《初中数学期中压轴易错题25大专题》7下(浙教)

期中易错题压轴题专项复习【25大题型】（考试范围：第1~3章）【浙教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 2【考点1对顶角、邻补角、三线八角】 2【考点2两条直线垂直】 3【考点3平行线的判定与性质】 4【考点4平移】 5【考点5二元一次方程（组）】 7【考点6三元一次方程组】 7【考点7幂的运算】 8【考点8单项式乘单项式】 8【考点9单项式乘多项式】 9【考点10多项式乘多项式】 10【考点11完全平方公式】 10【考点12平方差公式】 11【压轴篇】 11【考点13平行线中的折叠问题】 11【考点14平行线中的拐点问题】 14【考点15探究角度之间的关系】 15【考点16平行线中的旋转问题】 16【考点17相交线中的角度计算】 18【考点18整体思想解二元一次方程组】 20【考点19根据方程组解的个数求参数】 21【考点20二元一次方程组的应用】 21【考点21幂的运算的逆用】 23【考点22多项式乘积不含某项求字母的值】 23【考点23多项式乘多项式与图形面积】 25【考点24整式乘法中的规律性问题】 27【考点25整式乘法中的恒成立问题】 29【易错篇】【考点1对顶角、邻补角、三线八角】【例1】（24-25七年级·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，∠1=∠2，∠4<∠3，下列结论正确的是（

）

A．∠1与∠2是对顶角 B．∠4与∠3是对顶角C．∠3=∠5 D．∠4=∠5【变式1-1】（24-25七年级·广东河源·阶段练习）如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【变式1-2】（24-25七年级·河南南阳·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF=39°，则∠EOF的度数为．【变式1-3】（24-25七年级·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是(1)∠DOE的补角是；(2)若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度数．【考点2两条直线垂直】【例2】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（

）A．线段PC的长是点C到直线PA的距离B．线段AC的长是点A到直线PC的距离C．PA、PB、PC三条线段中，PB最短D．线段PB的长是点P到直线a的距离【变式2-1】（24-25七年级·河南南阳·期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（

）A． B．C． D．【变式2-2】（24-25七年级·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，PA=4cm，PB=6cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离是

【变式2-3】（24-25七年级·河南郑州·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，则∠COE的度数是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【考点3平行线的判定与性质】【例3】（24-25七年级·江苏泰州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向与斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1=120°，则斜面的坡角∠2的度数是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【变式3-1】（24-25七年级·河南南阳·期末）已知∠1=∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（A．B．C． D．【变式3-2】（24-25七年级·山西晋中·期末）已知：如图，∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°（1）求证：∠2=∠4；（2）试求出∠ADC的度数．请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由．（1）证明：∵∠1=∠C，（已知）∴DP∥AC，（①）∴∠2=∠4；（②）（2）解：∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC=90°，（③）∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，（已证）∴∠3+∠4=180°，（④）∴⑤，（⑥）∴∠ADF=∠⑦∴∠ADC的度数为⑧．【变式3-3】（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1=∠D．(1)求证：DF∥BC；(2)当∠A=40°，∠DFE=36°时，求∠2的度数．【考点4平移】【例5】（24-25七年级·广东深圳·期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=60°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点（A′，B′，C′A．20° B．40° C．80° D．120°【变式4-1】（24-25七年级·重庆·期末）如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若A．2 B．3 C．5 D．6【变式4-2】（24-25七年级·河北承德·期中）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第n个图案中有白色地面砖________块，则下列选项中正确的是（

）A．16,4n B．17,4+n C．18,4n+2【变式4-3】（24-25七年级·浙江台州·期末）如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段AB，其长度为a，第二条路径为折线ACB，其长度为b，第三条路径为折线ADEFGHIJKLB，其长度为c，第四条路径为半圆弧ACB，其长度为d，则这四条路径的长度关系为（

）A．a<b<c<d B．a<c<d<b C．a<b=c<d D．a<b<c=d【考点5二元一次方程（组）】【例5】（23-24七年级·北京·期中）对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※−1=8，3A．6 B．10 C．18 D．20【变式5-1】（23-24七年级·湖南娄底·期中）解方程组ax+by=2cx−7y=8时，甲同学正确解得x=2y=2，乙同学因把c写错而得到x=−2y=1，则【变式5-2】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x、y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和3x+2y=112ax+3by=3的解相同，求【变式5-3】（24-25七年级·山西运城·期末）（1）解方程组：x−y=2（2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务.解方程组3x−2y=1解：①×5，得15x−10y=5，③

