12.4.2 线段垂直平分线 教学教学课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

1.**线段垂直平分线定义**：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。线段垂直平分线有两个核心条件：一是与线段垂直，二是经过线段的中点，二者缺一不可。线段是轴对称图形，线段的垂直平分线就是它的一条对称轴。2.**线段垂直平分线性质定理**：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如果直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，则\(PA=PB\)。这个定理可以直接用来证明两条线段相等，省去证明三角形全等的步骤，是几何证明中常用的简便结论。3.**线段垂直平分线判定定理（逆定理）**：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。该定理是性质定理的逆命题，二者构成互逆定理。判定定理用来证明点在线段的垂直平分线上，证明两个点都满足到线段两端距离相等，两点确定一条直线，即可证明这条直线是线段的垂直平分线。4.**三角形三边垂直平分线交点性质**：三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。利用这个性质，可以快速解决三角形内到三个顶点距离相等的找点问题。5.**尺规作图：作线段的垂直平分线**：分别以线段两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧在线段两侧交于两点，过两个交点作直线，即为线段的垂直平分线。作图原理是：由作图可知，交点到线段两端距离相等，根据判定定理，交点在垂直平分线上，两点确定一条直线。6.**易错提醒**：①性质定理：点在垂直平分线上⇒到两端距离相等；判定定理：到两端距离相等⇒点在垂直平分线上，不要把两个定理的条件和结论写反；②垂直平分线是直线，不是射线或线段；③单个点到线段两端距离相等，只能说明这个点在垂直平分线上，不能直接判定整条直线是垂直平分线，需要两个点；④外心是三边垂直平分线交点，到顶点距离相等，不是到三边距离相等，不要和角平分线交点（内心）混淆。##一、选择题（每题4分，共20分）1.已知直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，若\(PA=5\)，则PB的长为（）A.3B.4C.5D.102.下列说法正确的是（）A.到线段两端点距离相等的点，一定在线段的垂直平分线上B.线段的垂直平分线是一条线段C.线段的对称轴只有一条D.线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离不相等3.三角形三边垂直平分线的交点具有的性质是（）A.到三边距离相等B.到三个顶点距离相等C.只能在三角形内部D.只能在三角形外部4.点P满足\(PA=PB\)，则点P在（）A.线段AB上B.线段AB的垂直平分线上C.过点A的垂线上D.过点B的垂线上5.在\(\triangleABC\)中，DE是AC的垂直平分线，\(AD=4\)，则CD等于（）A.2B.4C.6D.8##二、填空题（每题4分，共20分）6.线段垂直平分线上的点到线段两个________的距离相等。7.到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。8.三角形三边垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的________，到三个顶点距离相等。9.作线段垂直平分线的尺规作图，画弧时半径必须大于线段长度的________。10.若直线l垂直平分线段AB，点M在直线l上，则MA________MB。##三、解答题（共60分）11.辨析题（16分）（1）若点P到线段AB两端距离相等，则直线P所在直线就是AB的垂直平分线，这句话是否正确，说明理由；（2）已知AB的垂直平分线l上有一点Q，\(QA=7\)，求QB的长度。12.证明题（16分）已知：如图，直线MN垂直平分线段AB，点\(C、D\)在直线MN上。求证：\(\triangleCAD≌\triangleCBD\)。13.（14分）已知：在\(\triangleABC\)中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D。若\(AB=6，AC=10\)，求\(\triangleABD\)的周长。14.（14分）已知：\(AC=AD，BC=BD\)。求证：直线AB垂直平分线段CD。##参考答案与解析选择题：1.C。解析：线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，\(PB=PA=5\)。2.A。解析：垂直平分线是直线；线段两条对称轴，本身和中垂线；垂直平分线上点到两端距离相等。3.B。解析：外心到三顶点距离相等；内心到三边距离相等。4.B。解析：线段垂直平分线判定定理。5.B。解析：DE是AC垂直平分线，D在其上，\(CD=AD=4\)。填空题：6.端点。7.垂直平分线。8.外心。9.一半。10.=。解答题：11.解：（1）错误。只有一个点P满足PA=PB，只能说明P在垂直平分线上，确定一条直线需要两个点，不能判定这条直线就是AB的垂直平分线。（2）∵Q在AB垂直平分线上，∴QB=QA=7。12.证明：∵MN垂直平分AB，点C、D在MN上，∴\(CA=CB，DA=DB\)。在\(\triangleCAD\)和\(\triangleCBD\)中，\(\begin{cases}CA=CB\\DA=DB\\CD=CD(\text{公共边})\end{cases}\)，\(\therefore\triangleCAD≌\triangleCBD(\text{SSS})\)。13.解：∵DE垂直平分BC，∴\(DB=DC\)。\(\triangleABD\)周长\(=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6+10=16\)。14.证明：∵\(AC=AD\)，∴点A在CD的垂直平分线上。∵\(BC=BD\)，∴点B在CD的垂直平分线上。两点确定一条直线，所以直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。（全文1232字）下一节：**12.4.3角平分线**，继续保持相同格式、1232字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学八年级上册12.4.2线段垂直平分线授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

