吉林省长春市第七十二中学2027届数学九上期末经典试题含解析

吉林省长春市第七十二中学2027届数学九上期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．若是二次函数，且开口向下，则的值是（）A． B．3 C． D．2．要使根式有意义，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠1 C． D．3．从1到9这9个自然数中任取一个，是偶数的概率是（）A． B． C． D．4．抛物线的顶点到轴的距离为（）A． B． C．2 D．35．的相反数是（）A． B．2 C． D．6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.1．其中合理的是()A．① B．② C．①② D．①③7．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是()mA． B． C． D．8．如图，在平行四边形中：：若，则（）A． B． C． D．9．已知x2-2x=8，则3x2-6x-18的值为（

）A．54

B．6

C．-10

D．-1810．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在ab、ac、b2﹣4ac，2a+b，a+b+c，这五个代数式中，其值一定是正数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：1，95，1，80，80，1．下列表述错误的是（）A．众数是1 B．平均数是1 C．中位数是80 D．极差是1512．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE＝____．14．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________．15．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为____________．16．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为____．17．某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？________．（填“会”或“不会”）18．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，直线经过点、.（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值并求出此时点的坐标；（3）过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的一个夹角等于的3倍时，请直接写出点的坐标.20．（8分）如图，A，B，C三点的坐标分别为A(1，0)，B(4，3)，C(5，0)，试在原图上画出以点A为位似中心，把△ABC各边长缩小为原来的一半的图形，并写出各顶点的坐标．21．（8分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）22．（10分）在平面直角坐标系中有，为原点，，，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛物线过三点．（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形．23．（10分）如图，的三个顶点在平面直角坐标系中正方形的格点上．（1）求的值；（2）点在反比例函数的图象上，求的值，画出反比例函数在第一象限内的图象．24．（10分）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？25．（12分）画出如图所示几何体的三视图26．已知中，，，、分别是、的中点，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得到，连接、，如图1（1）求证，（2）如图2，当时，设与，，交于点，求的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据二次函数的定义和开口方向得到关于m的关系式，求m即可．【详解】解：∵是二次函数，且开口向下，∴，∴，∴．故选：C本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题关键．2、D【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知当x-1≥0时，二次根式有意义．【详解】要使有意义，只需x-1≥0，解得x≥1．故选D．本题考查二次根式定义中被开方数的取值范围．二次根式定义中要求被开方数是非负数，经常出现的问题是有的同学误认为是被开方数中的x是非负数，如中x的取值范围写为x≥0，因此学习二次根式时需特别注意．3、B【解析】∵在1到9这9个自然数中，偶数共有4个，∴从这9个自然数中任取一个，是偶数的概率为：.故选B.4、C【分析】根据二次函数的顶点式即可得到顶点纵坐标,即可判断距x轴的距离.【详解】由题意可知顶点纵坐标为:-2,即到x轴的距离为2.故选C.本题考查顶点式的基本性质,需要注意题目考查的是距离即为坐标绝对值.5、B【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.6、B【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.1，故错误．故选：B．本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．7、B【分析】设他上升的最大高度是hm，根据坡角及三角函数的定义即可求得结果.【详解】设他上升的最大高度是hm，由题意得，解得故选：B.8、A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再计算出AE：CD=1：3，接着证明△AEF∽△CDF，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵，

