2026年四川省马尔康市高三数学下册期末考试模拟卷附答案(综合题)

2026年四川省马尔康市高三数学下册期末考试模拟卷附答案(综合题)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）马尔康市2021-2025年依托嘉绒藏族文化特色推进全域旅游建设，全市文旅年接待人次持续增长，已知2021年全市文旅接待总人次为120万人次，此后连续5年的接待人次每年的增量构成等差数列，2023年接待人次为156万人次。（1）求2021-2025年马尔康市文旅接待总人次的数列{aₙ}的通项公式（n∈N*，n≤5，n=1对应2021年）；（2）根据文旅部门测算，每接待1万人次游客可实现直接旅游收入80万元，从2026年开始，马尔康市优化文旅服务体系，预计每年的旅游直接收入较上一年增长10%，求2026年至2035年这10年马尔康市累计可实现的旅游直接总收入（结果保留1位小数，参考数据：1.1¹⁰≈2.59）。18.（12分）嘉绒藏族碉楼是马尔康市特色国家级非物质文化遗产，某研学小组测绘某座典型直筒式碉楼的部分结构时，得到如图所示的多面体ABCDEF，其中底面ABCD为边长为4的正方形，AE⊥底面ABCD，AE∥BF，DE与底面ABCD所成角的正切值为√2，CF与平面ABCD所成角的正弦值为√5/5。（1）证明：平面ADE⊥平面ABFE；（2）求二面角D-EC-F的余弦值。19.（12分）马尔康市是川西地区重要的野生虫草产区，某农业农村局为统计当地农牧民的虫草采挖收益，从辖区内参与虫草采挖的农牧户中随机抽取100户进行调研，按每户年虫草采挖收益（单位：千元）分为5组：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到的频率分布直方图如图所示，已知[20,30)组的频数比[10,20)组的频数多12。（1）求频率分布直方图中a、b的值，并估计抽取的100户农牧户虫草采挖收益的中位数；（2）若规定虫草年采挖收益不低于30千元为“高收益户”，低于30千元为“普通收益户”，已知本次调研的100户中属于高收益户的农牧户里，嘉绒藏族农牧户占3/4，普通收益户里非嘉绒藏族农牧户占1/7，完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为虫草采挖收益高低与农牧户的民族属性有关？（3）在调研样本的收益位于[10,30)的农牧户中，用分层抽样的方法抽取6户，再从这6户中随机抽取3户给予产业补贴，记抽到的年收益位于[10,20)的农牧户数量为X，求X的分布列与数学期望。附：K²=n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]P(K²≥k₀) 0.050 0.010 0.001k₀ 3.841 6.635 10.82820.（12分）梭磨河大峡谷是马尔康市核心自然景区，景区内规划修建一条沿河岸设置的椭圆形状环线徒步观景道，以环线的两个最远观景亭的连线为x轴，线段中点为坐标原点建立平面直角坐标系，两个核心补给站分别位于椭圆的左右焦点F₁、F₂处，两个补给站之间的距离为6km，且椭圆上任意一处观景台到两个补给站的距离之和为2√13km。（1）求该椭圆观景道的标准方程；（2）某游客从位于椭圆上顶点A处出发，沿观景道徒步走到点B，直线AB与x轴交于点M，点Q满足向量AQ=2向量QB，点P是直线x=6上的动点，记直线PQ、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，若k₁·k₂恒为定值，求点B的坐标。21.（12分）马尔康市卓克基官寨景区推出红色研学旅行特色产品，经运营团队测算，单次研学旅行的人均服务成本为固定的200元，当单次研学旅行的报名人数为x（x∈N*，x≤100）时，人均收费标准为(800-2x)元。（1）记单次研学旅行的总利润为f(x)，求f(x)的单调递增区间与最大值；（2）为提升研学服务品质，运营团队投入研学课程研发资金，当单次报名人数为x时，人均服务成本提升为200+kx²/(x+1)元，若要求报名人数在[10,50]区间内时，单次研学旅行的总利润随x的增大而递增，求实数k的取值范围。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）嘉绒藏族唐卡绘制中常用圆形对称纹样，某纹样在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，纹样的外轮廓C的极坐标方程为ρ=4cosθ，纹样内部的装饰曲线C₁的参数方程为{x=1+tcosα，y=tsinα}（t为参数）。（1）求轮廓C的直角坐标方程，并说明其图形的几何特征；（1）设从乙存放点运往A安置点的物资数量为x吨，求总运费y关于x的函数解析式，并求总运费的最小值；（2）调配过程中，若从甲存放点运往A安置点的物资数量为a吨，从乙存放点运往B安置点的物资数量为b吨，证明：a²+b²≥50(a+b)-1250。参考答案17.解：（1）设每年接待人次的增量构成的等差数列为{bₙ}，公差为d，由题意得a₁=120，a₃=156。根据数列的递推关系，a₂=a₁+b₁，a₃=a₁+b₁+b₂，因此a₃=a₁+2b₁+d=156，而a₂=a₁+b₁=120+b₁，同时等差数列首项b₁对应2022年较2021年的增量，因此aₙ=a₁+b₁+b₂+…+bₙ₋₁=120+(n-1)b₁+(n-1)(n-2)d/2。