第一步②×3，得15x+9y=6，④

第二步④−③，得−y=1，

第三步解得，y=−1

第四步将y=−1代入②，得x=1

第五步所以，原方程组的解为x=1y=−1

任务：①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________；②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________；③直接写出该方程组的正确解：_____________.【考点6三元一次方程组】【例6】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组x+y=52x−y=4的系数排成一个表1152−14，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵11t32−1m2表示xA．m−2t=−1 B．m+2t=1 C．2m−t=1 D．2t+m=−1【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足a=b+3,b=c+3,c=a+b+3，则a的值为（

）A．3 B．0 C．−6 D．−9【变式6-2】（23-24七年级·山东威海·期末）方程组x+y=8y+z=−2z+x=4的解使代数式kx+2y−z的值为−5，则k的值为（A．0 B．57 C．−107【变式6-3】（23-24七年级·福建泉州·期中）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y−z=2，若S=2x+y−z，则S的最大值与最小值的差为．【考点7幂的运算】【例7】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算−452024A．4 B．−4 C．5 D．−5【变式7-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（

）A．a5⋅aC．x2+x【变式7-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知4a−3b+1=0，则32×3【变式7-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【考点8单项式乘单项式】【例8】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设xm−1yn+2⋅xA．−18 B．−12 【变式8-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：−2a2b3⋅【变式8-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若am+1bn+2⋅−【变式8-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米．【考点9单项式乘多项式】【例9】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为．【变式9-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若xx+a+3x−2b=x2【变式9-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“−2x2（3x﹣■+1）＝−6x【变式9-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅Wi−Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是【考点10多项式乘多项式】【例10】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（）A．2张 B．3张 C．4张 D．5张【变式10-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为(m+6)米（m为正数），宽为(m+3)米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（

）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定【变式10-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：12b2a−4b−2a+b【变式10-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：我们发现，x+px+q=x2+运用规律(1)如果x+3x−5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a−3b−3②求1a【考点11完全平方公式】【例11】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知a2+bA．4 B．−4 C．8 D．−8【变式11-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于x的整式9x2−2m−1x+【变式11-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足x2+y2【变式11-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知(x−2023)2+(x−2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【考点12平方差公式】【例12】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4−1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(4【变式12-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y−x−y D．【变式12-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为ama>4的正方形跳远沙池的一组对边各增加1mA．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定【变式12-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔnmǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为2a+bcm，宽为2a−bcm的长方形，中间凿掉一个边长为acm

【压轴篇】【考点13平行线中的折叠问题】【例13】（24-25七年级·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C′，D′，将四边形ABFE沿直线EF折叠，点A，B的对应点为A′

(1)若C′、D′在直线AD的上方，当α=50°且满足C′(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明(3)在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′【变式13-1】（24-25七年级·北京·期中）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图（1）～（4））．请你观察图（1）～（4），完成下面的填空题和选择题．第一次折叠后（如图（2）所示），得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是____________；将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（3）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是______；再将正方形纸展开（如图（4）所示），可得第二次折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有（

