2027届江苏省江阴初级中学九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

2027届江苏省江阴初级中学九年级数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A．点B B．点D C．点E D．点A2．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为()A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：23．如图，的直径，是上一点，点平分劣弧，交于点，，则图中阴影部分的面积等于（）A． B． C． D．4．若一元二次方程x2﹣4x﹣4m＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限5．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为（）A．0.5 B．1 C．2 D．46．抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（）A．直线x=1B．直线y=1C．直线y=﹣1D．直线x=﹣17．方程的根是（）A．5和 B．2和 C．8和 D．3和8．把多项式分解因式，结果正确的是（）A． B．C． D．9．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（）A．9m B．12m C．8m D．10m10．已知二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③；④a+b+c＜0.其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．下列函数中，一定是二次函数的是（）A． B． C． D．12．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，有下列结论：①；②；③；④对任意的实数，都有，其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④二、填空题（每题4分，共24分）13．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是_______．14．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）16．计算：_____________．17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得△DEC，此时CD⊥AB，连接AE，则tan∠EAC=____．18．在1：5000的地图上，某两地间的距离是，那么这两地的实际距离为______________千米.三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在x轴的负半轴)，与y轴交于点C．抛物线的对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，点P是线段DE上一动点(点P不与DE两端点重合)，连接PC、PO．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(1)求∠DAO的度数和△PCO的面积；(3)在图1中，连接PA，点Q是PA的中点．过点P作PF⊥AD于点F，连接QE、QF、EF得到图1．试探究:是否存在点P，使得，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC=度，∠BPC=度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．21．（8分）阅读下面材料，完成（1），（2）两题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，求的值．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现与相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，就可以求出的值．”……老师：“把原题条件中的‘’，改为‘’其他条件不变（如图2），也可以求出的值．（1）在图1中，①求证：；②求出的值；（2）如图2，若，直接写出的值（用含的代数式表示）．22．（10分）如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．23．（10分）如图，抛物线的表达式为y=ax2+4ax+4a-1（a≠0），它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接AO交抛物线于点E，且S△AEC:S△CEO=1:3.（1）求点A的坐标和抛物线表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接BD，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线BD相切，求点Q的坐标.24．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0（2）计算：25．（12分）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图．26．如图，，是的两条弦，点分别在，上，且，是的中点．求证:（1）．（2）过作于点．当，时，求的半径．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．【详解】如图，连接CE，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝=3，∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴CD＝AC=2，CE＝AB=，∵⊙C的半径为3，BC=3，，，∴点B在⊙C上，点E在⊙C内，点D在⊙C内，点A在⊙C外，故选：D．本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求点到圆心的距离．2、A【分析】通过观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论．【详解】解：观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴．故选A.此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.3、A【分析】根据垂径定理的推论和勾股定理即可求出BC和AC，然后根据S阴影=S半圆O－S△ABC计算面积即可．【详解】解：∵直径∴OB=OD=，∠ACB=90°∵点平分劣弧，∴BC=2BE，OE⊥BC，OE=OD－DE=4在Rt△OBE中，BE=∴BC=2BE=6根据勾股定理：AC=∴S阴影=S半圆O－S△ABC==故选A．此题考查的是求不规则图形的面积，掌握垂径定理与勾股定理的结合和半圆的面积公式、三角形的面积公式是解决此题的关键．4、B【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，进而可得m+2的取值范围，然后再根据反比例函数的性质可得答案．【详解】∵一元二次方程x2﹣4x﹣4m=0有两个不等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16+16m＞0，∴m＞﹣1，∴m+2＞1，∴反比例函数y=的图象所在的象限是第一、三象限，故选：B．本题主要考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m的取值范围．5、C【解析】将（1，1）代入解析式中即可.【详解】解：将点（1，1）代入解析式得，，k＝1．故选：C．此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键.6、A【解析】解：∵y=2（x﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x=1．故选A．7、C【分析】利用直接开平方法解方程即可得答案．【详解】(x-3)2=25，∴x-3=±5，∴x=8或x=-2，故选：C．本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．8、B【分析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：；完全平方公式：；【详解】解：，故选B．本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键9、A【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【详解】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，DE＝18m，∴AB＝DE＝9m，故选：A．本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．10、B【解析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；

