13.2.3三角形内角和定理的证明及其推论12-教学课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

1.**三角形内角和定理**：三角形三个内角的和等于\(\boldsymbol{180^\circ}\)。证明思路：作平行线，利用平行线性质，把三个内角转化成平角。2.**推论1**：直角三角形的两个锐角互余。逆用：有两个角互余的三角形是直角三角形。3.**推论2**：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。延伸性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。>>推论：由定理直接推出的真命题，推论可以直接当作证明依据使用。本节重点：内角和定理的证明；利用推论求角度；外角模型计算；证明角度相等。##二、基础专项练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.在\(\triangleABC\)中，\(\angleA=35^\circ\)，\(\angleB=55^\circ\)，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.三角形的一个外角等于\(100^\circ\)，与它不相邻的一个内角是\(40^\circ\)，另一个不相邻内角是（）A.\(40^\circ\)B.\(50^\circ\)C.\(60^\circ\)D.\(80^\circ\)3.在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(\angleA=28^\circ\)，则\(\angleB\)的度数为（）A.\(62^\circ\)B.\(72^\circ\)C.\(52^\circ\)D.\(28^\circ\)4.下列关于三角形外角说法正确的是（）A.外角大于内角B.外角等于两个内角之和C.外角等于与它不相邻两个内角之和D.外角一定是钝角5.一个三角形三个内角之比为\(2:3:4\)，最大外角为（）A.\(100^\circ\)B.\(120^\circ\)C.\(140^\circ\)D.\(160^\circ\)###（二）填空题（每题4分，共20分）1.三角形内角和等于________。2.直角三角形的两个锐角________。3.三角形的一个外角等于与它________的两个内角之和。4.三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角。5.若三角形两个内角互余，则这个三角形是________三角形。###（三）解答题（每题15分，共60分）1.已知：\(\triangleABC\)，求证：\(\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ\)。（作平行线证明）2.如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=50^\circ\)，外角\(\angleACD=120^\circ\)，求\(\angleA\)的度数。3.已知：如图，\(\text{Rt}\triangleABC\)，\(\angleACB=90^\circ\)，\(CD\perpAB\)。求证：\(\angleA=\angleBCD\)。4.在\(\triangleABC\)中，AD是BC边上的高，\(\angleBAD=30^\circ\)，\(\angleC=45^\circ\)，求\(\angleBAC\)的度数。##三、参考答案与详细解析###选择题1.**B**。解析：\(\angleC=180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ\)，直角三角形。2.**C**。解析：\(100^\circ-40^\circ=60^\circ\)。3.**A**。解析：互余，\(90^\circ-28^\circ=62^\circ\)。4.**C**。解析：外角定理，必须强调“不相邻”。5.**B**。解析：三个内角\(40^\circ,60^\circ,80^\circ\)；最大外角对应最小内角，\(180^\circ-40^\circ=140^\circ\)。###填空题1.\(\boldsymbol{180^\circ}\)2.**互余**3.**不相邻**4.**大于**5.**直角**###解答题1.证明：过点A作\(DE\parallelBC\)。\(\becauseDE\parallelBC\)（辅助线作法）\(\therefore\angleB=\angleDAB\)（两直线平行，内错角相等）\(\angleC=\angleEAC\)（两直线平行，内错角相等）\(\becauseD,A,E\)在同一直线上，\(\therefore\angleDAB+\angleBAC+\angleEAC=180^\circ\)（平角定义）代入得：\(\angleB+\angleBAC+\angleC=180^\circ\)。即\(\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ\)。2.解：由三角形外角推论2，\(\angleACD=\angleA+\angleB\)\(\angleA=\angleACD-\angleB=120^\circ-50^\circ=\boldsymbol{70^\circ}\)。3.证明：\(\because\angleACB=90^\circ\)（已知）\(\therefore\angleA+\angleB=90^\circ\)（直角三角形两锐角互余）\(\becauseCD\perpAB\)（已知）\(\therefore\angleCDB=90^\circ\)，\(\therefore\angleBCD+\angleB=90^\circ\)（直角三角形两锐角互余）\(\therefore\angleA=\angleBCD\)（同角的余角相等）。4.解：\(\becauseAD\perpBC\)，\(\therefore\angleADC=90^\circ\)。在\(\text{Rt}\triangleADC\)中，\(\angleDAC=90^\circ-\angleC=90^\circ-45^\circ=45^\circ\)。\(\angleBAC=\angleBAD+\angleDAC=30^\circ+45^\circ=\boldsymbol{75^\circ}\)。##四、易错点总结1.使用外角推论时，漏掉关键词**不相邻**，直接写外角等于两个内角之和，证明扣分；2.内角和定理证明，辅助线描述不规范，缺少平行线的依据；3.推论1：两个锐角互余，只能用于直角三角形；不要随便用到普通三角形；4.求外角时，分不清外角对应的是哪个内角；5.角度计算大题，缺少推理依据，只写算式，几何证明会扣分。沪科版（新教材）数学八年级上册13.2.3三角形内角和定理的证明及其推论1，2授课教师：.