）①两直线平行，同位角相等；

②两直线平行，内错角相等：③同位角相等，两直线平行；

④内错角相等，两直线平行．A．①②

B．②③

C．③④

D．①④【变式13-2】（24-25七年级·山西晋中·期中）综合与实践折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．初步探索（1）如图1，四边形纸片ABCD中，AB∥DC,BC∥AD,∠C=100°，点E是线段DC上一点，将纸片ABCD沿BE折叠，点C的对应点为点C′，测得∠EBC′=20°，求深入探究（2）如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=∠D=90°），点E，F分别是线段AD，BC上的一点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A′,B′，A′B′与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D′，使得点【变式13-3】（24-25七年级·广西南宁·期中）综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线．如图1，长方形纸条ABMN中，AB∥MN，AN∥BM．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕AC，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕AC折到AE处，点B落在B′处；第三步，如图3，将∠NED对折，使点M落在M′处，点N落在N′处，(1)如图2：①若∠CDA=36°，则∠B②若∠CDA=α，则∠B′EN=(2)如图2，AC和DE有怎样的位置关系，并说明理由．(3)如图3，折痕AD和EF有怎样的位置关系，请说明理由．【考点14平行线中的拐点问题】【例14】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，AB∥CD，∠EAF=2∠FAB，∠ECF=2∠FCD，∠AFC=16°，则∠AEC的度数为．【变式14-1】（24-25七年级·四川南充·期中）如图，已知AB∥CD，∠PAQ=2∠BAQ，∠PCD=3∠QCD，∠AQC=98°，则∠P=．【变式14-2】（24-25七年级·湖北恩施·期中）如图，若∠BAP=90°−α，∠APD=90°+α，且∠BAE=∠CPF，∠E=12α+20°，∠F=2α−10°，则【变式14-3】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）[问题情境]在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF．[探索发现]（1）当∠F=60°时，求证：∠AEF+∠FGC=60°；[拓展探究]（2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ=∠EFG=90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，“智胜小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由．【考点15探究角度之间的关系】【例15】（24-25七年级·湖南永州·期中）已知，AB∥CD，点E为射线(1)如图1，若∠EAF=25°，∠EDG=45°，则∠AED=．(2)如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，并说明理由．(3)如图3，当点E在FG延长线上时，DP平分∠EDC，且∠EAP:∠BAP=1:2，∠AED=32°，∠P=30°，求∠EKD的度数并说明理由．【变式15-1】（24-25七年级·福建福州·期中）已知直线EF∥MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且BD平分∠CBN交EF于(1)如图1，若∠FDB=110°，∠EAC=60°，①直接写出∠DBN的度数；②求∠MBC与∠ACB的度数．(2)如图2，延长AC交直线MN于G，GH平分∠AGB交DB于点H，写出∠ACB与∠GHB的关系，并说明理由．【变式15-2】（24-25七年级·福建福州·期中）如图，已知AB∥CD，CH平分∠BCD交AB于E点，点F是CH上一动点（点F在

(1)如图1，当AF∥CB时，若∠BCE=3(2)如图2，当AF⊥CE时，判断∠A与∠B数量上有何关系？并说明理由；(3)若∠A=α°，∠ABC=β°，分别作∠AFC和∠ABC的平分线FG和BG且交于点G，如图3，求出∠MGB的度数（用含α°和β°的式子表示）．【变式15-3】（24-25七年级·江苏·期末）如图①，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，(1)若∠1=22°，∠2=33°，则∠3=．(2)试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；(3)应用（2）中的结论解答以下问题：如图②，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数；(4)如果点P在直线l3上且在A，B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系（点P和A，B【考点16平行线中的旋转问题】【例16】（24-25七年级·江苏徐州·期末）如图，把一副三角板如图1摆放，∠B=60°,∠D=45°，点C在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒3°的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为t秒．(1)如图2，求当t为多少秒时，AB∥(2)如图3，当t=___________秒时，AB∥【变式16-1】（24-25七年级·河北石家庄·期中）为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射，若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定两栋楼的墙面是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达BQ之前，求A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，在灯B射线第一次到达BQ之前，直接写出转动的时间为多少秒时，∠ACB=90°．【变式16-2】（24-25七年级·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)∠EAN=______°（用含t的式子表示）；(2)当t=55时，求∠BCA的度数；(3)如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时．若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，在转动过程中，∠BCD:【变式16-3】（24-25七年级·浙江·期末）将一块三角板ABC（∠ACB=90°，∠A=30°）按如图①所示放置在锐角∠POQ=α内，使直角边BC落在OQ边上．现将三角板ABC绕点B逆时针以每秒m°的速度旋转t秒（直角边BC旋转到如图②所示的位置），过点A作MN∥OQ交射线OP于点M，AD平分∠MAB，且在旋转过程中，当t=3秒时，AB⊥OQ．(1)求m的值；(2)当t=4秒时，求∠NAC的度数；(3)在某一时刻，当BC∥OP时，试求出∠ADO与α之间的数量关系．【考点17相交线中的角度计算】【例17】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线AB与直线CD交点O，OE⊥DC，OE平分∠AOF．(1)如图1，求证：OC平分∠BOF；(2)如图2，OG，OP，OK，在直线AB的下方，若OK平分∠COG，OP平分∠BOG，【变式17-1】（24-25七年级·江苏南京·期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．(1)如图①，若∠AOB=80°，则∠BOC=______°，∠AOD=______°．(2)如图②，若∠AOB=140°，求∠AOD的度数；(3)若∠AOB=n°，直接写出∠AOD的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．【变式17-2】（24-25七年级·广东广州·期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．(1)求∠AOD的度数；(2)作射线OE，使∠BOE＝23∠COE，求∠COE(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．【变式17-3】（24-25七年级·云南曲靖·期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【考点18整体思想解二元一次方程组】【例18】（23-24七年级·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，则方程组A．x=4y=2 B．x=4y=−2 C．x=2y=−【变式18-1】（23-24七年级·海南海口·期末）已知a、b满足3a+2b=4，2a+3b=6，则a+b的值为．【变式18-2】（23-24七年级·河南许昌·期末）在解方程组32x+35y=38①30x+33y=36②时，发现x①−②得2x+2y=2，所以x+y=1③，③×35−①得：3x=−3，解得把x=−1所以原方程组的解是x=−1y=2请你模仿本题的解法解方程组2017x+2019y=2021①【变式18-3】（24-25七年级·福建泉州·阶段练习）数学方法：解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n(2)知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b求关于x，y的方程组2a【考点19根据方程组解的个数求参数】【例19】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组ax+2a−1y=a2x+2y=3有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当a=2时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则a=0A．0种 B．1种 C．2种 D．3种【变式19-1】（24-25七年级·河南周口·期末）二元一次方程2x+y=1中有无数多个解，下列四组解不是该方程的解的是（

