14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形-教学课件-2026-2027学年沪科版数学八年级上册

1.**SAS判定定理**：两边及其**夹角**分别相等的两个三角形全等。简单记作：**边角边（SAS）**。>>重点理解：夹角，是**这两条已知边中间夹的那个角**。>⚠️注意：SSA（两边及其中一边的对角）**不能判定全等**，这是高频易错点！2.书写证明格式：先找两组对应边相等，再找两组边的夹角相等，最后写\(\boldsymbol{\triangle\cdots\cong\triangle\cdots(\text{SAS})}\)。3.常见隐含条件：公共边、对顶角。本节重点：识别SAS条件；利用SAS证明三角形全等；通过全等得到边、角相等。##二、基础专项练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列条件可以用SAS判定两个三角形全等的是（）A.两个角对应相等B.两边和其中一边的对角相等C.两边和它们的夹角对应相等D.三条边对应相等2.如图，在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，\(AB=DE\)，\(BC=EF\)，要用SAS证明全等，则需要添加条件（）A.\(\angleA=\angleD\)B.\(\angleB=\angleE\)C.\(\angleC=\angleF\)D.\(AC=DF\)3.下列说法正确的是（）A.SSA可以判定三角形全等B.SAS中的角是任意一个角C.夹角是两条边中间的角D.两边相等就一定全等4.AC与BD交于点O，\(OA=OC\)，\(OB=OD\)，证明\(\triangleAOB\cong\triangleCOD\)的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS5.已知\(AB=AD\)，\(\angleBAC=\angleDAC\)，直接判定\(\triangleABC\cong\triangleADC\)的依据（）A.SASB.SSAC.ASAD.HL###（二）填空题（每题4分，共20分）1.两边及其________分别相等的两个三角形全等，简写成SAS。2.SSA________（填“能”或“不能”）判定两个三角形全等。3.用SAS证明全等时，相等的角必须是两组对应边的________。4.对顶角相等经常作为证明全等的________条件。5.若两个三角形通过SAS证得全等，则它们的对应角________。###（三）解答题（每题15分，共60分）1.已知：如图，\(AB=AC\)，\(\angleBAD=\angleCAD\)。求证：\(\triangleABD\cong\triangleACD\)。2.已知：点\(B、E、C、F\)在同一直线上，\(AB=DE\)，\(BE=CF\)，\(\angleB=\angleDEF\)。求证：\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)。3.已知：\(AC、BD\)相交于点O，\(OA=OB\)，\(OC=OD\)。求证：\(AD=BC\)。4.如图，\(AB=AE\)，\(AC=AD\)，\(\angleBAE=\angleCAD\)。求证：\(\triangleABC\cong\triangleAED\)。##三、参考答案与详细解析###选择题1.**C**。解析：SAS定义：两边及其夹角相等。2.**B**。解析：\(AB、BC\)的夹角是\(\angleB\)；\(DE、EF\)夹角是\(\angleE\)。3.**C**。解析：SSA不能判定全等；SAS的角必须是夹角。4.**B**。解析：\(OA=OC\)，\(\angleAOB=\angleCOD\)（对顶角相等），\(OB=OD\)，SAS。5.**A**。解析：\(AB=AD\)，\(\angleBAC=\angleDAC\)，\(AC=AC\)公共边，SAS。###填空题1.**夹角**2.**不能**3.**夹角**4.**隐含**5.**相等**###解答题1.证明：\(\becauseAB=AC\)（已知）\(\angleBAD=\angleCAD\)（已知）\(AD=AD\)（公共边）\(\therefore\triangleABD\cong\triangleACD(\text{SAS})\)。2.证明：\(\becauseBE=CF\)（已知）\(\thereforeBE+EC=CF+EC\)，即\(BC=EF\)（等式性质）在\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中\(\begin{cases}AB=DE(\text{已知})\\\angleB=\angleDEF(\text{已知})\\BC=EF(\text{已证})\end{cases}\)\(\therefore\triangleABC\cong\triangleDEF(\text{SAS})\)。3.证明：在\(\triangleAOD\)和\(\triangleBOC\)中\(\begin{cases}OA=OB(\text{已知})\\\angleAOD=\angleBOC(\text{对顶角相等})\\OD=OC(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\triangleAOD\cong\triangleBOC(\text{SAS})\)\(\thereforeAD=BC\)（全等三角形对应边相等）。4.证明：\(\because\angleBAE=\angleCAD\)（已知）\(\therefore\angleBAE+\angleEAC=\angleCAD+\angleEAC\)，即\(\angleBAC=\angleEAD\)（等式性质）在\(\triangleABC\)和\(\triangleAED\)中\(\begin{cases}AB=AE(\text{已知})\\\angleBAC=\angleEAD(\text{已证})\\AC=AD(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\triangleABC\cong\triangleAED(\text{SAS})\)。##四、易错点总结1.混淆**夹角**和一边对角，误把SSA当成SAS，考试会直接扣分；2.条件不完整直接写SAS，没有先证明夹角相等或者边相等；3.线段和差不会处理（如\(BE=CF\)推出\(BC=EF\)）；4.全等证明书写不规范，对应顶点位置写错；5.要证边或角相等，忘记最后一步写“全等三角形对应边/角相等”。沪科版（新教材）数学八年级上册14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形授课教师：.