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级：8年级（

）班.

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2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章三角形中的边角关系、命题与证明123能够由掌握的“剪拼法”验证三角形内角和，过度到理论证明，理解几何证明的必要性和严谨性．在分析证明思路、构建证明体系的过程中，提升逻辑推理能力（归纳推理、演绎推理），学会运用转化思想（将三角形内角和问题转化为平角或同旁内角问题）和数形结合思想解决几何问题。明确其推论（直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形）的推导逻辑，能清晰区分定理与推论的关系。02复习旧知回想一下证明的一般步骤是什么？①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；③分析因果关系，找出证明途径；④有条理地写出证明过程.02创设情境我们之前通过剪拼或者测量，认识到三角形内角和为180°，但是实际的操作中总是有一些误差，这节课，我们将给出严谨的证明过程，证明三角形内角和为180°.并得到直角三角形的内角关系.03新知探究在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证.命题：三角形的内角和等于180°.

已知：△ABC，

求证：∠A+∠B+∠C=180°03新知探究证明:延长BC到D,过点C作CE∥AB,如图13-2-7,∴∠1=∠

,(

)

∠2=∠

,(

)

∵∠

+∠

+∠ACB=180°,(

)

∴∠

+∠

+∠ACB=180°.(

)

A两直线平行,内错角相等B两直线平行,同位角相等12平角的定义AB等量代换03新知探究思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法.

在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.E21DABC辅助线03新知探究直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．推论1：

ACB像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论．在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和应为90°.

03新知探究在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.由此你能得到什么结论？解：在△ABC中，

根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

∴

∠C=180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.应用格式：在△ABC中，

∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形°．ACB03新知探究42CBA13证明:D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.∴∠A=∠4

，∠B=∠3，(

)∴∠2=∠A

.()∵∠1＋∠2＋∠3=180°，()∴∠B＋∠BAC＋∠C=180°.(等量代换)平角定义两直线平行，同位角相等例、已知：△ABC.

求证：∠A＋∠B＋∠C=180°.∵DE∥AB，DF∥AC，∠C=∠1

.()∠2=∠4

.()两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等等量代换１．补充完成下列证明，并填上推理的依据．已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明

过点A作DE∥BC，则∠DAB=

,∠EAC=

.()∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=

，∴∠B+∠BAC+∠C=

+

+

=180°（

）∠B∠C180°∠DAB∠EAC∠BAC两直线平行，内错角相等等量代换课堂练习２．补充完成下列证明．已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F。∵DE∥AB∴∠B=∠EDC，∠A=∠DEC（两直线平行，同位角相等）∵DF∥AC（所作）∴∠Ｃ=∠BDF（两直线平行，同位角相等）∠DEC=∠EDF（两直线平行，内错角相等）∵∠EDF+∠DEC+∠BDF=180°，（平角的定义）∴∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠DEC+∠BDF=180°(等量代换)∴∠A=∠EDF（等量代换）课堂练习３．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°。求证：∠C+∠D=180°。证明：∵∠A+∠B=180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）课堂练习４．已知：在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠C。求证：AD∥BC。证明∵AB∥DC，（已知）∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠A=∠C（已知）∴∠C+∠D=180°（等量代换）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）课堂练习核心必知1．定理：三角形的内角和等于________．2．推论1：直角三角形的两锐角________．3．推论2：有两个角______的三角形是直角三角形．180°互余互余1.阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法，请回答下列问题：(1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是(

)A．转化思想B．整体思想C．方程思想D．数形结合思想1星题基础练A(2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°.解：(答案不唯一)选用④证明三角形的内角和为180°.证明：∵CD∥AB，∴∠B＋∠BCD＝180°，∠A＝∠ACD.又∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，即三角形的内角和为180°.2.【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B的大小为(

)A．30°B．60°

C．90°D．180°向“转化思想”生长：将一个直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若∠1＝36°，则∠2的度数是(

)A．36°B．54°

C．56°

D．64°CB向“实践应用”生长：如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC＝________°.向“方程思想”生长：在Rt△ABC中，