）A．x=1y=−1 B．x=−1y=1 C．x=0y=1【变式19-2】（24-25七年级·陕西西安·阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1(2k−1)x−y=3无解，则k值为（

A．−1 B．0 C．12 【变式19-3】（24-25七年级·江苏淮安·期中）若二元一次方程组ax+2y=13x+y=3有唯一解，则aA．a≠0 B．a≠6 C．a＝0 D．a为任意数【考点20二元一次方程组的应用】【例20】（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为40cm×35cm因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为240cm，宽为50【任务一】拟定裁切方案（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：方案一：裁切靠背板______块和座板______块．方案二：裁切靠背板______块和座板______块．方案三：裁切靠背板______块和座板______块．【任务二】确定搭配数量（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．【变式20-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：牛奶（箱)咖啡（箱)金额（元)方案一20101100方案二3015__________(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是__元；(2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的14，则此次按原价采购的咖啡有【变式20-2】（24-25七年级·广东惠州·期末）五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（a<b<c且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了k轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了次c元奖券．【变式20-3】（23-24七年级·重庆江北·期末）某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．

(1)若该厂购进正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？(2)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150<a<170，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．【考点21幂的运算的逆用】【例21】（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则m+nmn=【变式21-1】（24-25七年级·四川巴中·期中）已知2x+2⋅3x+2=【变式21-2】（24-25七年级·安徽滁州·期中）已知x=2（1）若x=m2，则自然数m=（2）若x+2n是一个完全平方数，则自然数n=【变式21-3】（24-25七年级·浙江温州·期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且【考点22多项式乘积不含某项求字母的值】【例22】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为S1，S2，两个小正方形，面积分别为S3，S4，若2S1－S2的值与AB的长度无关，则S3与S4之间的关系是.【变式22-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）对于多项式x−a，x−b，x−c，x−d（a，b，c，d是常数），若x−a与x−b的积减去x−c与x−d的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（

）A．a+b=−c−d B．a−b=c−dC．a+b=c+d D．ab=cd【变式22-2】（24-25七年级·四川巴中·期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x【变式22-3】（24-25七年级·安徽淮北·期中）［知识回顾]有这样一类题：代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x−6y+5，所以a+3=0，即［理解应用](1)若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x(2)已知3(2x+1)(x−1)−x(1−3y)+6(−x2+xy−1)(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1-S【考点23多项式乘多项式与图形面积】【例23】（24-25七年级·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．(1)【知识探究】如图1，是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到(a−b)2、(a+b)2、(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若a+b=6，ab=7，求a3(3)【拓展探究】如图4，两个正方形ABCD、CEFG的边长分别为x，yx>y若这两个正方形的面积之和为34，且BE=8【变式23-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户ABCD（如图1），是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．(1)求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG=23AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=25【变式23-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；情境一

