《公因数和公倍数》教案（2课时）-2026-2027学年苏教版（新教材）小学数学五年级上册

《公因数和公倍数》教案（2课时）-2026-2027学年苏教版（新教材）小学数学五年级上册一、学情分析学生在本单元前几课时已经认识了因数和倍数的含义，掌握了有序找一个数的因数与倍数的方法，能依据乘法或除法算式判断两个自然数之间的因数、倍数关系，也认识了质数、合数，知识基础较为扎实。但公因数、公倍数的概念比较抽象，学生初学时在找两个数的公因数、公倍数时容易出现遗漏或重复，需要借助“铺纸片”的操作活动和集合圈的直观呈现，引导他们有序列举、完整找全，逐步理解概念的本质。二、教材分析本课是第六单元《因数与倍数》的核心内容，安排在认识因数倍数、质数合数之后，是约分、通分以及分数运算的重要基础。教材先通过“用边长6厘米或4厘米的正方形纸片铺长18厘米、宽12厘米的长方形”的操作情境，直观认识公因数和最大公因数；再通过“用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米、8厘米的正方形”的情境，认识公倍数和最小公倍数。全课注重数形结合，用集合圈（韦恩图）直观呈现公因数、公倍数，沟通“数与形”的联系，帮助学生在操作、观察、比较中理解概念，发展数学核心素养。三、核心素养教学目标1.理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义，能找出100以内两个数的公因数及最小公倍数，会用符号和语言准确表达，发展数感与符号意识。2.经历动手操作、列举、观察、比较、归纳的探究过程，学会用有序列举和集合圈表示公因数、公倍数，初步发展几何直观与推理意识。3.能运用公因数、公倍数解决铺瓷砖、铺正方形等简单的实际问题，体会数学与生活的联系，增强应用意识。四、教学重难点重点：理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义，掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法。难点：理解公因数、公倍数与“铺纸片”情境之间的内在联系，能有条理、不重复、不遗漏地找全两个数的公因数、公倍数。五、教学过程第一课时：公因数和最大公因数情境导入，揭示课题师：同学们，老师想给一块长18厘米、宽12厘米的长方形桌面铺满正方形纸片，手边只有边长6厘米和边长4厘米两种纸片。用哪种纸片能正好铺满，不多也不少？请大家先猜一猜，再说说你的理由。生1：我觉得边长6厘米的可以，因为它可能正好是18和12的倍数。生2：边长4厘米的也许也可以。师：光靠猜可不行，数学要用数据说话。今天我们就通过解决这个问题，来认识一类新的数学概念——公因数。【设计意图：从“铺桌面”的生活问题引入，激发探究兴趣，为理解公因数提供直观的现实情境。】动手操作，认识公因数（例8）师：请同学们打开教材看例8。我们先用边长6厘米的正方形纸片来铺。请大家想一想，沿着长18厘米能铺几个？沿着宽12厘米又能铺几排？生：沿着长，18÷6=3，能铺3个；沿着宽，12÷6=2，能铺2排，正好铺满，没有剩余。÷6=3，12÷6=2，边长6厘米的纸片能正好铺满。师：如果用边长4厘米的纸片呢？大家也来算一算。生：沿着长，18÷4=4……2，铺4个还剩2厘米；沿着宽，12÷4=3，正好。所以不能正好铺满。÷4=4……2，12÷4=3，边长4厘米的纸片不能正好铺满。师：为什么同一个长方形，边长6厘米能正好铺满，边长4厘米却不能？请同学们认真观察这两组算式，和同桌讨论一下。生：因为6既是18的因数，又是12的因数；而4只是12的因数，不是18的因数。师：说得非常准确！正是因为6同时是18和12的因数，用6厘米的纸片才能沿长和宽都正好铺满。那么，18和12公有的因数有哪些呢？请大家找一找。生：1、2、3、6。师：像这样，几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，就是它们的最大公因数。所以18和12的最大公因数是几？生：是6。【设计意图：通过摆一摆、算一算的对比，让学生体会“能正好铺满”的本质是正方形的边长同时是长方形长和宽的因数，从而自然抽象出公因数的概念。】有序列举，求最大公因数（例9）师：如果没有纸片，只给我们两个数，怎样找出它们的公因数和最大公因数呢？我们来看教材例9：8和12的公因数有哪些？最大公因数是几？请大家先分别有顺序地写出8和12的因数。生1：8的因数是1、2、4、8。生2：12的因数是1、2、3、4、6、12。8的因数：1、2、4、812的因数：1、2、3、4、6、12师：把它们相同的因数圈出来，8和12的公因数有哪些？最大公因数是几？生：公因数是1、2、4，最大公因数是4。师：我们还可以用集合圈来表示，这样看得更清楚。左边放8独有的因数，右边放12独有的因数，中间交叉的部分就是8和12的公因数。请大家在练习本上画一画。【集合圈（韦恩图）：左圈8、右圈12，中间交叉处填1、2、4】师：通过刚才的过程，想一想：找两个数的公因数时，要想做到不重复、不遗漏，应该按怎样的顺序来想？生：先分别有顺序地写出两个数的因数，再找出它们共有的因数，最大的一个就是最大公因数。【设计意图：从操作活动过渡到用列举法找公因数，再借助集合圈直观呈现“公有”的部分，帮助学生掌握求公因数的一般方法，培养有序、完整的思考习惯。】