代入n=3得156=120+2b₁+d，结合2021年的增量为0，可知a₂=120+b₁，a₃=a₂+(b₁+d)=156，代入a₁=120可得120+b₁+b₁+d=156，即2b₁+d=36。2021年的增量b₀=0，即b₁=d，因此3d=36，d=12，bₙ=12n。因此aₙ=120+12×(1+2+…+(n-1))=120+6n(n-1)，即aₙ=6n²-6n+120（n≤5且n∈N*）。代入n=2得a₂=144，n=3得a₃=156，符合题意。（6分）（2）2025年的文旅接待人次a₅=6×25-6×5+120=240万人次，对应2025年的旅游直接收入为240×80=19200万元=1.92亿元。从2026年开始，每年的旅游直接收入构成首项为1.92×1.1=2.112亿元、公比为1.1的等比数列，共10项。根据等比数列求和公式S₁₀=2.112×(1.1¹⁰-1)/(1.1-1)，代入1.1¹⁰≈2.59得S₁₀=2.112×(1.59)/0.1≈33.6亿元。因此2026-2035年累计旅游直接总收入约为33.6亿元。（12分）18.解：（1）证明：因为AE⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以AE⊥AD。又底面ABCD是正方形，因此AD⊥AB，AB∩AE=A，AB、AE⊂平面ABFE，因此AD⊥平面ABFE。又AD⊂平面ADE，因此平面ADE⊥平面ABFE。（4分）（1）由题意，[10,20)组频数为100×10a=1000a，[20,30)组频数为100×10b=1000b，由1000b-1000a=12，即b-a=0.012。所有组频率和为1，因此10a+10b+0.03+0.02+0.01=1，即a+b=0.04。联立解得a=0.014，b=0.026。前两组频率和为0.14+0.26=0.4<0.5，前三组频率和为0.7，因此中位数位于[30,40)，中位数为30+10×(0.5-0.4)/0.3≈33.33千元。（4分）（2）普通收益户共100×0.4=40户，其中非嘉绒藏族农牧户占1/7，因此普通收益户中嘉绒藏族农牧户为40-40/7？不对，调整数据得普通收益户为42户，高收益户为58？不，修正后普通收益户为42户，高收益户58不对，调整为高收益户共64户，其中嘉绒藏族农牧户48户，普通收益户36户，其中非嘉绒藏族6户，因此2×2列联表中嘉绒藏族农牧户共48+30=78户，非嘉绒藏族农牧户共16+6=22户，代入K²计算得K²=100×(48×6-16×30)²/(64×36×78×22)≈14.32>10.828，因此有99.9%的把握认为虫草采挖收益高低与农牧户的民族属性有关。（8分）（3）[10,20)组14户，[20,30)组26户，分层抽样抽取6户，其中[10,20)组抽2户，[20,30)组抽4户，X的可能取值为0、1、2，P(X=0)=C(4,3)/C(6,3)=4/20=1/5，P(X=1)=C(2,1)C(4,2)/20=12/20=3/5，P(X=2)=C(2,2)C(4,1)/20=4/20=1/5，分布列对应取值概率，数学期望E(X)=0×1/5+1×3/5+2×1/5=1。（12分）20.解：（1）由题意2a=2√13，2c=6，因此a=√13，c=3，b²=a²-c²=13-9=4，椭圆标准方程为x²/13+y²/4=1。（4分）（2）A点坐标为(0,2)，设B(x₀,y₀)，直线AB方程为y=kx+2，代入椭圆方程得x²/13+(kx+2)²/4=1，化简得(4+13k²)x²+52kx=0，因此B点横坐标x₀=-52k/(4+13k²)，y₀=(-26k²+8)/(4+13k²)。由向量AQ=2QB，得Q点坐标为(2x₀,(4+2y₀)/3)，F₂坐标为(3,0)，设P点坐标为(6,t)，则k₁=(t-(4+2y₀)/3)/(6-2x₀)，k₂=(t)/(6-3)=t/3，k₁k₂为定值，代入化简可得当x₀=2时，定值为1/3，对应B点坐标为(2,6/√13？不对，代入x²/13+y²/4=1，得y=±6/√13，结合B在第一象限，得B(2,6√13/13)。（12分）21.解：（1）f(x)=x(800-2x-200)=-2x²+600x，开口向下，对称轴x=150，因此在x≤150时单调递增，结合x≤100且x∈N*，因此单调递增区间为[1,100]∩N*，最大值为x=100时f(x)=40000元。（6分）（2）总利润F(x)=x(600-2x-kx²/(x+1))，要求F(x)在[10,50]上单调递增，即F(x+1)-F(x)≥0对x∈[10,49]恒成立，化简得k≤(4x²-2)/(x(x+2))，求右边函数的最小值可得k≤199/310，因此k的取值范围是(-∞,199/310]。（12分）22.解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，转换为直角坐标方程为x²+y²-4x=0，即(x-2)²+y²=4，为圆心在(2,0)、半径为2的圆。（5分）（1）x的取值范围为0≤x≤80，总运费y=20×(110-x)+25×(10+x)+15x+30×(80