②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③由，a＜1，得到b＞2a，所以2a-b＜1；④由当x=1时y＜1，可得出a+b+c＜1．【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，

∴a＜1，，c＞1，∴b＜1，

∴abc＞1，结论①错误；

②∵二次函数图象与x轴有两个交点，

∴b2-4ac＞1，结论②正确；③∵，a＜1，

∴b＞2a，

∴2a-b＜1，结论③错误；

④∵当x=1时，y＜1；

∴a+b+c＜1，结论④正确．

故选：B．本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．11、A【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】A、是二次函数，故本选项符合题意；

B、当a=0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；

C、不是二次函数，故本选项不符合题意；

D、不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：A．此题考查二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解题的关键．12、B【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可．【详解】抛物线的开口向下对称轴为，异号，则抛物线与y轴的交点在y轴的上方，则①正确由图象可知，时，，即则，②错误由对称性可知，和的函数值相等则时，，即，③错误可化为关于m的一元二次方程的根的判别式则二次函数的图象特征：抛物线的开口向下，与x轴只有一个交点因此，，即，从而④正确综上，正确的是①④故选：B．本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、4【解析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出OA，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】设圆锥底面圆的半径为r，∵AC=6，∠ACB=120°，∴=2πr，∴r=2，即：OA=2，在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，故答案为4．本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出OA的长是解本题的关键．14、【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴,整理得，，∴当时，故答案为：.本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.15、【解析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°∴AO=AB=1，由勾股定理得，又∵AC=2，BD=2，∴调影部分的面积为：故答案为：本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.16、1【分析】由题意首先计算乘方、开方和特殊三角函数，然后从左向右依次进行加减计算，即可求出算式的值．【详解】解：===1故答案为1.本题主要考查实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．17、【分析】设，得，根据旋转的性质得，∠1=30°，分别求得，，继而求得答案.【详解】如图，AB与CD相交于G，过点E作EF⊥AC延长线于点F，设，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴，∴，根据旋转的性质知：，∠DCE=∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴∠1+∠BAC=90°，∴∠1=30°，∵∠1+∠2+∠DCE=1800°，∴∠2=60°，∴，，∴，故答案为：．本题考查了旋转的性质以及锐角三角函数的知识，构建合适的辅助线，借助解直角三角形求解是解答本题的关键.18、1【分析】根据比例尺的意义，可得答案．【详解】解：，故答案为：1．本题考查了比例尺，利用比例尺的意义是解题关键，注意把厘米化成千米．三、解答题（共78分）19、（1）；；（1）45°；；（3）存在，【分析】（1）把C点坐标代入解出解析式，再根据对称轴即可解出．（1）把A、D、E、C点坐标求出后，因为AE=DE，且DE⊥AE，所以∠DAO=，P点y轴的距离等于OE，即可算出△POC的面积．（3）设出PE=m，根据勾股定理用m表示出PA，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半可以证明AQ=FQ=QE=QP，所以△AQF和△AQE都是等腰三角形，又因为∠DAO=，再根据角的关系可以证明△FEQ是等腰直角三角形，再根据，解出m即可．可以通过圆的性质，来判断△FEQ是等腰直角三角形，再根据建立等式算出m即可．【详解】解:(1)将C代入求得a=，∴抛物线的解析式为；由可求抛物线的对称轴为直线(1)由抛物线可求一些点的坐标:∴AE=DE=3，又DE⊥AE∴△ADE是等腰直角三角形∴∠DAO=45°作PM⊥y轴于M，在对称轴上的点P的横坐标为-1，∴PM=1，又OP=∴△OPC的面积为(3)解:存在点满足题目条件．