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学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第14章全等三角形123掌握边角边判定方法的内容，会运用边角边判定方法证明两三角形全等.掌握两边一角画三角形的方法.体会证明两线段相等，两个角相等通常转化为“证明两三角形全等”来解决的数学方法.02复习旧知1.什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫全等三角形。2.如图△ABC≌△A′B′C′，说出两个三角形中的对应线段、对应角之间的关系？ABCA′B′C′(1)AB=A′B′(2)BC=B′C′(3)AC=A′C′(4)∠A=∠A’

(5)∠B=∠B’

(6)∠C=∠C＇02创设情境三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形吗？ABC03新知探究根据下面给出的条件分别画三角形,判断所能画出的三角形是否是确定的?操作只给定一个元素不能确定！2.一个角为45°1.一条边长为4cm03新知探究操作2.只给定两个元素：(1)两条边长分别为4cm,5cm不能确定！(2)一条边长为4cm，一个角为45°(3)两个角分别为45°，60°还需要增加什么条件呢？03新知探究探究1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其中一角，△ABC的形状、大小随之改变。那么还需要增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢？ACBα还需确定BA、BC两边夹角α的大小.03新知探究

2.如图，把两块三角尺的一条直角边放在同一条直线l上，其中∠B，∠C已知，并记两块三角尺斜边的交点为A.沿着直线l分别向左右移动两个三角尺，△ABC的大小随之改变，这直观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不确定的，那么还需要增加什么条件才可以使△ABC确定呢？lABC还需确定∠B、∠C两角公共边BC的长度.03新知探究由上可知，确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素．

在三角形中，任意给定三个元素能确定三角形吗？不一定.①三边②三角③两边一角④两角一边3个元素确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研究两个三角形全等的条件。03新知探究操作已知：△ABC.求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，∠B'=∠B，B'C'=BC.ABCB′MNA′

C′

03新知探究(2)在B′M上截取B′A′=BA，在B′N上截取B′C′=BC；作法：(3)连接A′C′．(1)如图，作∠MB′N=∠B；则△A'B'C'就是所求作的三角形．将所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？03新知探究两边及其夹角分别相等的两个三角形全等简记为“边角边”或“SAS”.

几何语言：B′A′C′BAC注意格式：边是角所在的两边，角是两边的夹角.边写在上下两边，角写在中间.03新知探究例1已知：如图，AD∥CB，AD=CB.求证：△ADC≌△CBA.ABCD证明：∵AD∥CB，(已知)在△ADC和△CBA中，AD=CB，(已知)∠DAC=∠BCA，(已证)∴△ADC≌△CBA.(SAS)AC=CA，(公共边)∴∠DAC=∠BCA(两直线平行，内错角相等).03新知探究证明三角形全等的步骤：①“找”：从已知条件出发，找齐三角形全等的三个条件；②“列”：列出要证明的是哪两个三角形；③“排”：把三角形全等的条件排列好，并用大括号括起来；④“得”：得出全等结论，并标明所用判定方法.03新知探究解:方案：在岸上取可以直接到达点A，B的一点C，连接AC并延长到点A'，使A'C＝AC；连接BC并延长到点B'，使B'C＝BC.连接A'B'，量出A'B'的长，就得到A，B两点之间的距离.例2如图，在池塘的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.03新知探究

1．如图，已知∠1＝∠2，用“SAS”判定△ABC≌△ABD，还需要添加的条件是(

)A．BC＝BD

B．AC＝ADC．∠C＝∠D

D．∠ABC＝∠ABD1星题基础练B2．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是(

)A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠DB．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠DC．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠ED．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠FD3．[合肥期末]如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE.证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS）.4．[厦门期末]如图①，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，图②为其示意图，连接CF，点A，D，C，F在同一条直线上，且AF＝DC，BC＝EF，BC∥EF.求证：AB＝DE.【思路引导】AF和DC能转化为全等三角形的对应边吗？由