．【考点6平方差公式】【例6】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4−1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(4【答案】2【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以2×1−【详解】解：1+=2×=2×=2−=2，故答案为：2．【变式6-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y−x−y D．【答案】B【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据整式乘法及平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．【详解】解：A、x+yx+yB、x+yy−xC、x+y−x−yD、−x+yy−x故选：B．【变式6-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为ama>4的正方形跳远沙池的一组对边各增加1mA．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示变化前后的面积是正确解答的前提．用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案．【详解】解：由题意得正方形跳远沙池的面积为a2m2因为a2所以沙池的面积会变小．故选：A．【变式6-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔnmǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为2a+bcm，宽为2a−bcm的长方形，中间凿掉一个边长为acm

【答案】3【分析】本题考查了整式混合运算和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据零部件体积=（长方形的面积−和小正方形的面积）×零件的高，列式，然后运用整式混合运算法则和平方差公式即可解答．【详解】由题意得，这个零部件的体积是a=a=a=3答：这个零件体积为3a【考点7平移】【例7】（24-25七年级·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可．【详解】解：由图可知：A，C，D中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路的宽为宽的长方形的面积，B中阴影部分的面积比其它三个小1个以小路的宽为边长的小正方形的面积；故选B．【变式7-1】（24-25七年级·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（

）A．线段BC的长 B．线段BF的长C．线段CE的长 D．线段AD的长【答案】D【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的概念即可求解，正确掌握平移的性质是解题的关键．【详解】∵△ABC沿射线BC平移得到△DEF，∴点B与点E是对应点，点C与点F是对应点，∴线段BE、CF、AD可表示平移距离，故选：D．【变式7-2】（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acma<5得到三角形DEF，且AC与DE相交于点G，连接【答案】12【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到AD=BE=acm，DE=AB=5cm，则【详解】解：△ABC沿BC方向平移acma<5得到∴AD=BE=acm，DE=AB=5∵CE=BC−BE=5−a∴阴影部分的周长为AD+CE+AC+DE=a+5−a+3+4=12cm故本题答案为：12．【变式7-3】（24-25七年级·广东清远·期末）如图，在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．(1)请你作出平移后的图形△DEF；(2)线段BC与EF的关系是：______【答案】(1)见解析；(2)平行且相等【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可；（2）根据平移的性质进行判断．【详解】（1）解：如图，△DEF为所作；；（2）解：线段BC与EF的关系是平行且相等．故答案为：平行且相等．【考点8轴对称与轴对称图形】【例8】（24-25七年级·广西河池·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则【答案】10°【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，角的和差运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用轴对称的性质先证明∠B=∠B′=50°,∠BAD=∠【详解】解：∵AD⊥BC，△ADB与△ADB′关于直线∴∠B=∠AB∴∠BAB∵∠BAC=90°，∴∠CAB故答案为：10°【变式8-1】（24-25七年级·甘肃陇南·期末）下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．【详解】解：A能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；B，C，D不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故选：A．【变式8-2】（24-25七年级·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．△ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）．(1)画出△ABC关于直线DE对称的△A(2)在直线DE上画出点P，使PB+PC最小．【答案】(1)见详解；(2)见详解．【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是正确解答此题的关键．（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）连接BC1，交直线DE于点P，，此时点【详解】（1）解：如图，分别作出点A、B、C的对应点A1、B1、（2）解：如图，连接BC1，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，则点【变式8-3】（24-25七年级·浙江杭州·期末）一张矩形纸片ABCD，若如图（1）翻折，点A的对应点A′恰好落在PB′上，折痕分别为PE，PG，则∠EPG的度数为．若如图（2）翻折，点A的对应点A′落在∠B′PG的内部（不含角的两边），已知∠APE=48°【答案】90°/90度12°/12度【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，根据折叠的性质得∠APE=∠A′PE,∠BPG=∠B′PG，再根据平角定义可得答案再根据折叠得∠APE=∠A′PE【详解】解：根据折叠的性质得∠APE=∠A∵∠APE+∠A∴2∠A即∠A∴∠EPG=90°；根据折叠得∠APE=∠A∴∠EPB∴∠BPG=∠B∴∠B∴∠A故答案为：90°,12°．【考点9旋转】【例9】（24-25七年级·安徽合肥·期中）如图，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用已知将图形绕点O逆时针旋转90°得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是故选：C．【变式9-1】（24-25七年级·广东广州·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【答案】B【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．【详解】解：由题意可得：若要太阳光板于太阳光垂直，则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，故选：B．【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．【变式9-2】（24-25七年级·广东潮州·期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠DBC的度数为（