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间：.

2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第12章全等三角形

高速公路AB

在某高速公路

l

的同侧，有两个工厂

A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学l新知探究同学们在草稿纸上分别画出线段AB、MN的垂直平分线，取点C、点E，分别连接AC、BC和ME、EN，测量一下AC与BC是否相等，ME与EN是否相等。分别在垂直平分线取异于点C和点E的点试试，结论是否成立新知探究已知：如图所示，直线l⊥AB于点O，且OA＝OB。C是直线l上的任意一点。求证：CA＝CB。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等典例分析例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE，若CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（

）DA．5B.10C.12D.13变式训练如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为22cm，则AE的长度为（

）A．12cmB.6cmC.4cmD.2cmB新知探究尺规作图作线段垂直平分线已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。作法：如图所示。1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。2.作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。1.【思维生长】如图①，PQ是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是(

)A．AP＝BP

B．BQ＝APC．AB＝AP

D．PQ＝BQ1星题夯实四基A向“实践应用”生长：如图②是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼D所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若AC＝3，则BC＝________．32．[镇江中考]如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连结BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝________．33.【思维生长】如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于G，BC＝6，AB＝7，则△BCG的周长是________．向“逆向思维”生长：如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连结AF，若△FAC的周长为16，△ABC的周长为22，则AE的长为________．133典例分析

A．47°B.45°C.43°D.41°

C变式训练

如图，在某河道的同侧有两个村庄A、B，现要在河道上建一个水泵站P．使两个村庄到水泵站的距离相等．请你使用尺规作图法作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）新知探究原命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等题设：

。

结论：

。

逆命题：

。

一个点在线段垂直平分线上这个点到线段两端的距离相等如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上典例分析例3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF、MN交于点P．求证：点P在线段BC的垂直平分线上．证明：如图所示，连接BP、AP、PC∵PE垂直平分AB，PM∴PA=PB，PA=PC∴PB=PC∴点P在线段BC的垂直平分线上变式训练

已知：如图，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，BE、CD相交于点O．求证：点O在线段BC的垂直平分线上．

合作学习同学们利用尺规作图分别作出三角形三边的垂直平分线，观察三条垂直平分线是否交于一点，这个点有什么性质？三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三顶点的距离相等4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是________．40°5．如图，点D在线段BC上，DE垂直平分AB，垂足为点E，DF垂直平分AC，垂足为点F.求证：DB＝DC.证明：连结AD.∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA.∵DF垂直平分AC，∴DA＝DC，∴DB＝DC.6.【新情境】某市为推进“体重管理年”三年行动，普及健康生活方式，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心P，Q，R的距离相等(P，Q，R三点不共线)，则体育中心的位置应选在(

)A．△PQR三边的垂直平分线的交点处B．△PQR的三条角平分线的交点处C．△PQR的三条高线的交点处D．△PQR的三条中线的交点处A7．如图，平面上的四边形ABCD是一个“风筝”形的骨架，其中AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°.求证：直线AC是线段BD的垂直平分线．证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴CB＝CD，又∵AB＝AD，∴A，C两点都在线段BD的垂直平分线上．∴AC垂直平分BD，即直线AC是线段BD的垂直平分线．8．[江苏南京期末]在△ABC中，AC<AB<BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD＋BD＝BC，那么符合要求的作图痕迹是(

)D2星题提升四能9．[江苏扬州模拟]如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点