13.2 勾股定理的应用 课件(共25张) -华东师大版数学八年级上册

#华东师大版八年级上册\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\).2勾股定理的应用专项练习（约1400字）##一、知识点梳理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在Rt△ABC中，∠C=90°，则$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$。勾股定理常用来解决实际生活中的长度、距离问题，解题一般步骤：1.审题，把实际问题抽象成几何模型，画出直角三角形；2.分清直角边与斜边，确定已知量和待求量；\(\boldsymbol{3}\).代入勾股定理列式计算；4.检验结果是否符合实际意义，舍去负数解。常见题型：立体图形最短路径（圆柱、长方体展开）、折叠问题、航海方向问题、梯子滑动问题、测量距离问题。>重要提醒：立体图形求最短距离，需要将侧面展开为平面，利用“两点之间，线段最短”结合勾股定理求解；折叠问题核心：折叠前后对应线段相等、对应角相等。##二、基础练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.一架梯子长\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\)m，斜靠在墙上，梯子底端离墙5m，则梯子顶端距离地面高度为（）A.\(\boldsymbol{8}\)mB.\(\boldsymbol{10}\)mC.12mD.14m2.有一个圆柱，底面周长为12cm，高为\(\boldsymbol{8}\)cm，蚂蚁从圆柱底面一点爬到顶面正对一点，侧面展开最短距离是（）A.\(\boldsymbol{8}\)cmB.\(\boldsymbol{10}\)cmC.12cmD.20cm\(\boldsymbol{3}\).一艘船从港口出发，先向正东航行\(\boldsymbol{8}\)km，再向正北航行6km，此时船距离港口（）A.6kmB.\(\boldsymbol{8}\)kmC.\(\boldsymbol{10}\)kmD.14km4.直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=\(\boldsymbol{8}\)，将直角边AC沿AD折叠，落在斜边AB上，C落在E点，则CD长为（）A.2B.\(\boldsymbol{3}\)C.4D.55.小明想测量池塘宽度，在池塘一侧取点A，AB=12米，AC=16米，∠A=90°，则池塘BC长（）A.1\(\boldsymbol{8}\)米B.20米C.22米D.24米###（二）填空题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，b=\(\boldsymbol{8}\)，则斜边c=________。2.长方体长4，宽\(\boldsymbol{3}\)，高12，则长方体内部对角线长为________。\(\boldsymbol{3}\).梯子长25分米，底部离墙7分米，如果梯子顶端下滑4分米，梯子底部向外滑________分米。4.一根竹竿竖直高出水面1米，拉到岸边，竿顶刚好接触水面，水平距离2米，则水深________米。5.折叠长方形ABCD，点D落在BC边上F处，AB=\(\boldsymbol{8}\)，BC=\(\boldsymbol{10}\)，则EC=________。##三、解答题（每题15分，共60分）1.台风过后，一棵大树在离地面\(\boldsymbol{3}\)米处折断，树顶落在距离树根4米的地面上，求大树折断前总高度。2.如图，有一个长方体盒子，长15cm，宽\(\boldsymbol{10}\)cm，高20cm，点B离C点5cm，一只蚂蚁从A点沿盒子表面爬到B点，求最短爬行距离。\(\boldsymbol{3}\).如图，△ABC中，AB=15，BC=14，AC=\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\)，求△ABC的面积。（提示：作BC边上的高AD）4.一艘轮船从A港出发，沿北偏东60°方向航行\(\boldsymbol{10}\)0海里到B点，再沿北偏西\(\boldsymbol{3}\)0°方向航行\(\boldsymbol{10}\)0海里到达C点，求A、C两地距离。##四、参考答案与解析###选择题1.**C**。解析：$h=\sqrt{\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\)^2-5^2}=\sqrt{144}=12$m。2.**B**。解析：侧面展开是长方形，半周长6cm，高\(\boldsymbol{8}\)cm，最短距离$\sqrt{6^2+\(\boldsymbol{8}\)^2}=\(\boldsymbol{10}\)$cm。\(\boldsymbol{3}\).**C**。解析：正东、正北互相垂直，$d=\sqrt{\(\boldsymbol{8}\)^2+6^2}=\(\boldsymbol{10}\)$km。4.**B**。解析：AB=\(\boldsymbol{10}\)，AE=AC=6，BE=4。设CD=DE=x，BD=\(\boldsymbol{8}\)−x，Rt△BDE：$x^2+4^2=(\(\boldsymbol{8}\)-x)^2$，解得x=\(\boldsymbol{3}\)。5.**B**。解析：$BC=\sqrt{12^2+16^2}=20$米。###填空题1.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{10}\)}$2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\)}$，解析：$\sqrt{4^2+\(\boldsymbol{3}\)^2+12^2}=\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\)$\(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{8}\)}$，解析：原来高24分米；下滑后高20分米，底部距离$\sqrt{25^2-20^2}=15$分米，滑出15−7=\(\boldsymbol{8}\)分米。4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1.5}\)}$，设水深x，$(x+1)^2=x^2+2^2$，解得x=\(\boldsymbol{1.5}\)。5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$。解析：AF=AD=\(\boldsymbol{10}\)，BF=6，FC=4。设EC=x，EF=DE=\(\boldsymbol{8}\)−x，$x^2+4^2=(\(\boldsymbol{8}\)-x)^2$，解得x=\(\boldsymbol{3}\)。###解答题1.解：折断部分为斜边，直角边\(\boldsymbol{3}\)m、4m。折断段长$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)^2+4^2}=5$米。原树高：\(\boldsymbol{3}\)+5=\(\boldsymbol{8}\)米。答：大树折断前高\(\boldsymbol{8}\)米。2.解：分三种展开方式计算，取最小值。①展开前面右面：$\sqrt{(15+5)^2+20^2}=\sqrt{\(\boldsymbol{8}\)00}$；②展开上面右面：$\sqrt{15^2+(20+5)^2}=\sqrt{\(\boldsymbol{8}\)50}$；③展开上面前面：$\sqrt{(\(\boldsymbol{10}\)+20)^2+5^2}=\sqrt{925}$。最短距离$\sqrt{\(\boldsymbol{8}\)00}=20\sqrt{2}\\text{cm}$。\(\boldsymbol{3}\).解：设BD=x，则DC=14−x，高AD。$AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-DC^2$$15^2-x^2=\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\)^2-(14-x)^2$，解得x=9。$AD=\sqrt{15^2-9^2}=12$。面积$=\frac12\times14\times12=\(\boldsymbol{8}\)4$。4.解：由方位角可知∠ABC=90°，AB=BC=\(\boldsymbol{10}\)0海里。$AC=\sqrt{\(\boldsymbol{10}\)0^2+\(\boldsymbol{10}\)0^2}=\(\boldsymbol{10}\)0\sqrt{2}$海里。答：A、C相距$\(\boldsymbol{10}\)0\sqrt{2}$海里。##五、易错点总结1.立体图形最短路径：容易选错展开方式，没有分类讨论，直接套用一组边长计算；2.折叠问题：不会找相等线段，忘记设未知数建立方程；\(\boldsymbol{3}\).实际应用题：忽略单位，算出边长后忘记加上原有高度（大树折断题）；4.方位角问题：不能准确画出直角，分不清正北正东夹角；5.勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形不能直接使用。（全文约\(\boldsymbol{1\(\boldsymbol{3}\)}\)90字）需要我把这套练习**拆成纯题目版（不带答案解析）**方便打印做题吗？华东师大版（新教材）数学八年级上册13.2勾股定理的应用授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/29