）A．120° B．135° C．150° D．160°【答案】C【分析】本题考查旋转的性质，由旋转前后对应角相等可得∠DBE=∠ABC=30°，再根据平角的定义可得答案．【详解】解：由旋转知，∠DBE=∠ABC=30°，∵C，B，E共线，∴∠DBC=180°−∠DBE=180°−30°=150°，故选C．【变式9-3】（24-25七年级·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转n°后第一次与自身重合，则n的值为．【答案】72【分析】观察图形，得五角星图案可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．此题主要考查旋转的应用，解题的关键是熟知旋转的性质．【详解】解：观察图形，五角星图案可以被平分成五部分，∴360°÷5=72°，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，∵五角星图案绕着它的中心O旋转n°后第一次与自身重合，∴n°=72°，故答案为：72．【考点10中心对称与中心对称图形】【例10】（24-25七年级·山东临沂·期末）未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；故选：D．【变式10-1】（24-25七年级·新疆阿克苏·期中）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称．下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有．（只填序号）【答案】①②③④．【分析】根据中心对称的图形的性质即可判断．【详解】中心对称的两个图形一样，所以∠BAC＝∠B1A1C1，AC＝A1C1，△ABC与△A1B1C1，则①②④正确；对称点到对称中心的距离相等，故③正确；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，正确理解性质是解题的关键．【变式10-2】（24-25七年级·江苏南通·假期作业）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是cm2．【答案】2【详解】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．解：连接AC．∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，∴点O为AC的中点，∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积=2×2÷2=2cm2．故答案为：2【变式10-3】（24-25七年级·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A(2,4)，B(1,0)，C(5,1)．(1)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1(2)画出△ABC关于点O成中心对称的△A【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了作图，旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A，B，C的对应点A1，B1，（2）利用关于原点对称的点的坐标特征找到对应点的位置，即可得到图形．【详解】（1）解：如图所示：△A（2）解：如图所示：△A【压轴篇】【考点11幂的运算的逆用】【例11】（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则m+nmn=【答案】1【分析】先根据ab=20可得anbn=20n，再结合bn=20可得【详解】解：∵ab=20，∴(ab)n即an∵bn∴an∴an又∵am∴am+n=a∴am+n∴m+n=mn，∴m+nmn故答案为：1．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．【变式11-1】（24-25七年级·四川巴中·期中）已知2x+2⋅3x+2=【答案】8．【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．【详解】解：2x+2根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：(2×3)x+2即6x+2x+2=2x−6，解得，x=8故答案为：8．【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．【变式11-2】（24-25七年级·安徽滁州·期中）已知x=2（1）若x=m2，则自然数m=（2）若x+2n是一个完全平方数，则自然数n=【答案】4812【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用；（1）根据题意得出28（2）根据完全平方公式得出x+2n=【详解】（1）因为x=m2，所以所以281+2所以482所以自然数m=48；故答案为：48．（2）x+2∴只有2n=2故答案为：12．【变式11-3】（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且【答案】2【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由10000=24×54=42×54【详解】∵10000=2∴3则b=0∴2∵整数a、b、c、d满足a∴10000=2∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2故答案为：2．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．【考点12多项式乘积不含某项求字母的值】【例12】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为S1，S2，两个小正方形，面积分别为S3，S4，若2S1－S2的值与AB的长度无关，则S3与S4之间的关系是.【答案】S4=4S3【分析】把两个小正方形S3、S4的边长分别设为a、b，分别表示出S1，S2，S3，S4的面积，根据与AB长度无关得出a、b的关系，进而得出S3、S4之间的关系.【详解】设S3的边长为a，S4的边长为b，则S3∴2S又∵2S1－S2的值与AB的长度无关，∴2a－b=0，即2a=b，∴S4∴S4=4S3.【点睛】本题考查整式加减中的无关问题，正确掌握做题方法是解题的关键.【变式12-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）对于多项式x−a，x−b，x−c，x−d（a，b，c，d是常数），若x−a与x−b的积减去x−c与x−d的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（