情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；情境二

情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．【变式23-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；框1(_______)(_______)=2(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；______+______=2(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知a+b2+a−b【考点24整式乘法中的规律性问题】【例24】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式：(x−1)(x+1)=x(x−1)(x(x−1)(x…根据规律计算：22022−2A．22023−23 B．2【变式24-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x−1x(1)【观察】①x−1x+1②x−1x③x−1x(2)【猜想】由此可得：x−1x(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024【变式24-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：131313(1)续写等式：13(2)我们已经知道1+2+3+⋅⋅⋅+n=12n(n+1)(3)利用（2）中得到的结论计算：33【变式24-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7×20−6×21=________，11×16−9×18=________，不难发现，结果都是________．2025年1月(1)完成上面的填空．(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【考点25整式乘法中的恒成立问题】【例25】（24-25七年级·上海·期中）m、n为正整数，如果−amnA．m必为奇数 B．n必为奇数C．m、n必同为奇数 D．m、n必同为偶数【变式25-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论x为何值时，等式x2x+a+4x−3b=2x2+5x+6恒成立，则a=【变式25-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作a,b．即：若ac=b，则a,b=c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为3（1）计算(4,2)+(4,3)=()；（2）在正整数指数幂的范围内，若(42x−4,54k)≥(4,5)恒成立，且【变式25-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(−1,0)=3m．当F(1,−1)=−8，F(1,2)=13，则F(x,y)=；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是

期中易错题压轴题专项复习【25大题型】（考试范围：第1~3章）【浙教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 2【考点1对顶角、邻补角、三线八角】 2【考点2两条直线垂直】 5【考点3平行线的判定与性质】 7【考点4平移】 11【考点5二元一次方程（组）】 14【考点6三元一次方程组】 18【考点7幂的运算】 20【考点8单项式乘单项式】 22【考点9单项式乘多项式】 24【考点10多项式乘多项式】 26【考点11完全平方公式】 29【考点12平方差公式】 31【压轴篇】 33【考点13平行线中的折叠问题】 33【考点14平行线中的拐点问题】 40【考点15探究角度之间的关系】 45【考点16平行线中的旋转问题】 54【考点17相交线中的角度计算】 60【考点18整体思想解二元一次方程组】 70【考点19根据方程组解的个数求参数】 74【考点20二元一次方程组的应用】 76【考点21幂的运算的逆用】 83【考点22多项式乘积不含某项求字母的值】 85【考点23多项式乘多项式与图形面积】 88【考点24整式乘法中的规律性问题】 96【考点25整式乘法中的恒成立问题】 100【易错篇】【考点1对顶角、邻补角、三线八角】【例1】（24-25七年级·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，∠1=∠2，∠4<∠3，下列结论正确的是（

）

A．∠1与∠2是对顶角 B．∠4与∠3是对顶角C．∠3=∠5 D．∠4=∠5【答案】C【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项．【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意；∵∠1=∠2，∠3=90°−∠1,∠5=90°−∠2，∴∠3=∠5，即C选项符合题意；∵∠4<∠3，∴∠4<∠5，即D选项不符合题意．故选C．【变式1-1】（24-25七年级·广东河源·阶段练习）如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可．【详解】解：①由同位角的概念得出：∠A与∠1是同位角，正确；②由同旁内角的概念得出：∠A与∠B是同旁内角，正确；③由内错角的概念得出：∠4与∠1不是内错角，错误；④由内错角的概念得出：∠1与∠3是内错角，错误．故正确的有2个，是①②，故选：A．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提．【变式1-2】（24-25七年级·河南南阳·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF=39°，则∠EOF的度数为．【答案】77°/77度【分析】本题考查了对顶角相等，与角平分线有关的计算，垂线的定义．先由OF平分∠BOD，以及∠AOC+∠DOF=39°，求得∠DOF=13°，再利用垂线的性质求得∠EOF=77°，据此求解即可．【详解】解：∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∵∠AOC+∠DOF=39°，∠AOC=∠BOD∵∠DOF=∠BOF=1∵OE⊥AB∴∠BOE=90°，∴∠EOF=90°−∠FOB=90°−13°=77°，故答案为：77°．【变式1-3】（24-25七年级·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是(1)∠DOE的补角是；(2)若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度数．【答案】(1)∠AOE或∠COE(2)∠AOE=149°，∠DOF=59°【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键．（1）根据角平分线的定义可得∠DOE=∠BOE，再根据补角的定义结合图形找出答案即可；（2）根据角平分线的定义计算即可求出∠BOE，然后根据补角的和等于180°列式计算即可求出∠AOE的值，先求出∠AOD的值，再根据角平分线的定义解答即可．【详解】（1）解：∵OE是∠BOD的平分线，由角平分线的性质可得∠DOE=∠BOE，又∵∠BOE＋∠AOE=180°，∴∠DOE＋∴∠DOE的补角是∠AOE或∠COE．故答案为：∠AOE或∠COE；（2）由题意可得∠BOE=1∴∠AOE=180°−31°=149°，∵∠BOD=62°，∴∠AOD=180°−62°=118°，∵OF是∠AOD的平分线，∴∠DOF=1【考点2两条直线垂直】【例2】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（