巩固练习，内化方法师：请大家独立完成教材“练一练”：找出6和9的公因数，以及10和15的公因数，并分别说出它们的最大公因数。请两位同学到黑板前用集合圈表示。（学生独立练习，指名学生板演。教师巡视，对有遗漏的学生进行提示。）生1：6和9的公因数是1、3，最大公因数是3。生2：10和15的公因数是1、5，最大公因数是5。师：大家想一想，这两个数都有因数1，说明1是任意两个数的公因数吗？生：是，1是任意两个非零自然数的公因数。师：真棒！那当两个数只有公因数1时，它们叫什么关系？我们下节课还会进一步研究。【设计意图：通过练习巩固求公因数和最大公因数的方法，同时引导学生发现“1是任意两个数的公因数”这一规律，为后续学习互质数作铺垫。】课时小结师：这节课我们认识了什么新知识？什么是公因数？什么是最大公因数？求最大公因数时要注意什么？生：几个数公有的因数叫公因数，其中最大的叫最大公因数。求的时候要先有序列举两个数的因数，再找公有的部分。师：总结得非常好。求公因数的方法可以概括为“先列举、找公有、看最大”。第二课时：公倍数和最小公倍数情境导入，复习铺垫师：上节课我们用正方形纸片铺长方形认识了公因数。今天我们反过来，要用长方形纸片来铺正方形。请看教材例10：用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片，分别铺边长6厘米和边长8厘米的两个正方形，能正好铺满哪个正方形？先猜一猜，再动手铺一铺验证。生：我觉得边长6厘米的正方形能铺满，8厘米的可能不行。师：大家带着猜测，我们通过操作和数据来验证。【设计意图：借助上节课“铺图形”的经验反向设问，唤醒学生的知识迁移，自然过渡到公倍数的探究。】动手操作，认识公倍数（例10）师：先铺边长6厘米的正方形。想一想，沿着一条边，长3厘米能摆几个？沿着另一条边，宽2厘米能摆几排？生：沿着长，6÷3=2，摆2个；沿着宽，6÷2=3，摆3排，正好铺满。÷3=2，6÷2=3，边长6厘米的正方形能正好铺满。师：那铺边长8厘米的正方形呢？也来算一算。生：8÷3=2……2，摆2个还剩2厘米；8÷2=4，宽正好。但不能正好铺满。÷3=2……2，边长8厘米的正方形不能正好铺满。师：为什么边长6厘米能正好铺满，边长8厘米却不能？生：因为6既是2的倍数，也是3的倍数；而8不是3的倍数。师：说得好！想一想，除了6，还有哪些数既是2的倍数又是3的倍数？请大家列举一些。生：6、12、18、24、30……师：这些数，既在2的倍数里，又在3的倍数里，我们就把它们叫做2和3的公倍数。其中6是最小的一个，叫做2和3的最小公倍数。谁能完整地说说什么是公倍数？生：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的叫最小公倍数。【设计意图：通过“铺正方形”的逆向操作，让学生直观感受正方形边长须同时是长方形长和宽的倍数，进而抽象出公倍数、最小公倍数的概念，体会数与形的联系。】列举比较，求最小公倍数（例11）师：请看教材例11：6和9的公倍数有哪些？最小公倍数是几？请大家先分别有顺序地列举6和9的倍数。生1：6的倍数有6、12、18、24、30、36……生2：9的倍数有9、18、27、36、45……的倍数：6、12、18、24、30、36……的倍数：9、18、27、36、45……师：对照一下，6和9的公倍数有哪些？最小公倍数是几？生：公倍数是18、36……最小公倍数是18。师：请同学们观察，公倍数后面为什么要加省略号？最小公倍数为什么不加？生：因为两个数的倍数有无数个，所以公倍数也有无数个，写不完；而最小公倍数是唯一的，只有一个。师：理解得很透彻！我们也用集合圈把6和9的倍数表示出来，左边写6独有的倍数，右边写9独有的倍数，中间交叉部分是公倍数。【集合圈（韦恩图）：左圈6的倍数、右圈9的倍数，交叉处填18、36……】师：通过列举，求两个数的最小公倍数的一般方法是什么呢？生：先分别有序列举两个数的倍数，再找出它们共有的倍数，最小的那个就是最小公倍数。【设计意图：在列举、比较中发现“公倍数有无数个、最小公倍数唯一”，深化对概念的理解，同时渗透集合思想，培养严谨、有序的思维品质。】巩固练习，深化理解师：请大家完成教材“练一练”：找出4和6、8和10的公倍数和最小公倍数，并用集合圈表示。先自己独立完成，再同桌互相检查。（学生独立练习，指名学生板演。教师巡视指导。）生1：4和6的公倍数有12、24、36……最小公倍数是12。生2：8和10的公倍数有40、80……最小公倍数是40。师：请大家思考：公倍数和公因数相比，有什么相同和不同的地方？生：公因数是有限个，最大公因数只有一个；公倍数有无数个，最小公倍数也只有一个。它们都是找“公有”的部分。师：比较得非常全面！一个找“公有的因数”，一个找“公有的倍数”，它们都是几个数公有的、最大的或最小的那一个。【设计意图：通过对比练习，沟通公因数与公倍数的联系与区别，帮助学生形成整体、系统的认知结构。】课时小结师：这节课我们认识了什么新知识？什么是公倍数和最小公倍数？求最小公倍数时应该怎样想？生：几个数公有的倍数叫公倍数，其中最小的叫最小公倍数。求的时候要先有序列举两个数的倍数，再找公有的、最小的那一个。师：总结得很完整。我们可以把求公倍数的方法概括为