）A．a+b=−c−d B．a−b=c−dC．a+b=c+d D．ab=cd【答案】C【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据x−ax−b−x−c【详解】解：x−a===c+d−a−b∵x−a与x−b的积减去x−c与x−d的积，其差为常数，∴c+d−a−b=0，∴a+b=c+d，故选C．【变式12-2】（24-25七年级·四川巴中·期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x【答案】9．【分析】根据展开式中不含x2和x3项，即x2【详解】解：(x=x4=x4根据展开式中不含x2和xn−3=0m−3n+3=0解得，n=3m=6m+n=9，故答案为：9．【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．【变式12-3】（24-25七年级·安徽淮北·期中）［知识回顾]有这样一类题：代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x−6y+5，所以a+3=0，即［理解应用](1)若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x(2)已知3(2x+1)(x−1)−x(1−3y)+6(−x2+xy−1)(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1-S【答案】(1)m=3(2)y=2(3)a=2b【分析】（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；（2）先根据整式的加减化简整式，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；（3）设AB=x，先求出S1,S2，从而可得S1−S2，再根据“当【详解】（1）解：(2x−3)m+2=(2m−3)x−3m+2m∵关于x的多项式(2x−3)m+2m2−3x∴2m−3=0，解得m=3（2）3(2=6=15xy−6x−9=(15y−6)x−9，∵3A+6B的值与x无关，∴15y−6=0，解得y=2（3）解：设AB=x，由图可知，S1=a(x−3b)=ax−3ab，则S=ax−3ab−2bx+4ab=(a−2b)x+ab，∵当AB的长变化时，S1∴S1−∴a−2b=0，∴a=2b．【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．【考点13多项式乘多项式与图形面积】【例13】（24-25七年级·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．(1)【知识探究】如图1，是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到(a−b)2、(a+b)2、(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若a+b=6，ab=7，求a3(3)【拓展探究】如图4，两个正方形ABCD、CEFG的边长分别为x，yx>y若这两个正方形的面积之和为34，且BE=8【答案】(1)(a+b)(2)(a+b)3(3)31【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．（1）由题意利用面积相等推导公式：(a+b)2（2）由题意利用体积相等推导a+b3=a（3）由图可知x2+y2=34，x+y=8．求得xy=15，由此即可解题．【详解】（1）解：由图可知：边长为(a+b)的大正方形由四个边长为a、b的长方形和一个边长为(a−b)正方形组成，(a+b)知识生成：(a+b)2故答案为：(a+b)2（2）正方体棱长为a+b，∴体积为a+b3∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a³+b³+3a∴a+b3∴a3∵a+b=6，ab=7，∴a（3）有图可知：x2+y∴2xy=(x+y)∴(x−y)2=x∵x>y，∴x−y=2，图中阴影部分的面积=====【变式13-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户ABCD（如图1），是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．(1)求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG=23AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=25【答案】(1)2(2)6【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解；（3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，得出等式，即可求出ab本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：由题知：AE=DF=a，EB=FC=2b，AG=BP=2a，GD=PC=2b，∴AB=AE+EB=a+2b，AD=AG+GD=2a+2b，∴==2=2a∴长方形窗户ABCD的总面积为2a（2）解：根据题意可得AD=BC，∵AG=2∴GD=1∵CP=2∴BP=3∴S=GD⋅DF+BP⋅EB===AD1∵S∴AD1∴13∴13∴13∴16∴ab【变式13-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；情境一

情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；情境二

情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．【答案】情境一：a+ba−b=a2−b2；情境二：所拼正方形的边长为a+2b，所用C【分析】情境一：设等腰梯形的高为ℎ，可求ℎ=a−b2，分别表示出图1和图情境二：可得a2情境三：能构成长方形，则2a2+7ab+4b2【详解】解：情境一如图，设等腰梯形的高为ℎ，

∴2ℎ+b=a，∴ℎ=a−b∴图1的面积：S=a+b图2的面积：S2∵S∴a+ba−b故可得到的乘法公式为：a+ba−b情境二a2∵拼成了一个正方形，∴当m=4时，a2∴所拼正方形的边长为a+2b，所用C木片的数量为4；情境三赞同丁同学的说法；去掉1个C以后，2=a+b∴该情况下所拼长方形的长为2a+4b，宽为a+b，长方形如图：

【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键．【变式13-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A