）A．线段PC的长是点C到直线PA的距离B．线段AC的长是点A到直线PC的距离C．PA、PB、PC三条线段中，PB最短D．线段PB的长是点P到直线a的距离【答案】B【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键．根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项．【详解】解：A、线段PC的长是点C到直线PA的距离，故选项A正确，不合题意；B、应是线段AP的长是点A到直线PC的距离，而不是AC，故选项B不正确，符合题意；C、PA、PB、PC三条线段中，垂线段最短，即PB最短，选项C正确，不合题意；D、线段PB的长是点P到直线a的距离，选项D正确，不合题意；故选：B．【变式2-1】（24-25七年级·河南南阳·期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键．【详解】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；故选：C．【变式2-2】（24-25七年级·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，PA=4cm，PB=6cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离是

【答案】4【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断PA=4cm是点P到直线l【详解】解：∵直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，PA⊥l，垂足为A，PA=4cm∴点P到直线l的距离是4cm故答案为：4．【变式2-3】（24-25七年级·河南郑州·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，则∠COE的度数是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【答案】D【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：∠BOE=90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∵∠DOB=43°，∴∠COE=180°−∠BOE−∠DOB=47°，故选：D．【考点3平行线的判定与性质】【例3】（24-25七年级·江苏泰州·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向与斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1=120°，则斜面的坡角∠2的度数是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平行线的性质求出∠OEB，根据对顶角相等求出∠AEG，再根据OG⊥AD，即可求出∠2．【详解】解：如图OG交AB于点E，∵OC∥AB，∴∠1+∠OEB=180°，∵∠1=120°，∴∠OEB=180°−120°=60°，∴∠AEG=60°，∵OG⊥AD，∴∠AGE=90°，∴∠2=90°−60°=30°，故选：B．【变式3-1】（24-25七年级·河南南阳·期末）已知∠1=∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的判定，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行，解决本题的关键是判断∠1和∠2是由哪两条直线被截形成的角．【详解】解：A选项：∠1和∠2是直线AE、DF被直线DA所截形成的同位角，当∠1=∠2时，根据同位角相等，两直线平行可证AE∥DF，不能证明B选项：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，当∠1=∠2时，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥C选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1=∠2时，不能判断AB∥D选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1=∠2时，不能判断AB∥故选：B．【变式3-2】（24-25七年级·山西晋中·期末）已知：如图，∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°（1）求证：∠2=∠4；（2）试求出∠ADC的度数．请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由．（1）证明：∵∠1=∠C，（已知）∴DP∥AC，（①）∴∠2=∠4；（②）（2）解：∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC=90°，（③）∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，（已证）∴∠3+∠4=180°，（④）∴⑤，（⑥）∴∠ADF=∠⑦∴∠ADC的度数为⑧．【答案】（1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）垂直的定义；等量代换；AD∥EF；同旁内角互补，两直线平行；EFC；90°【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质是解决问题的关键．（1）证明DP∥AC可得∠2=∠4；（2）由垂直的定义得∠EFC=90°，由等量代换得∠3+∠4=180°，从而AD∥EF，然后根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠1=∠C，（已知）∴DP∥AC，（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠4；（两直线平行，内错角相等）（2）解：∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC=90°，（垂直的定义）∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，（已证）∴∠3+∠4=180°，（等量代换）∴AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）∴∠ADF=∠EFC∴∠ADC的度数为90°．故答案为：（1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）垂直的定义；等量代换；AD∥EF；同旁内角互补，两直线平行；EFC；90°.【变式3-3】（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1=∠D．(1)求证：DF∥BC；(2)当∠A=40°，∠DFE=36°时，求∠2的度数．【答案】(1)见解析(2)88°【分析】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于180°和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键．（1）根据CD平分∠ACB得到∠DCB=∠1，再由∠1=∠D等量代换推出∠DCB=∠D，根据“内错角相等，两直线平行．”即可得证；（2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由CD平分∠ACB推出∠1的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠2的度数．【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠1，又∠1=∠D，∴∠DCB=∠D，∴DF∥BC．（2）解：∵DF∥BC，∠DFE=36°，∴∠B=∠DFE=36°，在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°，∴∠ACB=180°−40°−36°=104°，又∵CD平分∠ACB，∴∠1=1∴∠2=180°−40°−52°=88°．【考点4平移】【例5】（24-25七年级·广东深圳·期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=60°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点（A′，B′，C′A．20° B．40° C．80° D．120°【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．根据△ABC的平移过程，分点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥A′B′，根据平行线的性质得到∠AC【详解】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∵△A′B′∴AB∥∵CG∥∴CG∥AB∥①当∠ACA∴设∠CA′B∵CG∥AB∴∠ACG=∠BAC=60°,∠A∵∠ACG=∠ACA∴2x+x=60°，解得：x=20°，∴∠ACA②当∠CA∴设∠CA′B∴∠ACG=∠BAC=60°,∠A∵∠ACG=∠ACA∴x+1解得：x=40°，∴∠ACA第二种情况：当点B′在△ABC外时，过点C作CG∵△A′B′∴AB∥∵CG∥∴CG∥AB∥①当∠ACA设∠CA′B∴∠ACG=∠BAC=60°,∠A∵∠ACA∴2x=x+60°，解得：x=60°，∴∠AC②当∠CA由图可知，∠CA综上所述，∠ACA′=20°或40°故选：C．【变式4-1】（24-25七年级·重庆·期末）如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查了平移的性质，根据平移距离得到相应线段的长度是解题的关键．根据平移的性质可得AD=BE=CF，BF=BE+CF+EC，然后列式求解即可．【详解】解：∵△ABC向右平移得到△DEF，∴点A、B、C的对应点分别为D、E、F，∴AD=BE=CF，∵BF=BE+CF+EC，EC=2，BF=8，∴AD=3，故选：B【变式4-2】（24-25七年级·河北承德·期中）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第n个图案中有白色地面砖________块，则下列选项中正确的是（