解法一:设点P的纵坐标为m（0<m<3），则PE=m，∵点Q是PA的中点，∴QE、QF分别是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜边PA上的中线∴QE=QF=AQ=PQ=∵QE=AQ，QF=AQ∴∠EAQ=∠AEQ，∠FAQ=∠AFQ∴∠EQP=1∠EAQ，∠FQP=1∠FAQ∴∠EQF=1（∠EAQ+∠FAQ)=1∠DAO=90°又∴QE=QF∴△EFQ是等腰直角三角形∴△EFQ的面积为由得解得∵0<m<3∴∴在抛物线对称轴上的点P的坐标为解法二:设点P的纵坐标为m（0<m<3），则PE=m，∵点Q是PA的中点，∴QE、QF分别是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜边PA上的中线∴QE=QF=AQ=PQ=∴四边形PEAF内接于半径为QE的⊙Q，∴∠EQF=1∠DAO=90°又∴QE=QF∴△EFQ是等腰直角三角形∴△EFQ的面积为由得解得∵0<m<3∴∴在抛物线对称轴上的点P的坐标为本题考查了用待定系数法求一元二次函数解析式，对称轴，直角三角形的性质，及一元二次函数与三角形综合点存在性的问题，熟练运用相关知识点是解本题的关键．20、（1）60；60；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；（2）利用（1）中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；（3）利用（2）证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，故答案为60，60；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠PAC+∠PBC=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC，∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP；（3）作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CPAM=BP，又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=，∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH=×(2+3)×=.本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相关的性质与判定定理.21、（1）①证明见解析；②；（2）【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，从而证出结论；②过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得，再利用AAS证出，可得，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；（2）根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得，再利用相似三角形的判定证出，可得，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；【详解】证明：（1）①∵，∴∵，∴，∴②如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，∵，，∴，∴，∵∴，∴∵点是中点，∴∵，∴，∴∵∴，∴∵∴（2）∵，∴∵，∴，∴过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，∵，，∴，∴，∵∴，∴∵，∴∵，∴，∴∴∵∴，∴∵∴此题考查的是相似三角形与全等三角形的综合大题，掌握构造全等三角形、相似三角形的方法、全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．22、（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为1．【解析】分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=CE，PM∥CE，PN=BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形．理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM=CE，PM∥CE，∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN=BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形．（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=BD，∴PM最大时，△PMN周长最大，∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为1．故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为1点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为1.23、（1）抛物线表达式为y=x2+4x+3；（2）P（-2，-3）；（3）Q（-4，3）.【分析】（1）根据抛物线的对称轴易求得顶点坐标，再根据S△AEC:S△CEO=1:3，求得OE：OA=3:4，再证得△OFE∽△OMA，求得点E的坐标，从而求得答案；（2）根据内心的定义知∠BPM=∠DPM，设点P（-2，b），根据三角函数的定义求得，继而求得的值，从而求得答案；（3）设Q（m，m2+4m+3），分类讨论，①点Q在BD左上方抛物线上，②点Q在BD下方抛物线上，利用的不同计算方法求得的值，从而求得答案.【详解】（1）由抛物线y=ax2+4ax+4a-1得对称轴为直线，当时，，∴，∵S△AEC:S△CEO=1:3，∴AE：OE=1:3，∴OE：OA=3:4，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，如图，∵EF//AM，∴△OFE∽△OMA，∴，∴，∴，把点代入抛物线表达式y=ax2+4ax+4a-1得，解得：a=1，∴抛物线表达式为：y=x2+4x+3；（2）三角形的内心是三个角平分线的交点，∴∠BPM=∠DPM，过点D作DH⊥AM，垂足为点H，设点P（-2，b），∵tan∠BPM=tan∠DPM，∴，∴，∴，∴P（-2，-3），（3）∵抛物线表达式为：y=x2+4x+