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章勾股定理

如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高

AB

为4cm，BC

是上底面的直径.一只蚂蚁从

A

点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点

C，试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)ABC分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形

ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD

的对角线

AC

之长.ABCACBD解：如图，在Rt△ABC

中，BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得：答：爬行的最短路程约为10.77cm.典例分析例1.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为16cm．在杯内离杯底2cm的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为多少先分析清楚蚂蚁的路线，区别本题与探究中的试题的区别典例分析解析：如图所示将圆柱的侧面展开

1.【思维生长】如图①，若圆柱的底面周长是5cm，高是12cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的长度最小是(

)A．17cm B．7cmC．14.5cm D．13cm1星题夯实四基D向“空间位置分析”生长：如图②，一只昆虫从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为16cm，圆柱的底面半径为

cm，那么最短的路线长是________cm.10向“场景迁移”生长：如图③是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm.A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是________cm.100向“迁移能力”生长：某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图④)．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为________cm.知识点2利用勾股定理解决实际问题152.小明到图书馆借书时，了解到图书馆要购买一批宽为2.4m的书架，欲通过如图所示形状的门(下方为长方形，上方为半圆形)，则书架的外形不得高于(

)A．4.1m B．4.0mC．3.9m D．3.8mA【主题情境】在校园生活的各种场景中都隐藏着有趣的数学挑战，需要我们用所学知识去解决，请完成2～4题.变式训练

如图是一个底面周长为10cm，高AB为12cm的圆柱模型，BC是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（

）

提示：将圆柱的侧面展开，根据题意可知AB=12cm，BC=5cm，利用勾股定理解得AC的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可典例分析例2.消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长AB=CD=20m，云梯底部（点C、A）距离地面3m，消防车从距离地面15m高的点B处完成救援后，还要从距离地面19m高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点A、C、O在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内）典例分析解题思路

本题主要解题关键在滑落的过程中梯子的长度不发生变化变式训练我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（AB=10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=BN），求水的深度PN.解：∵AB=10，点P是AB的中点∴BP=5∵MP=1，MP+PN=BN∴1+PN=BN在Rt△BPN中，根据勾股定理可得:BN2=52+PN2∴（1+PN）2=52+PN2，解得PN=12答：水的深度PN为12尺典例分析例3.2025年第18号超强台风“桦加沙”登陆我国沿海地区．如图，台风“桦加沙”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300km，BC=400km，AB=500km．经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，海港C会受到台风影响吗？为什么？提示：根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数，利用三角形面积得出CD的长，进而得出CD的长，再得出海港C是否受台风影响典例分析解题思路

变式训练如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？提示：首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算；再根据在30km范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，然后求出时间段即可3．如图，教学楼自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝2m，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，身高1.5m的小明(CD)走到离门间距CB