）A．16,4n B．17,4+n C．18,4n+2【答案】C【分析】由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，1个黑色的六边形，根据规律解题即可．【详解】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，∴第n个图案白色六边形的个数为：6+4n−1∴第4个图案白色六边形的个数为：4×4+2=18，故选C．【点睛】本题考查图形的规律类问题，通过图形找到相应的数字规律是解题的关键．【变式4-3】（24-25七年级·浙江台州·期末）如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段AB，其长度为a，第二条路径为折线ACB，其长度为b，第三条路径为折线ADEFGHIJKLB，其长度为c，第四条路径为半圆弧ACB，其长度为d，则这四条路径的长度关系为（

）A．a<b<c<d B．a<c<d<b C．a<b=c<d D．a<b<c=d【答案】C【分析】根据两点之间，线段最短可知a最小，根据平移的性质可知b=AC+BC=c，根据圆的定义，可得c＜d．据此解答即可．【详解】解：根据两点之间，线段最短可知a最小，根据平移的性质可知b=AC+BC=AD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LB=c，由圆的定义可知c＜d，∴a<b=c<d；故选：C【点睛】本题主要考查了平移的性质以及三角形的三边关系，理清题意的解答本题的关键．【考点5二元一次方程（组）】【例5】（23-24七年级·北京·期中）对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※−1=8，3A．6 B．10 C．18 D．20【答案】A【分析】本题考查新定义的运算和解二元一次方程组，先根据2※−1=8，3※2=5，得到方程组2a−b=8【详解】解：根据题中的新定义化简得：2a−b=8①①×2+②得：解得：a=3，把a=3代入①得：b=−2，则4※故选：A【变式5-1】（23-24七年级·湖南娄底·期中）解方程组ax+by=2cx−7y=8时，甲同学正确解得x=2y=2，乙同学因把c写错而得到x=−2y=1，则【答案】64【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键．将x=2y=2与x=−2y=1代入ax+by=2可得2a+2b=2①−2a+b=2②【详解】解：把x=2y=2与x=−2y=1代入ax+by=2得：①+②得将b=43代入①得把x=2y=2代入cx−7y=8得：2c−14=8解得：c=11，则7a−7b+3c=7×(−1故答案为：643【变式5-2】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x、y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和3x+2y=112ax+3by=3的解相同，求【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入3a+b2024【详解】解：∵关于x、y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和3x+2y=11∴2x−3y=3①由①×2+13x=39，解得x=3，把x=3代入①得，6−3y=3，解得y=1，∴方程组的解为x=3y=1把x=3y=1代入得2ax+3by=36a+3b=3③③−b=5，把b=5代入③得，6a+15=3，解得a=−2，∴3a+b2024【变式5-3】（24-25七年级·山西运城·期末）（1）解方程组：x−y=2（2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务.解方程组3x−2y=1解：①×5，得15x−10y=5，③