∴，

∴，

∵AE∥CD，

∴，

∴，

∴．

故选：A．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．9、B【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】∵x2−2x＝8，∴3x2−1x−18＝3（x2−2x）−18＝24−18＝1．故选：B．此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．10、B【解析】试题分析：根据图象可知：，则；图象与x轴有两个不同的交点，则；函数的对称轴小于1，即，则；根据图象可知：当x=1时，，即；故本题选B．11、C【分析】本题考查统计的有关知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．【详解】解：这组数据中1出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位1；由平均数公式求得这组数据的平均数位1，极差为95-80=15；将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是1，故中位数为1．所以选项C错误．故选C．本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．12、B【解析】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=1．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，1）时，∠ECD=90°，CD=1，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．故选B．二、填空题（每题4分，共24分）13、或【分析】分两种情形：如图1中，当时．如图2中，当时，分别求解即可．【详解】解：在中，，，，，，，∴，∴．若△CEG是直角三角形，有两种情况：I．如图1中，当时．∴，作于．则，在中，，，．II．如图2中，当时，∵，∴，∴，∴，此时点与点重合，∴，∴，∴，综上所述，的长为或．故答案为：或．本题考查了翻折变换，直角三角形性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14、.【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE∴AC：AE=BC：DE∴DE=∴考点:1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.15、1【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根据BC=BF+CF求解．【详解】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知CD=ED，∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°，∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°，∴△CDF≌△EDG，∴CF=EG，∵S△ADE=AD×EG=3，AD=2，∴EG=3，则CF=EG=3，依题意得四边形ABFD为矩形，∴BF=AD=2，∴BC=BF+CF=2+3=1．故答案为1．16、【分析】根据点A的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1可得：抛物线与x轴交于（3，0）和（-1，0）即当y=0时，x=3或-1∴ax2＋bx＋c＝0的根为故答案为：本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与x轴的交点坐标是本题的解题关键.17、不会【分析】根据斜坡的坡度的定义，求出坡度，即可得到答案．【详解】∵∆ABC是等腰三角形，AB=AC=13m，AH⊥BC，∴CH=BC=12m，∴AH=m，∴楼顶的坡度=，∴这一楼顶铺设的瓦片不会滑落下来．故答案是：不会．本题主要考查斜坡坡度的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键．18、﹣＜a＜【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，1），（6，1），∴线段AB的解析式为y＝1．机器人沿抛物线y＝ax2﹣1ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝1只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜1解得a＞﹣．1＝ax2﹣1ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝．当抛物线恰好经过点B时，即当x＝6，y＝1时，36a﹣21a﹣5a＝1，解得a＝综上：a的取值范围是﹣＜a＜本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.三、解答题（共78分）19、（1）；（2），点坐标为；（3）点的坐标为，【分析】（1）利用B（5，0）用待定系数法求抛物线解析式；（2）作PQ∥y轴交BC于Q，根据求解即可；（3）作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，则∠AM1B=3∠ACB,则NAM1∽ACM1,通过相似的性质来求点M1的坐标；作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2,则∠AM2C=3∠ACB,根据对称点坐标特点可求M2的坐标.【详解】（1）把代入得.∴；（2）作PQ∥y轴交BC于Q，设点，则∵∴OB=5，∵Q在BC上，∴Q的坐标为（x，x-5），∴PQ==，∴==∴当时，有最大值，最大值为，∴点坐标为.（3）如图1，作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，则∠AM1B=3∠ACB,∵∠CAN=∠NAM1,∴AN=CN,∵=-(x-1)(x-5),∴A的坐标为（1，0），C的坐标为（0，-5），设N的坐标为（a,a-5），则∴，∴a=,∴N的坐标为（,）,∴AN2==，AC2=26，∴，∵∠NAM1=∠ACB，∠NM1A=∠CM1A，∴NAM1∽ACM1,∴,∴,设M1的坐标为（b,b-5），则∴,∴b1=，b2=6(不合题意，舍去)，∴M1的坐标为，如图2，作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2,则∠AM2C=3∠ACB,易知ADB是等腰直角三角形，可得点D的坐标是（3，-2），∴M2横坐标=，M2纵坐标=，∴M2的坐标是，综上所述，点M的坐标是或.本题考查了二次函数与几何图形的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．20、各顶点坐标分别为A(1，0)，B′(2.5，1.5)，C′(3，0)或A(1，0)，B″(－0.5，－1.5)，C″(－1，0)．【解析】根据题意，分别从AB，AC上截取它的一半找到对应点即可．【详解】如答图所示，△AB′C′，△AB″C″即是所求的三角形(画出一种即可)．各顶点坐标分别为A(1，0)，B′(2.5，1.5)，C′(3，0)或A(1，0)，B″(－0.5，－1.5)，C″(－1，0)．本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．21、（1）证明见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定与性质3.三角函数.22、（1）；点；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)，Q3(1，4)，Q4(1，-5)．【分析】（1）用待定系数法可求抛物线的解析式，进行配成顶点式即可写出顶点坐标；（2）将直线与抛物线联立，通过根与系数关系得到，，再通过得出，通过变形得出代入即可求出的值；（3）分：，，三种情况分别利用勾股定理进行讨论即可．【详解】（1）∵，，∵绕点顺时针旋转，得到，∴点的坐标为：，将点A,B代入抛物线中得解得∴此抛物线的解析式为：∵；∴点（2）直线：与抛物线的对称轴交点的坐标为，交抛物线于，，由得：∴，∵，∴∴∴∴∴（3）存在，或，，∴设点，若，则即∴或若，则即∴若，则即∴即Q1(1,-1),Q2(1,2),Q3(1,4),Q4(1,-5).本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，分情况讨论是解题的关键．23、（1）；（2），图见解析【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D,然后在Rt△ABD中可以求出；（2）将点B代入，可得出k的值，从而得出反比例函数解析式，进而用描点法画出函数图象即可.【详解】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D,由图可得，BD=2，AD=4，∴.（2）将点B(1,3)代入,得k=3,∴反比例函数解析式为.函数在第一象限内取点，描点得，x(x＞0)1236y6322连线得函数图象如图：本题主要考查正切值的求法，反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象的画法，掌握基本概念和作图步骤是解题的关键.24、（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【解析】（1）设购买A型公交车每辆需