第一步②×3，得15x+9y=6，④

第二步④−③，得−y=1，

第三步解得，y=−1

第四步将y=−1代入②，得x=1

第五步所以，原方程组的解为x=1y=−1

任务：①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________；②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________；③直接写出该方程组的正确解：_____________.【答案】（1）x=2y=0；（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数x的项的系数相等；②三；方程④−③时，9y−−10y的结果算成了“−y”；③【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题的关键．（1）根据加减消元法进行计算即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②观察计算步骤找到问题即可；③根据加减消元法进行计算即可．【详解】解：（1）x−y=2①①+②，得3x=6，解得x=2，把x=2代入①，得2−y=2，解得y=0，所以原方程组的解为x=2y=0（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数x的项的系数相等；②三；方程④−③时，9y−−10y的结果算成了“−y③3x−2y=1①解：①×5，得15x−10y=5，③，②×3，得15x+9y=6，④，④−③，得y=1解得，y=1将y=119代入②，得所以，原方程组的解为x=7【考点6三元一次方程组】【例6】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组x+y=52x−y=4的系数排成一个表1152−14，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵11t32−1m2表示xA．m−2t=−1 B．m+2t=1 C．2m−t=1 D．2t+m=−1【答案】D【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．根据矩阵定义列方程组求解即可．【详解】解：由题意得：x+y+tz=32x−y+mz=2①×2+②得：4x+y+2t+m∵4x+y−z为定值，∴2t+m=−1．故选：D．【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足a=b+3,b=c+3,c=a+b+3，则a的值为（

）A．3 B．0 C．−6 D．−9【答案】C【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出b的值，进而求出a的值即可．【详解】解：∵a=b+3,b=c+3,c=a+b+3，∴a+b+c=b+3+c+3+a+b+3，∴b=−9，∴a=−9+3=−6；故选C．【变式6-2】（23-24七年级·山东威海·期末）方程组x+y=8y+z=−2z+x=4的解使代数式kx+2y−z的值为−5，则k的值为（A．0 B．57 C．−107【答案】C【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y−z=−5即可求出k．【详解】解：x+y=8①①−②得：③+④得：解得：x=7，把x=7代入①得：7+y=8，解得：y=1，把x=7代入③得：z+7=4，解得：z=−3，∴原方程组的解为x=7y=1把x=7y=1z=−3代入kx+2y−z=−5得：解得：k=−10故选：C．【变式6-3】（23-24七年级·福建泉州·期中）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y−z=2，若S=2x+y−z，则S的最大值与最小值的差为．【答案】1【分析】本题主要考查解三元一次方程组，根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和．【详解】解：要使S取最大值，2x+y最大，z最小，∵x、y、z是三个非负整数，∴z=0，解方程组3x+2y=5x+y=2解得：x=1y=1∴S的最大值=2×1+1−0=3；要使S取最小值，联立得方程组3x+2y+z=5①①+②得∴y=7−4x①−②×2∴z=1−x把y=7−4x3，z=1−x整理得，S=x+2，当x取最小值时，S有最小值，∵x、y、z是三个非负整数，∴x的最小值是0，∴S最小值∴S的最大值与最小值的差：3−2=1；故答案为：1【考点7幂的运算】【例7】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算−452024A．4 B．−4 C．5 D．−5【答案】A【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先逆用同底数幂相乘将−452024【详解】解：−===1×=1×=4．故选：A．【变式7-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（

）A．a5⋅aC．x2+x【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一运算判断即可．【详解】解：A：a5B：−5aC：x2D：−m故选：D．【变式7-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知4a−3b+1=0，则32×3【答案】3【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂乘除法，幂的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可得4a−3b=−1，再将32×3【详解】解：∵4a−3b+1=0，∴4a−3b=−1，∴3故答案为：3．【变式7-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【答案】9【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算可得24a−3b【详解】解：24a−3b故答案为：94【考点8单项式乘单项式】【例8】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设xm−1yn+2⋅xA．−18 B．−12 【答案】A【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可．【详解】解：∵xm−1∴6m−1=5,n+4=7，解得：m=1,n=3，∴−1故选：A．【变式8-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：−2a2b3⋅【答案】−a【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．【详解】解：原式=−2a当a=2，b=1时，原式=−a【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．【变式8-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若am+1bn+2⋅−【答案】2【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入m+n计算即可.【详解】∵am+1∴−a∴m+2n=32m+n+2=5解之得m=1n=1∴m+n=1+1=2.【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解答本题的关键.【变式8-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米．【答案】480【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可；（2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可．